河北工程大学结构力学力法.pptx
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1、16-1 超静定结构的组成和超静定次数一、超静定结构的组成为了认识超静定结构的特性,我们把它与静定结构作一些对比。静定结构:一个结构,当它的支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一地确定时,该结构就叫做静定结构。超静定结构:一个结构,当它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一地加以确定时,就叫做超静定结构。2 即:超静定结构有如下特征:1、从几何构造分析的观点来看,超静定结构是有多余约束的几何不变体系 2、若只考虑静力平衡条件,超静定结构的内力和支座反力不能够由平衡方程唯一确定,还要补充位移条件。若只满足平衡条件,超静定结构的内力和支座反力可以有无穷多组解答。如下图超静定梁,
2、若只满足平衡条件,支座B的竖向反力可以是任意值。3ABEI,l超静定结构分为:外部、内部、内外部超静定。这里:(a)为静定结构,求出支反力后即可求出内力。(a)为外部超静定结构。FPFyABAFyBFxA(a)FPBA(a)FxAFyAFyBFyC4这里:(b)为静定结构,求出支反力后即可求出内力。(b)为外部静定、内部超静定结构。AB(b)FyAFyBFxA(b)ABFxAFyAFyB5这里:(c)为静定结构,求出支反力后即可求出内力。(c)为外部超静定结构。此外:还有的结构内外部都是超静定的。(c)ABFyAFyBFxAFxB(c)ABFxAFyAFyBFxB6二、超静定结构的种类二、超静
3、定结构的种类(a)连续梁、单跨超静定梁(b)超静定刚架7(c)超静定拱(d)超静定桁架(e)超静定组合结构8(f)排架三、超静定次数的确定1、公式法确定(通过计算自由度获得)超静定次数n=-W=结构的多余约束数2、切除多余约束法(选取基本体系)超静定次数n=把超静定结构变为静定结构时所需切除的多余约束数9即:超静定次数 n=结构多余约束数目。规则:1)去掉或切断一根链杆,相当于去掉一个约束;2)去掉一个简单铰,相当于去掉两个约束;3)去掉一个固定支座或切断一根梁式杆,相当于去掉三个约束;4)在梁式杆上加一个简单铰,相当于去掉一个约束。基本体系:通过切除多余约束而得到的静定结构。通常做法:拆除原
4、结构的所有多余约束,代之以多余力X,而得到静定结构。10例:a)n=2n=2原结构n=2静定结构静定结构有很多种,但应选取易于计算的形式。11还可以变成组合刚架b)原结构n=2三铰刚架n=2简支刚架n=2悬臂刚架静定结构12c)n=3原结构d)原结构n=2一个封闭框有三个多余约束13f)n=3 特别注意:不要把原结构拆成几何可变体系。此外,要把超静定结构的多余约束全部拆除。原结构e)n=1原结构146-2 力法基本原理一、基本思路力法是计算超静定结构的最基本的方法。采用力法解超静定结构问题时,必须要把超静定问题与静定问题联系起来,加以比较,从中找到由静定过渡到超静定的途径。将超静定结构问题转化
5、为静定结构问题;利用熟悉的静定结构的计算方法达到计算超静定结构的目的。15 解超静定结构,除应满足平衡条件外,还必须满足位移协调条件。二、一次超静定结构的力法计算利用具有一个多余约束的一次超静定梁,说明力法的基本解题思路(抗弯刚度EI=常数)。1、确定基本未知量(选取基本体系)CBAqll撤除支座B的链杆,代之以多余力X1(得到基本体系),X1即是基本未知量。当然基本体系还有很多种。16其基本结构是简支梁。2、基本体系简支梁AC在q和X1的共同作用下处于平衡状态,此时的状态与原结构等效,称为原结构的基本体系(不唯一)。CBAqllX1基本体系基本体系CBA+11X1CBA 1PCBAq3、基本
6、方程 基本方程就是求解X1的方程。17由基本体系知:求出X1后,问题即获得解决。原结构:1=0(B点的竖向位移为零)。由1=1P+11,可得:1P+11=0由前面知1P、11的物理意义是非常明确的。当位移1、11、1P与X1的方向一致时取正值,但是要注意这里 X1的方向是任意设的。现在提出的问题是:如何求出11和1P。1P属静定结构的位移计算问题,可简单求出。11 由X1引起,可利用叠加原理求解。18设X1=1时在B点产生的位移为11,则:11=11 X1,代入上述变形条件有:11 X1+1P=0式中:11系数;1P自由项。此为线性变形条件下一次超静定结构的力法方程。4、求解 X111、1P可
7、用图乘法简单求出,然后X1即可获解。X1求出后,可按静力平衡方程求出支座反力和内力,它们就是原结构的反力和内力。19上述计算超静定结构的方法就是力法。基本特点:以多余力作为基本未知量,根据所去掉的多余约束处相应的位移条件,建立关于多余力的方程或方程组。特别强调:力法基本方程是位移协调方程。5、具体计算求作上例的弯矩图(M图)(1)作 图计算CAX1=1BCA20X1为正,说明其方向与假设方向相同,反之则相反。21(3)作M图(如下页图)先计算主控截面的弯矩,然后按静定结构作M图的方法作原结构的弯矩图。CBAM图226、讨论若取基本体系为右图(a),去掉B点的转动约束,代之以一对大小相等、方向相
8、反的力偶X1,可得:ACBX1q基本体系基本体系(a)此即为B点的弯矩。需注意的是:两种基本体系,计算工作量相差很大。(b)X1=11CBA82qlACBq(c)82ql23下面用一简例总结力法求解过程:如下图示超静定梁,去掉支座B的链杆,用相应的未知力X1代替,X1称为力法基本未知量。去掉B支座的多余约束后得到的静定结构称为力法基本结构。EIFPABl/2l/2AB基本结构FPAB基本体系24+EIFP(BV=0)ABl/2l/2原结构AB11AB11)(1PFPABAB基本结构FPAB基本体系25因为:方程可写为:即:力法方程为:基本结构的位移=原结构的位移原结构B截面竖向位移基本结构在X
9、1=1作用下沿X1方向的位移。基本结构在FP作用下沿X1方向的位移。系数和自由项的物理意义:26特别注意:1)力法方程是位移方程(变形协调方程)。2)力法方程的物理意义:基本结构在荷载FP和未知量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原结构B支座竖向位移。力法计算:1)求系数及自由项lABl/2图FPAMP图272)求未知力X1283)作内力图M图FQ图AB29三、多次超静定结构的力法计算 下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和未知力X分别作用下的位移图。原结构ABFPCDBH=0BV=0B=0基本体系ABFPCDX1X3X2=30FPABCD2P1P3PABCD221232X2=1ABCD21
10、1131X1=1ABCD231333X3=1=+31力法方程为 根据前面给出的位移图讨论力法方程和系数的物理意义。此即为求解多余力X1、X2、X3的力法方程组,称为力法基本方程。32 i 表示位移的方位;j 表示产生位移的原因。自由项:可能大于、等于或小于零。主系数:11、22、33恒大于零。副系数:ij(ij)可能大于、等于或小于零。计算系数和自由项:用静定结构的位移计算公式计算。由互等定理:33符号说明:注意:当选取不同的基本体系时,力法的基本方程形式相同,只是多余力的含义不同。求解基本未知量Xi将 ii、ij、iP代入力法方程,求解X1、X2、X3。作弯矩图34四、n次超静定结构的力法典
11、型方程符号意义同前。求解内力(作内力图)的公式:作内力图可以延用第三章的作法:由MFQFN。35五、力法求解超静定结构的步骤五、力法求解超静定结构的步骤1、确定基本未知量(选取基本体系);2、列力法方程:注意:对于不同的结构,在计算ij、iP时考虑的因素不同,如梁和刚架,一般只考虑弯矩的影响,与第八章位移计算时基本相同。3、计算系数和自由项:4、求解基本未知量Xi;5、作内力图。计算公式同前。366-3 力法举例一、连续梁例6-3-1 作图示连续梁的弯矩图和剪力图。1、选取基本体系。用力法解连续梁时,其基本体系是将杆件在中间支座处变为铰,如下图所示。ABCDlllEIEIEIABCD基本体系X
12、1X2原结构 B=0 C=037ABCD1PABCDX1=11121ABCDX2=112222、列 力法方程讨论方程和系数的物理意义。383、求系数和自由项 作 图、图及MP图如图示。B=0 B左右截面相对转角等于零。C=0 C左右截面相对转角等于零。位移方程(力法方程)ABCDX1=11图ABCDX2=11图39ABCDMP图上述弯矩图的一个特征是:弯矩图局部化。图乘计算求系数和自由项:40解方程得:5、作内力图1)根据下式求各截面M值,然后画M图。4、求基本未知量412)根据M图求各杆剪力并画FQ图。ABFQABFQBAlM图ABCDAB杆:42BCFQBCFQCBl很容易求得CD杆剪力为
13、:FQ图ABCDBC杆:43二、超静定刚架例6-3-2 求图示刚架M图,各杆抗弯刚度不同。ABCE1I1 lE2I2 l原结构ABCX2基本体系X1A=0B=0 解:1、确定基本未知量X1、X2 选取基本体系如右上图,原结构A点的转角 ,B点的相对转角 。442、列力法方程3、求系数和自由项()ABCX1=111图E1I1 lE2I2 lABCX2=11E1I1 lE2I2 l图ABCMP图45将求得的系数和自由项代入力法方程就得到:4、求基本未知量X1、X246此时因无具体数据,无法作出内力图。475、讨论1)当k=0,即E1I1很小或E2I2很大,则刚架弯矩图为:可见,柱AB相当于在横梁B
14、C的B端提供了固定约束。M图ABCBC482)当k=1,刚架弯矩图如图a)示。3)当k=,即E1I1很大或E2I2很小。由于柱AB抗弯刚度趋近于零,只提供轴向支撑,故梁BC相当于简支梁,M图见图b)。ABCa)M图ABCb)M图496、结论 在荷载作用下,超静定结构的内力只与各杆抗弯刚度EI的比值k 有关,而与杆件抗弯刚度EI的绝对值无关。若荷载不变,只要 k 不变,结构内力也不变。例7-3-3 作图作图(a)刚架内力图。刚架内力图。解解:1、确确定定基基本本未未知知量量X1、X2(选取选取基本体系基本体系)C点点的的相相对对水水平平位位移移和和相相对竖向位移均为零。对竖向位移均为零。2EI2
15、EIEIEDCBA5kN1m5m5mq=10kN/mq(a)50=EIdxEIMMPP12522-=EIdxEIMMPP13.32811=EIdxEIM,83.1452222d d=EIdxEIMM5.62212112d dd d=EIdxEIM,5.622111d d 2、列力法方程3、求系数和自由项()幻灯片 52511M55(m)X1=1(c)X2=15552M(m)(d)555125PM(kNm)(e)27.2522.231.2571.5531.25M(kNm)(f)X2X2X1 X1(b)5kNq基本体系返回50返回5152 62.5 X1+62.5 X2-328.13=0 62.5
16、 X1+145.83 X2+125=04、求基本未知量X1、X2解得:X1=10.69kN X2=-5.44kN 由结果可知:多余力Xi只与刚架各杆的抗弯刚度的相对值有关,而与绝对值无关。5、作弯矩图计算公式为:(见图f )53然后考虑外荷载用分段叠加法作M图。求出几个控制截面的弯矩值,如:54三、超静定桁架原结构FPaa例6-3-4 作图示桁架为例讨论两种基本体系的处理方法。各杆刚度为EA。X1X1解:1、确定基本未知量X1(选取基本体系I)FPABX1aa基本体系I552、列力法方程 力法方程的物理意义是:基本结构在荷载和X1共同作用下,杆AB切口左右截面相对水平位移等于零。基本结构中包括
17、AB杆。基本体系IFPABX1aaX1X13、求系数和自由项()56根据上述基本体系I求得各杆FNP及 标于图中。ABFPaaFPFP000FNP图ABaa1111X1=1图AB杆要计算在内574、求基本未知量X15、求各杆轴力FN 按下式计算FNFN图58 力法方程的物理意义是:基本结构在荷载和X1共同作用下,结点A、B相对水平位移等于杆AB的伸长,但符号相反。基本结构中不包括AB杆。X1X1AB基本体系IIX1FPaa6、讨论:基本体系II若AB杆的抗拉压刚度为E1A1,则力法方程为:59例6-3-5 图a桁架,斜杆AC、BD的截面积为 ,其余各杆为A,E为常数。求各杆的内力。aaABDC
18、FPFP(a)X1基本体系1(b)ABDCFPFP(c)ABDCFPFP+1(d)X1=1ABDC60基本体系2ABDCFP(e)X1FP111N1(g)ABDCX1=1最后内力图N(h)ABDCFPFP0000(f)ABDCNP图FPFP061四、超静定组合结构例6-3-6 图a所示的超静定组合结构,E为常数。求:(1)当k=I1/I2=2时,结构的内力;(2)当k值变化时,说明M及NBC的变化规律。ABCDEEA=EI1EI2aaaFP(a)X1基本体系(b)ABCDEEI1EI2FP解:1、确定基本未知量X1(选取基本体系)622、列力法方程 MP2Fpa(d)ABCDEFP11 X1+
19、1P=03、求系数和自由项()(c)2aa/2X1=1ABCDE63)16(6638)232()221(2232)2221(11323131212111kEIaEIaEIaaaaEI2aaaEIdxEANdxEIM+=+=+=+=注意:此处11和1P 的计算,应该考虑什么影响因素。64kFPXP+=-=16161111-981FPXNBC-=11MXMMP+=2FPa/94FPa/9NBC=-8FP/9M、FN 图ABCDEFP(e)4、求基本未知量X1随着k值变化,X1变化,MAB、MCD值随之变化。6、讨论:改变k值5、作弯矩图M(如右下图)65当k=I1/I2=0时,X1=FP,则MAB
20、=0,MCD达最大。当k不断增加,X1减小,MAB 增加,MCD 减小。当k(I1)时,X1=0,MCD=0,MAB 达最大。MAB=2FPa,无变形。由此,进一步看出:超静定结构的内力与杆件的抗弯刚度的绝对值无关。2FPa/94FPa/9NBC=-8FP/9M、FN 图ABCDEFP(e)66四、排架E1I1E2I2E1I1E2I2EA 一般有铰结排架和刚结排架,单层厂房,柱顶与屋盖的联结视为铰结,为铰结排架。其中的柱是阶梯形变截面杆件,柱底为固定端,柱顶与横梁(屋架)为铰结。计算时常忽略横梁的轴向变形。67例6-3-7 求图示排架M图。EIEI原结构5kN/mEA EIEA 6m2m 排架
21、结构求解时,通常切断链杆以得到力法基本结构。这样,MP图和 图局部化,求解力法方程系数比较简单。68解:1、确定基本未知量X1、X2(选取基本体系)基本体系5kN/mX2X1MP图90kN.m方程物理意义:横梁切口左右截面相对水平位移等于零。2、列力法方程 3、求系数和自由项()69X1=166图X2=128图28705、作M图M图(kN.m)1.475m45.7525.5818.674.675.444、求多余未知力71例6-3-8(书中例6-2)求在所示吊车荷载作用下的内力。计算资料如下:BCEFGA18m18mIS2IX2MHFPHMHH6.75m2.6m4.65m 2.1mIS1IX1D
22、FPHA6.75m2.6m基本体系4.65m2.1mDX2BFECGX1H1.598.108.101.592.831(a)特点?726-4 超静定结构在支座移动时的力法计算 超静定结构:支座移动、温度改变、材料收缩、制造误差等因素都会使结构产生内力和变形。即:超静定结构的一个重要特点就是在无荷载作用时,也可以产生内力(称为自内力)。自内力:无荷载作用时,超静定结构由于支座移动、温度改变等因素作用产生的内力。注意:力法计算自内力的步骤与荷载作用时的情形相同,只是自由项的计算不同而已。73自由项计算公式:超静定结构产生支座移动时的力法计算对理解力法的解题思路很有帮助。下面讨论超静定结构产生支座移动
23、时力法的解题思路。原结构ABEI l例6-4-1 作图示单跨超静定梁内力图。74(受X1及支座转角共同作用)解:1)选两种基本体系如下图示2)力法基本方程位移条件力法方程ABEI l基本体系IX1B基本体系IIX1AEI l(只有X1作用,支座转角 对杆端A无影响)753)求系数和自由项4)求未知力X1AB图X1=1AB图X1=11l765)作内力图在基本体系II中,若X1为逆时针方向,如下图示,则力法方程成为:ABX1=1M图BAFQ图BA这时注意方程右边的符号。77小结:1)当超静定结构有支座位移时,所取的基本体系上可能保留有支座移动,也可能没有支座移动。应当尽量取无支座移动的基本体系。2
24、)当基本体系有支座移动时,自由项按下式求解:为基本体系由X=1产生的支座反力;为基本体系的支座位移。3)当超静定结构有支座移动时,其内力与杆件的抗弯刚度EI成正比,EI越大,内力越大。78例6-4-2 写出图示刚架的力法方程并求出系数iC。解:1)取两种基本体系如下图示ACEI lEI lba原结构79基本体系IICABbX1X2AH=-aA=2)建立力法方程讨论方程及系数的物理意义。基本体系ICABbCH=0CV=0X1X2a80基本体系IlBCX1=1l10图A3)求自由项本例主要讨论自由项的求法,其余计算略去。lBCX2=1l01图lAl81ABCX2=1图11基本体系IIABC1X1=
25、1图l82例6-4-3 已知:E支座下沉为a,逆时针转动为,EI=常数,用力法作刚架内力图。解:1、确定基本未知量X1、X2(选取基本体系)。EDCBA(b)X1X2基本体系(a)lEDCBAal/2l/2l/22、列力法方程(保留支座位移)。83ic由支座移动引起的Xi作用点沿Xi方向的位移。3、求系数和自由项()EDCBA(c)X1=1l/2l0EDCBA(d)X2=1l/2l/2l/2l/2184解方程:4、求未知量X1、X285得:6、讨论:(1)选择第二种基本体系EDCBA基本体系2X2X15)作内力图力法方程:86注意:第一个方程的右边为零,是因为在原结构上与X1相应的位移为零;第
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