激光原理第二章-华中科技大学课件.pptx
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1、第二章第二章 光线的传播及高斯光束光线的传播及高斯光束第二章第二章 光线的传播及高斯光束光线的传播及高斯光束2.1光线传播光线传播光线矩阵光线矩阵透镜波导透镜波导光线在反射镜间的传播光线在反射镜间的传播光线在类透镜介质中的传播光线在类透镜介质中的传播2.2光束传播光束传播2.3高斯光束的变换高斯光束的变换2.1光线的传播光线的传播光线?光线?几个前提几个前提几何光学意义上的光线几何光学意义上的光线0近轴光线近似近轴光线近似光学元件绕光轴旋转对称光学元件绕光轴旋转对称均匀介质均匀介质2.1光线的传播光线的传播坐标系及方向的规定坐标系及方向的规定光线在光轴上方,光线在光轴上方,r0;反之,;反之,
2、r00;反之,;反之,r r00,相对于凸透镜,相对于凸透镜f0,凹反射镜凹反射镜(2)R0微分方程的解为微分方程的解为 若考虑光线入射初始条件若考虑光线入射初始条件为为 ,则可以求出,则可以求出 ,因此微分方程的解可以写成:,因此微分方程的解可以写成:2.1光线的传播光线的传播如右图的曲线可以代表在类透镜如右图的曲线可以代表在类透镜介质中传播的光线,只是在幅度介质中传播的光线,只是在幅度上作了夸大。从该方程可以得出上作了夸大。从该方程可以得出结论:当结论:当k20时,类透镜介质对时,类透镜介质对光线起汇聚作用,相当于正透镜。光线起汇聚作用,相当于正透镜。2.1光线的传播光线的传播(2)k20
3、当当k20时,光线微分方程的解可以表示为:时,光线微分方程的解可以表示为:从方程可以得出结论,随着从方程可以得出结论,随着z的不断增加,的不断增加,r(z)不断增不断增大,当大,当 ,因此,因此k20的类透镜介质对的类透镜介质对光线具有发散性,类似于负透镜的作用。光线具有发散性,类似于负透镜的作用。练习:证明练习:证明2-1-39式式2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.1类透镜介质中的波动方程类透镜介质中的波动方程在各向同性、无电荷分布的介质中,在各向同性、无电荷分布的介质中,Maxwell方程组的微分形式为:方程组的微分形式为:对对2式求旋度:式
4、求旋度:且由且由3式:式:在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化,即在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化,即综合上三式可以得到综合上三式可以得到假设折射率假设折射率n的空间变化很小,即的空间变化很小,即n(r)满足慢变近似,此时可以将电磁场表示为:满足慢变近似,此时可以将电磁场表示为:代入代入(4)式式波动方程波动方程也称亥姆也称亥姆霍兹方程霍兹方程2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时,上式最后一项可以表示为:当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时,上式最后一项可以表示为:当当 代表吸收介质,代表吸收介质,代
5、表增益介质代表增益介质上式表示复数波数,我们考虑波数表示形式为上式表示复数波数,我们考虑波数表示形式为其中其中k0、k2都可以是复数,这个表达式可以理解为波数与位置都可以是复数,这个表达式可以理解为波数与位置r和介质的特和介质的特性性k2都有关系。由波数的定义:都有关系。由波数的定义:可以得到可以得到n(r)的表达式:的表达式:的情况的情况该表达式就是类透镜介质该表达式就是类透镜介质的折射率表达式,证明我的折射率表达式,证明我们考虑的们考虑的k(r)表达式代表表达式代表的正是在类透镜介质中的的正是在类透镜介质中的情况。情况。级数级数展开展开2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质
6、和类透镜介质中的传播下面我们研究类透镜介质中波动方程的解,考虑在介质中传播的是一种近似下面我们研究类透镜介质中波动方程的解,考虑在介质中传播的是一种近似平面波,即能量集中在光轴附近,沿光轴方向传播。可以假设光场的横向分平面波,即能量集中在光轴附近,沿光轴方向传播。可以假设光场的横向分布只与布只与 有关,因此波动方程中的算符有关,因此波动方程中的算符 可以表示为:可以表示为:我们假设我们假设 ,其中,其中a为集中大部分能量的横截面半径,这一假设说明衍为集中大部分能量的横截面半径,这一假设说明衍射效应很弱,因此可以将推导局限于单一的横向场分量,其单色平面波的表射效应很弱,因此可以将推导局限于单一的
7、横向场分量,其单色平面波的表达式为:达式为:其中其中e-ikz表示波数为表示波数为k的严格平面波,为了研究的严格平面波,为了研究修正平面波,我们引入了修正因子修正平面波,我们引入了修正因子 ,它包含了相位和振幅修正两,它包含了相位和振幅修正两部分。部分。该修正因子满足慢变近似:该修正因子满足慢变近似:将这些相关假设带入波动方将这些相关假设带入波动方程可以得到:程可以得到:令修正因子取以下形式:令修正因子取以下形式:为什么取这种形式?这是对波动方程为什么取这种形式?这是对波动方程进行长期研究得到的解,既满足方程,进行长期研究得到的解,既满足方程,又有明确的、能够被实验证实的物理又有明确的、能够被
8、实验证实的物理意义。意义。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程,可以得到:通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程,可以得到:该方程对不同该方程对不同r都成立,因此都成立,因此r的各次项系数应该为零,整理得到:的各次项系数应该为零,整理得到:该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.2均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例,即均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例
9、,即k2=0时的类透镜介质,时的类透镜介质,此时简化波动方程为:此时简化波动方程为:引入一中间函数引入一中间函数S,使,使 代入上式得到代入上式得到得出得出 该微分方程的解为该微分方程的解为 ,a、b为复常数为复常数则则由由p与与q的关系得到的关系得到C1不影响振幅和相位的分布,因此可以设不影响振幅和相位的分布,因此可以设C1=0。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播将上述结果代入到将上述结果代入到 的表达式中有:的表达式中有:满足该表达式的满足该表达式的q0有很多形式,但对其研究发现纯虚数形式的有很多形式,但对其研究发现纯虚数形式的q0可以可以得到有物理
10、意义的波,因此假设得到有物理意义的波,因此假设q0具有如下表达形式:具有如下表达形式:将将q0的表达式带入(的表达式带入(1)式中,其指数的两项可以分别表示为:)式中,其指数的两项可以分别表示为:2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播人为定义以下参数:人为定义以下参数:将上述参数带入到光场的表达式,将上述参数带入到光场的表达式,整理可以得到光场的表达式:整理可以得到光场的表达式:该式所表示的是均匀介质中波动方程的一个解,称为基本高斯光束解,其横向依赖该式所表示的是均匀介质中波动方程的一个解,称为基本高斯光束解,其横向依赖关系只包含关系只包含r,而与方位角无关
11、。那些与方位角相关的分布是高阶高斯光束解。,而与方位角无关。那些与方位角相关的分布是高阶高斯光束解。上面最后一个表达式中的两项,前一项是振幅项,后一项是相位项。上面最后一个表达式中的两项,前一项是振幅项,后一项是相位项。为什么是这个解?还有其他解吗?为什么是这个解?还有其他解吗?2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯分布:高斯分布:在统计学中更多的被称为正态分在统计学中更多的被称为正态分布,它指的是服从以下概率密度布,它指的是服从以下概率密度函数的分布:函数的分布:Johann Carl Friedrich Gauss(17771855)2.2光束在均匀
12、介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯光束基本特性高斯光束基本特性振幅分布特性振幅分布特性由高斯光束的表达式可以得到:由高斯光束的表达式可以得到:在在z截面上,其振幅按照高斯函数规律变化,如图所示。截面上,其振幅按照高斯函数规律变化,如图所示。将在光束截面内,振幅下降到最大值的将在光束截面内,振幅下降到最大值的1/e时,离光轴的距离时,离光轴的距离 定义为该处的光斑半径。定义为该处的光斑半径。由由 的的定义定义可以得到:可以得到:即光束半径随传输距离的变化规律为双即光束半径随传输距离的变化规律为双曲线,在曲线,在z=0z=0时有最小值时有最小值 ,这个位置,这个位置被称
13、为高斯光束的束腰位置。被称为高斯光束的束腰位置。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播等相位面特性等相位面特性从高斯光束解的相位部分可以得到传输过程中的总相移为:从高斯光束解的相位部分可以得到传输过程中的总相移为:将上式同标准球面波的总相移表达式比较:将上式同标准球面波的总相移表达式比较:可以得出结论,在近轴条件下高斯光束的等相位面是以可以得出结论,在近轴条件下高斯光束的等相位面是以R(z)为半径的球面,为半径的球面,球面的球心位置随着光束的传播不断变化,由球面的球心位置随着光束的传播不断变化,由R(z)的的表达式表达式可知:可知:z=0时,时,,此时的等相
14、位面是平面;此时的等相位面是平面;时,时,此时等相位面也是平面;此时等相位面也是平面;时,时,此时的等相位面半径最小;此时的等相位面半径最小;2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播瑞利长度瑞利长度当光束从束腰传播到当光束从束腰传播到 处时,光束半径处时,光束半径 ,即光斑面积增大为最小值的两倍,这个范围称为瑞利范即光斑面积增大为最小值的两倍,这个范围称为瑞利范围,从束腰到该处的长度称为高斯光束的瑞利长度,通围,从束腰到该处的长度称为高斯光束的瑞利长度,通常记作常记作 。在实际应用中,一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围在实际应用中,一般认为基模高斯光束在瑞利长
15、度范围内是近似平行的,因此也把瑞利距离长度称为准直距离。内是近似平行的,因此也把瑞利距离长度称为准直距离。从瑞利长度表达式从瑞利长度表达式 可以得出结论,高斯可以得出结论,高斯光束的束腰半径越小,其准直距离越长,准直性越好。光束的束腰半径越小,其准直距离越长,准直性越好。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯光束的孔径高斯光束的孔径从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为:从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为:则其光强分布为:则其光强分布为:考虑垂直于高斯光束传播方向上存在一无限大平面,以光轴为中心开一考虑垂直于高斯光
16、束传播方向上存在一无限大平面,以光轴为中心开一半径为半径为a的孔,则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式,通过计的孔,则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式,通过计算可以得到不同孔径的功率透过率。算可以得到不同孔径的功率透过率。在激光应用中,高斯光束总要通过各种光学元件,从上面推导可知,只在激光应用中,高斯光束总要通过各种光学元件,从上面推导可知,只要光学元件的孔径大于要光学元件的孔径大于3/2,即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透,即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透过。过。孔径半径孔径半径a/23/22功率透过比功率透过比39.3%86.5%98.89%99.99%2.2光束在均匀
17、介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播远场发散角远场发散角从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道,在瑞利从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道,在瑞利长度之外,高斯光束迅速发散,定义当长度之外,高斯光束迅速发散,定义当 时高斯光束振幅减小到时高斯光束振幅减小到最大值最大值1/e处与处与z轴夹角为高斯光束的远场发散角(半角):轴夹角为高斯光束的远场发散角(半角):包含在全远场发散角内的光束功率占包含在全远场发散角内的光束功率占高斯光束总功率的高斯光束总功率的86.5%高斯光束在轴线附近可以看成一种高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面波非
18、均匀高斯球面波,在传播过程中,在传播过程中曲率中心不断改变曲率中心不断改变,其振幅在横截面内为一,其振幅在横截面内为一高斯分布高斯分布,强度集中在轴,强度集中在轴线及其附近,且等相位面保持线及其附近,且等相位面保持球面球面。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.3类透镜介质中的高斯光束类透镜介质中的高斯光束类透镜介质中类透镜介质中k20,此时的简化波动方程为:,此时的简化波动方程为:其解仍可以采用与均匀介质中相类似的处理方式得到,最终可以求出:其解仍可以采用与均匀介质中相类似的处理方式得到,最终可以求出:2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在
19、均匀介质和类透镜介质中的传播类透镜介质中的基本高斯光束解仍然可以采取类透镜介质中的基本高斯光束解仍然可以采取的形式,如果我们只讨论其中包含的形式,如果我们只讨论其中包含r2的指数部分:的指数部分:仍取仍取 ,则,则q(z)可以表示成:可以表示成:将将(2)式代入式代入(1)式可以得到:式可以得到:其中其中(z)(z)是光斑半径,是光斑半径,R(z)R(z)是等相位面曲率半径,其物理意义同均是等相位面曲率半径,其物理意义同均匀介质中的基本高斯光束解相同,然而数学表达式比较复杂。匀介质中的基本高斯光束解相同,然而数学表达式比较复杂。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质
20、中的传播前面得到了类透镜介质中高斯光束参数前面得到了类透镜介质中高斯光束参数q(z)的复数表达形的复数表达形式:式:q0是由边界条件求出的光束初始条件,将上式同前面得到是由边界条件求出的光束初始条件,将上式同前面得到的的光线矩阵光线矩阵比较:比较:2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.4高斯光束的高斯光束的ABCD法则法则按照光线矩阵规则,按照光线矩阵规则,ABCD矩阵元构成的光线矩阵是表示输出平面上和输矩阵元构成的光线矩阵是表示输出平面上和输入平面上光线参数之间的关系,因此我们取:入平面上光线参数之间的关系,因此我们取:该式表示了类透镜介质中传播的
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