西安科技大学自动控制原理教学同步教程第八章.pptx

1第第 八八 章章 离散控制系统离散控制系统的分析和校正的分析和校正 l l 8-1 8-1 8-1 8-1 信号的采样与保持信号的采样与保持信号的采样与保持信号的采样与保持 l l 8-2 Z 8-2 Z 8-2 Z 8-2 Z变换理论变换理论变换理论变换理论l l 8-3 8-3 8-3 8-3 采样系统的数学模型采样系统的数学模型采样系统的数学模型采样系统的数学模型l l 8-4 8-4 8-4 8-4 离散系统的时域分析法离散系统的时域分析法离散系统的时域分析法离散系统的时域分析法l l 8-5 8-5 8-5 8-5离散控制系统的校正离散控制系统的校正离散控制系统的校正离散控制系统的校正本章主要内容本章主要内容8-18-1信号的采样与保持信号的采样与保持信号的采样与保持信号的采样与保持 一、一、一、一、采样过程及其数学描述采样过程及其数学描述采样过程及其数学描述采样过程及其数学描述 离散控制系统离散控制系统离散控制系统离散控制系统是指系统内的信号在某一点上是不连续的。是指系统内的信号在某一点上是不连续的。是指系统内的信号在某一点上是不连续的。是指系统内的信号在某一点上是不连续的。1 1）在在在在有有有有规规律律律律的的的的间间隔隔隔隔上上上上系系系系统统采采采采取取取取到到到到了了了了离离离离散散散散信信信信息息息息，则则称称称称这这种采种采种采种采样为样为周期采周期采周期采周期采样样；2 2）如如如如果果果果信信信信息息息息之之之之间间的的的的间间隔隔隔隔是是是是时时变变的的的的或或或或随随随随机机机机的的的的，则则称称称称这这种种种种采采采采样为样为非周期采非周期采非周期采非周期采样样（随机采（随机采（随机采（随机采样样）；）；）；）；3 3）把）把）把）把连续连续信号信号信号信号转变为转变为脉冲序列的脉冲序列的脉冲序列的脉冲序列的过过程称程称程称程称为为采采采采样样。1 1 1 1 采样控制系统采样控制系统采样控制系统采样控制系统2 2、数字控制系统、数字控制系统、数字控制系统、数字控制系统例如图所示的数字闭环控制系统。例如图所示的数字闭环控制系统。例如图所示的数字闭环控制系统。例如图所示的数字闭环控制系统。数字数字数字数字闭环闭环控制系控制系控制系控制系统统3 3、离散系统特点、离散系统特点、离散系统特点、离散系统特点 由由由由数数数数字字字字计计计计算算算算机机机机构构构构成成成成的的的的数数数数字字字字校校校校正正正正装装装装置置置置,效效效效果果果果比比比比连连连连续续续续式式式式校校校校正装置好正装置好正装置好正装置好,且由软件实现的控制规律易于改变且由软件实现的控制规律易于改变且由软件实现的控制规律易于改变且由软件实现的控制规律易于改变,控制灵活控制灵活控制灵活控制灵活.采采采采样样样样信信信信号号号号,特特特特别别别别是是是是数数数数字字字字信信信信号号号号的的的的传传传传递递递递可可可可以以以以有有有有效效效效地地地地抑抑抑抑制制制制噪噪噪噪声声声声,从而提高了系统的抗干扰能力从而提高了系统的抗干扰能力从而提高了系统的抗干扰能力从而提高了系统的抗干扰能力.允许采用高灵敏度的控制元件允许采用高灵敏度的控制元件允许采用高灵敏度的控制元件允许采用高灵敏度的控制元件,以提高系统的控制精度以提高系统的控制精度以提高系统的控制精度以提高系统的控制精度.可用一台计算机分时控制若干个系统可用一台计算机分时控制若干个系统可用一台计算机分时控制若干个系统可用一台计算机分时控制若干个系统,经济性好经济性好经济性好经济性好.对对对对于于于于具具具具有有有有传传传传输输输输延延延延迟迟迟迟,特特特特别别别别是是是是大大大大滞滞滞滞后后后后的的的的控控控控制制制制系系系系统统统统,可可可可以以以以引引引引人人人人采样的方式使其趋于稳定采样的方式使其趋于稳定采样的方式使其趋于稳定采样的方式使其趋于稳定.4 4 4 4、采样过程及其数学描述、采样过程及其数学描述、采样过程及其数学描述、采样过程及其数学描述1)1)1)1)、采样过程描述采样过程描述采样过程描述采样过程描述采样过程采样过程采样过程采样过程 当采样开关的闭合时间当采样开关的闭合时间当采样开关的闭合时间当采样开关的闭合时间 时时时时,采样器就可以用一个理采样器就可以用一个理采样器就可以用一个理采样器就可以用一个理想采样开关来代替想采样开关来代替想采样开关来代替想采样开关来代替,采样过程可以看成是一个幅值调制过程采样过程可以看成是一个幅值调制过程采样过程可以看成是一个幅值调制过程采样过程可以看成是一个幅值调制过程.理理理理想采样开关好像是一个载波为想采样开关好像是一个载波为想采样开关好像是一个载波为想采样开关好像是一个载波为 的幅值调制器的幅值调制器的幅值调制器的幅值调制器,如图所示如图所示如图所示如图所示,其中其中其中其中 为理想单位脉冲序列为理想单位脉冲序列为理想单位脉冲序列为理想单位脉冲序列.理想采样过程理想采样过程理想采样过程理想采样过程 脉冲脉冲脉冲脉冲调制器调制器调制器调制器r(t)r(t)e(t)e(t)e*(t)e*(t)c(t)c(t)t t 单位脉冲信号的表达式为：单位脉冲信号的表达式为：单位脉冲信号的表达式为：单位脉冲信号的表达式为：脉冲函数脉冲函数脉冲函数脉冲函数，是一宽度为，是一宽度为，是一宽度为，是一宽度为 ，高度为，高度为，高度为，高度为 的矩形脉冲，矩形的面的矩形脉冲，矩形的面的矩形脉冲，矩形的面的矩形脉冲，矩形的面积为积为积为积为A A。当。当。当。当 趋于零时，是一宽度为趋于零时，是一宽度为趋于零时，是一宽度为趋于零时，是一宽度为0 0 0 0，面积为，面积为，面积为，面积为A A，幅值为无穷，幅值为无穷，幅值为无穷，幅值为无穷的理想脉冲。当的理想脉冲。当的理想脉冲。当的理想脉冲。当A=1A=1时，称为时，称为时，称为时，称为理想单位脉冲函数理想单位脉冲函数理想单位脉冲函数理想单位脉冲函数，亦称，亦称，亦称，亦称 函数。函数。函数。函数。单位脉冲函数可看作是单位阶跃函数的导数单位脉冲函数可看作是单位阶跃函数的导数单位脉冲函数可看作是单位阶跃函数的导数单位脉冲函数可看作是单位阶跃函数的导数。理想的单位脉冲。理想的单位脉冲。理想的单位脉冲。理想的单位脉冲信号实际上是不存在的，只具有数学意义，但在自动控制系统信号实际上是不存在的，只具有数学意义，但在自动控制系统信号实际上是不存在的，只具有数学意义，但在自动控制系统信号实际上是不存在的，只具有数学意义，但在自动控制系统的研究中具有重要的作用。任意形式的外作用可以看作是在不的研究中具有重要的作用。任意形式的外作用可以看作是在不的研究中具有重要的作用。任意形式的外作用可以看作是在不的研究中具有重要的作用。任意形式的外作用可以看作是在不同时刻存在的，强度不同的无限个脉冲函数的叠加。同时刻存在的，强度不同的无限个脉冲函数的叠加。同时刻存在的，强度不同的无限个脉冲函数的叠加。同时刻存在的，强度不同的无限个脉冲函数的叠加。定义脉冲函数定义脉冲函数定义脉冲函数定义脉冲函数 特性：特性：特性：特性：、面积为、面积为、面积为、面积为1 1 1 1；、当、当、当、当 ，脉冲函数为，脉冲函数为，脉冲函数为，脉冲函数为 函数。函数。函数。函数。函数，或脉冲函数，性质：函数，或脉冲函数，性质：函数，或脉冲函数，性质：函数，或脉冲函数，性质：、对、对、对、对 连续的任何函数连续的任何函数连续的任何函数连续的任何函数 f,f,f,f,有有有有2)2)、采样过程的特点、采样过程的特点、采样过程的特点、采样过程的特点(1)(1)(1)(1)、采样过程相当于一个脉冲调制过程、采样过程相当于一个脉冲调制过程、采样过程相当于一个脉冲调制过程、采样过程相当于一个脉冲调制过程(2)(2)(2)(2)、采样的输出信号可表示两个信号的乘积、采样的输出信号可表示两个信号的乘积、采样的输出信号可表示两个信号的乘积、采样的输出信号可表示两个信号的乘积 决定采样时间决定采样时间决定采样时间决定采样时间 决定采样信号的幅值决定采样信号的幅值决定采样信号的幅值决定采样信号的幅值调制器采样器采样器采样器采样器3)3)3)3)、采样信号的物理意义采样信号的物理意义采样信号的物理意义采样信号的物理意义连续时间信号被单位脉冲序列作了离散时间调制。连续时间信号被单位脉冲序列作了离散时间调制。连续时间信号被单位脉冲序列作了离散时间调制。连续时间信号被单位脉冲序列作了离散时间调制。如果用数学形式描述上述调制过程如果用数学形式描述上述调制过程如果用数学形式描述上述调制过程如果用数学形式描述上述调制过程,则有则有则有则有因为单位脉冲序列因为单位脉冲序列因为单位脉冲序列因为单位脉冲序列 可以表示为可以表示为可以表示为可以表示为其中其中其中其中 是出现在时刻是出现在时刻是出现在时刻是出现在时刻 时、强度为时、强度为时、强度为时、强度为1 1的单位脉冲的单位脉冲的单位脉冲的单位脉冲,故可以写为故可以写为故可以写为故可以写为4)4)采样信号的数学描述采样信号的数学描述采样信号的数学描述采样信号的数学描述因此因此因此因此,脉冲序列脉冲序列脉冲序列脉冲序列是是是是从零开始的从零开始的从零开始的从零开始的.上述讨论过程中上述讨论过程中上述讨论过程中上述讨论过程中,假设了假设了假设了假设了 由由由由于于于于 e e(t t)的的的的数数数数值值值值仅仅仅仅在在在在采采采采样样样样瞬瞬瞬瞬时时时时才才才才有有有有意意意意义义义义,所所所所以以以以上上上上式式式式又又又又可表示为可表示为可表示为可表示为 采采采采样样样样器器器器输输输输出出出出看看看看做做做做是是是是一一一一串串串串脉脉脉脉冲冲冲冲，脉脉脉脉冲冲冲冲的的的的强强强强度度度度，分分分分别别别别等等等等于各采样瞬时上的采样数值。于各采样瞬时上的采样数值。于各采样瞬时上的采样数值。于各采样瞬时上的采样数值。5 5）、采样过程的数学描述）、采样过程的数学描述）、采样过程的数学描述）、采样过程的数学描述采样信号的拉氏变换采样信号的拉氏变换采样信号的拉氏变换采样信号的拉氏变换15对采样信号对采样信号对采样信号对采样信号 进行拉氏变换进行拉氏变换进行拉氏变换进行拉氏变换,可得可得可得可得根据拉氏变换的位移定理根据拉氏变换的位移定理根据拉氏变换的位移定理根据拉氏变换的位移定理,有有有有注意注意注意注意:由于由于由于由于 只描述了只描述了只描述了只描述了 e e(t t)在采样瞬时的数值在采样瞬时的数值在采样瞬时的数值在采样瞬时的数值,所以所以所以所以 不不不不能给出连续函数能给出连续函数能给出连续函数能给出连续函数 e e(t t)在采样间隔之间的的信息在采样间隔之间的的信息在采样间隔之间的的信息在采样间隔之间的的信息.与采样函数与采样函数与采样函数与采样函数 e e(nTnT)联系了起来联系了起来联系了起来联系了起来,可以直接看出可以直接看出可以直接看出可以直接看出 的时间响应的时间响应的时间响应的时间响应.采样拉氏变换采样拉氏变换采样拉氏变换采样拉氏变换,与连续信号与连续信号与连续信号与连续信号 e e(t t)的拉氏变换非常类似的拉氏变换非常类似的拉氏变换非常类似的拉氏变换非常类似.因此因此因此因此,如果如果如果如果 e e(t t)是一个有理函数是一个有理函数是一个有理函数是一个有理函数,则无穷级数则无穷级数则无穷级数则无穷级数 也总是可以表示成也总是可以表示成也总是可以表示成也总是可以表示成 的有理函数形式的有理函数形式的有理函数形式的有理函数形式.在求在求在求在求 的过程中的过程中的过程中的过程中,初始值通常规定采用初始值通常规定采用初始值通常规定采用初始值通常规定采用 所以所以所以所以,采样拉氏变换采样拉氏变换采样拉氏变换采样拉氏变换 由于由于由于由于采样信号采样信号采样信号采样信号的的的的信息信息信息信息并不等于并不等于并不等于并不等于连续信号连续信号连续信号连续信号的全部的全部的全部的全部信息信息信息信息,所以所以所以所以采样信号的频谱与连续信号的频谱相比采样信号的频谱与连续信号的频谱相比采样信号的频谱与连续信号的频谱相比采样信号的频谱与连续信号的频谱相比,要发生变化要发生变化要发生变化要发生变化.研究采样研究采样研究采样研究采样信号的频谱信号的频谱信号的频谱信号的频谱,目的是找出目的是找出目的是找出目的是找出 与与与与 之间的相互联系之间的相互联系之间的相互联系之间的相互联系.展开为如下形式的富氏级数展开为如下形式的富氏级数展开为如下形式的富氏级数展开为如下形式的富氏级数：式中式中式中式中,为采样角频率为采样角频率为采样角频率为采样角频率,是富氏系数是富氏系数是富氏系数是富氏系数,其值为其值为其值为其值为1 1、采样信号的频谱、采样信号的频谱、采样信号的频谱、采样信号的频谱二二 采样函数的频谱分析与采样定理采样函数的频谱分析与采样定理 在在在在 区间中区间中区间中区间中,仅在仅在仅在仅在 t t=0=0 时有值时有值时有值时有值,且且且且所以所以所以所以得得得得那么那么那么那么对上式两边取拉氏变换对上式两边取拉氏变换对上式两边取拉氏变换对上式两边取拉氏变换,由拉氏变换的复数位移定理由拉氏变换的复数位移定理由拉氏变换的复数位移定理由拉氏变换的复数位移定理,得到：得到：得到：得到：上式说明上式说明上式说明上式说明：1 1 采样开关前后信号的拉氏变换采样开关前后信号的拉氏变换采样开关前后信号的拉氏变换采样开关前后信号的拉氏变换 之间之间之间之间的关系；的关系；的关系；的关系；2 2 是是是是 s s 的周期函数。的周期函数。的周期函数。的周期函数。式中：式中：式中：式中：-原函数原函数原函数原函数e e(t t)的频谱，最高频率为的频谱，最高频率为的频谱，最高频率为的频谱，最高频率为-调幅脉冲序列调幅脉冲序列调幅脉冲序列调幅脉冲序列 的频谱，以的频谱，以的频谱，以的频谱，以 为周期。为周期。为周期。为周期。以以以以 代入（在频域内）代入（在频域内）代入（在频域内）代入（在频域内）,上式变为：上式变为：上式变为：上式变为：即离散信号与连续信号频谱关系。即离散信号与连续信号频谱关系。即离散信号与连续信号频谱关系。即离散信号与连续信号频谱关系。非周期连续信号采样前后的频谱非周期连续信号采样前后的频谱非周期连续信号采样前后的频谱非周期连续信号采样前后的频谱采样频率变化时原连续信号与采样信号的频谱采样频率变化时原连续信号与采样信号的频谱采样频率变化时原连续信号与采样信号的频谱采样频率变化时原连续信号与采样信号的频谱0 0连续连续连续连续信号信号信号信号的频谱的频谱的频谱的频谱0 0n=-1n=-1n=0n=0n=1n=1采样采样采样采样信号信号信号信号的频谱的频谱的频谱的频谱()()()()2 2、香农香农香农香农（shannonshannon）采样定理采样定理采样定理采样定理1 1 1 1）、信号恢复条件）、信号恢复条件）、信号恢复条件）、信号恢复条件23 如果满足条件如果满足条件如果满足条件如果满足条件 s s s s 2 2 2 2 h h h h ，频谱的主分量与补分量相互分，频谱的主分量与补分量相互分，频谱的主分量与补分量相互分，频谱的主分量与补分量相互分离，可以采用一个离，可以采用一个离，可以采用一个离，可以采用一个低通滤波器低通滤波器低通滤波器低通滤波器，将采样信号频谱中的镜像频，将采样信号频谱中的镜像频，将采样信号频谱中的镜像频，将采样信号频谱中的镜像频谱滤除，来恢复原连续时间信号谱滤除，来恢复原连续时间信号谱滤除，来恢复原连续时间信号谱滤除，来恢复原连续时间信号。当当当当 s s s s 2 2 2 2 h h h h 时，时，时，时，采样频谱中的补分量相互交叠，致使采采样频谱中的补分量相互交叠，致使采采样频谱中的补分量相互交叠，致使采采样频谱中的补分量相互交叠，致使采样器的输出信号发生畸变。样器的输出信号发生畸变。样器的输出信号发生畸变。样器的输出信号发生畸变。0 0连续连续连续连续信号信号信号信号的频谱的频谱的频谱的频谱0 0n=-1n=-1n=0n=0n=1n=1采样采样采样采样信号信号信号信号的频谱的频谱的频谱的频谱()()()()l l信号复现的条件：信号复现的条件：信号复现的条件：信号复现的条件：加加加加一一一一个个个个如如如如图图图图所所所所示示示示的的的的理理理理想滤波器。想滤波器。想滤波器。想滤波器。12脉冲序列互不搭接：脉冲序列互不搭接：脉冲序列互不搭接：脉冲序列互不搭接：0 01.01.0理想滤波器的频率特性理想滤波器的频率特性理想滤波器的频率特性理想滤波器的频率特性2 2）、）、）、）、shannonshannon采样定理采样定理采样定理采样定理实际使用时实际使用时实际使用时实际使用时：为使采样后的脉冲序列频谱互不搭接，采样频率必为使采样后的脉冲序列频谱互不搭接，采样频率必为使采样后的脉冲序列频谱互不搭接，采样频率必为使采样后的脉冲序列频谱互不搭接，采样频率必须大于或等于原信号所含的最高频率的两倍：须大于或等于原信号所含的最高频率的两倍：须大于或等于原信号所含的最高频率的两倍：须大于或等于原信号所含的最高频率的两倍：这样才有可能通过理想滤波器这样才有可能通过理想滤波器这样才有可能通过理想滤波器这样才有可能通过理想滤波器,把原信号毫无畸变地恢把原信号毫无畸变地恢把原信号毫无畸变地恢把原信号毫无畸变地恢复出来。复出来。复出来。复出来。h h为为为为连连连连续续续续信信信信号号号号f f(t t)的的的的最最最最高高高高次次次次谐谐谐谐波波波波的的的的角角角角频频频频率率率率。则则则则采采采采样样样样信信信信号号号号f f*(*(t t)就就就就可以无失真地再恢复为原连续信号可以无失真地再恢复为原连续信号可以无失真地再恢复为原连续信号可以无失真地再恢复为原连续信号f f(t t)。需需需需要要要要指指指指出出出出的的的的是是是是，采采采采样样样样定定定定理理理理只只只只是是是是在在在在理理理理论论论论上上上上给给给给出出出出了了了了信信信信号号号号准准准准确确确确复复复复现现现现的条件。但还有的条件。但还有的条件。但还有的条件。但还有2 2个实际问题个实际问题个实际问题个实际问题需要解决。需要解决。需要解决。需要解决。其一，实际的其一，实际的其一，实际的其一，实际的非周期连续信号非周期连续信号非周期连续信号非周期连续信号频谱频谱频谱频谱最高频率最高频率最高频率最高频率是无限的是无限的是无限的是无限的.其其其其二二二二，需需需需要要要要一一一一个个个个幅幅幅幅频频频频特特特特性性性性为为为为矩矩矩矩形形形形的的的的理理理理想想想想低低低低通通通通滤滤滤滤波波波波器器器器，才才才才能能能能把把把把原原原原信号不失真地复现出来信号不失真地复现出来信号不失真地复现出来信号不失真地复现出来。三、信号保持三、信号保持三、信号保持三、信号保持能能能能使使使使采采采采样样样样信信信信号号号号不不不不失失失失真真真真地地地地复复复复现现现现为为为为原原原原连连连连续续续续信信信信号号号号的的的的低低低低通通通通滤滤滤滤波波波波器应具有理想的矩形频率特性。即：器应具有理想的矩形频率特性。即：器应具有理想的矩形频率特性。即：器应具有理想的矩形频率特性。即：理想滤波器的频率特性理想滤波器的频率特性 实现外推常用的方法是采用多项式外推公式实现外推常用的方法是采用多项式外推公式实现外推常用的方法是采用多项式外推公式实现外推常用的方法是采用多项式外推公式 由于由于由于由于t=0t=0时上式也成立，所以时上式也成立，所以时上式也成立，所以时上式也成立，所以a ao o=f(kT)=f(kT)，从而得到，从而得到，从而得到，从而得到零阶保持器的外推公式为零阶保持器的外推公式为零阶保持器的外推公式为零阶保持器的外推公式为 经过这样的滤波器滤波之后，信号的频谱变为：经过这样的滤波器滤波之后，信号的频谱变为：经过这样的滤波器滤波之后，信号的频谱变为：经过这样的滤波器滤波之后，信号的频谱变为：保持器是将采样信号转换成连续信号的装置。保持器是将采样信号转换成连续信号的装置。保持器是将采样信号转换成连续信号的装置。保持器是将采样信号转换成连续信号的装置。零阶保持器的作用零阶保持器的作用零阶保持器的作用零阶保持器的作用 此矩形波可表达为两个单位阶跃函数的叠加。即：此矩形波可表达为两个单位阶跃函数的叠加。即：此矩形波可表达为两个单位阶跃函数的叠加。即：此矩形波可表达为两个单位阶跃函数的叠加。即：可求得零阶保持器的传递函数为：可求得零阶保持器的传递函数为：可求得零阶保持器的传递函数为：可求得零阶保持器的传递函数为：其频率特性则为：其频率特性则为：其频率特性则为：其频率特性则为：据此可绘出零阶保持器的幅频特性和相频特性曲线据此可绘出零阶保持器的幅频特性和相频特性曲线据此可绘出零阶保持器的幅频特性和相频特性曲线据此可绘出零阶保持器的幅频特性和相频特性曲线零阶保持器的频率特性零阶保持器的频率特性零阶保持器的频率特性零阶保持器的频率特性7-2 Z7-2 Z变换理论变换理论一、定义一、定义一、定义一、定义z z z z变换实质上是拉氏变换的一种扩展，也称作采样拉氏变换。变换实质上是拉氏变换的一种扩展，也称作采样拉氏变换。变换实质上是拉氏变换的一种扩展，也称作采样拉氏变换。变换实质上是拉氏变换的一种扩展，也称作采样拉氏变换。引入一个新的变量引入一个新的变量引入一个新的变量引入一个新的变量z z z z，令：，令：，令：，令：对于采样函数对于采样函数对于采样函数对于采样函数:取拉氏变换取拉氏变换取拉氏变换取拉氏变换:则则则则:说说说说明明明明:z z z z变变变变换换换换仅仅仅仅仅仅仅仅是是是是一一一一种种种种取取取取 的的的的变变变变量量量量置置置置换换换换，通通通通过过过过它它它它将将将将s s s s的的的的超超超超越函数变为越函数变为越函数变为越函数变为z z z z的幂级数或的幂级数或的幂级数或的幂级数或z z z z的有理分式。的有理分式。的有理分式。的有理分式。例例例例7-17-17-17-1 求单位阶跃函数的求单位阶跃函数的求单位阶跃函数的求单位阶跃函数的z z z z变换变换变换变换二、二、二、二、Z Z Z Z变换变换变换变换方法方法方法方法1 1 1 1、级数求和法（从定义出发）级数求和法（从定义出发）级数求和法（从定义出发）级数求和法（从定义出发）例例例例8-1 8-1 求理想脉冲序列求理想脉冲序列求理想脉冲序列求理想脉冲序列 的的的的z z变换变换变换变换解解解解:因为因为因为因为 T T 为采样周期为采样周期为采样周期为采样周期,故故故故由拉氏变换知由拉氏变换知由拉氏变换知由拉氏变换知因此因此因此因此把上式写成闭合形式把上式写成闭合形式把上式写成闭合形式把上式写成闭合形式.得得得得 的的的的z z z z变换为变换为变换为变换为例例例例8-28-28-28-2 求指数函数求指数函数求指数函数求指数函数 的的的的 z z z z变换变换变换变换解解:这这这这是是是是一一一一个个个个首首首首项项项项为为为为1 1 1 1、公公公公比比比比为为为为 的的的的几几几几何何何何级级级级数数数数,其和为其和为其和为其和为:例例例例8-3 8-3 求求求求 e e(t t)=)=t t 的的的的z z变换变换变换变换2 2、部分分式法部分分式法部分分式法部分分式法例例例例8-48-48-48-4 求求求求 的的的的z z z z变换变换变换变换 先求出已知连续函数先求出已知连续函数先求出已知连续函数先求出已知连续函数 e(t)e(t)的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换 E(s),E(s),然后将其然后将其然后将其然后将其分解为部分分式之和分解为部分分式之和分解为部分分式之和分解为部分分式之和,再利用再利用再利用再利用z z变换表求出每一部分分式对变换表求出每一部分分式对变换表求出每一部分分式对变换表求出每一部分分式对应的应的应的应的z z变换变换变换变换,最后相加即可最后相加即可最后相加即可最后相加即可.设设设设连连连连续续续续函函函函数数数数e(t)e(t)的的的的拉拉拉拉普普普普拉拉拉拉斯斯斯斯变变变变换换换换E(S)E(S)及及及及全全全全部部部部极极极极点点点点已已已已知知知知,则则则则可用留数计算法求可用留数计算法求可用留数计算法求可用留数计算法求Z Z变换变换变换变换当当当当E(S)E(S)具有一阶极点具有一阶极点具有一阶极点具有一阶极点s=ps=p1 1时时时时,其留数为其留数为其留数为其留数为当当当当E(S)E(S)具有具有具有具有q q阶重复极点时阶重复极点时阶重复极点时阶重复极点时,其留数为其留数为其留数为其留数为3 3、留数计算法留数计算法留数计算法留数计算法例例例例8-58-58-58-5：求：求：求：求的的的的Z Z Z Z变换变换变换变换解解解解:例例例例8-68-68-68-6：求：求：求：求 的的的的Z Z Z Z变换变换变换变换解解解解:具具具具有两阶重极点有两阶重极点有两阶重极点有两阶重极点设设设设 Ze(t)=E(z)Ze(t)=E(z),则则则则:式中式中式中式中,为常数或与为常数或与为常数或与为常数或与 t,z t,z 无关的量。无关的量。无关的量。无关的量。z z z z 变换的基本定理变换的基本定理变换的基本定理变换的基本定理,与拉氏变换的基本定理有相似之处与拉氏变换的基本定理有相似之处与拉氏变换的基本定理有相似之处与拉氏变换的基本定理有相似之处.三、三、三、三、Z Z Z Z变换变换变换变换基本定理基本定理基本定理基本定理1.1.1.1.线性定理线性定理线性定理线性定理2 2、实数位移定理（平移定理）实数位移定理（平移定理）实数位移定理（平移定理）实数位移定理（平移定理）设连续函数设连续函数 e(t),当当 t0 时，时，e(t)=0 则则:以及以及以及以及证证明明明明：由由由由z z z z变换定义变换定义变换定义变换定义令令令令m=n-km=n-k,则有则有则有则有由于由于由于由于z z z z变换的单边性，当变换的单边性，当变换的单边性，当变换的单边性，当m0m0时，有时，有时，有时，有e(mT)=0e(mT)=0,所以所以所以所以令令令令m=nm=n,立即得证式。立即得证式。立即得证式。立即得证式。取取取取k=1k=1,得得得得令令令令m=n+1,m=n+1,上式可写为上式可写为上式可写为上式可写为取取取取k=2,k=2,同理，得同理，得同理，得同理，得取取取取k=kk=k时，必有时，必有时，必有时，必有证明证明证明证明：由由由由z z z z变换的定义变换的定义变换的定义变换的定义3 3、复数位移定理复数位移定理复数位移定理复数位移定理 令令令令则有则有则有则有 如如如如果果果果e(t)e(t)的的的的z z变变变变换换换换为为为为E(z),E(z),并并并并且且且且 是是是是存存存存在在在在的的的的，则则则则e(t)e(t)或或或或e(nT)e(nT)的初始值的初始值的初始值的初始值e(0)e(0)为为为为 证证明明明明：由：由：由：由z z变换定义变换定义变换定义变换定义可见可见可见可见时，即可证得结论。时，即可证得结论。时，即可证得结论。时，即可证得结论。4 4、初值定理初值定理初值定理初值定理 如如如如果果果果e(t)e(t)的的的的z z变变换换为为E(z),E(z),序序序序列列列列e(nT)e(nT)为为有有有有限限限限值值，存存存存在，在，在，在，则则证证明明明明：由：由：由：由z z变换线变换线性定理性定理性定理性定理由平移定理由平移定理由平移定理由平移定理于是于是于是于是5 5、终值定理终值定理终值定理终值定理当取当取当取当取n=Nn=N为有限项时，上式右端可写为为有限项时，上式右端可写为为有限项时，上式右端可写为为有限项时，上式右端可写为所以所以所以所以终值定理亦可表示为终值定理亦可表示为终值定理亦可表示为终值定理亦可表示为证明：证明：证明：证明：由由由由z z z z变换定义变换定义变换定义变换定义6 6、复域微分复域微分复域微分复域微分G(s)G(z)r(t)R(z)c(t)C(z)线性定常系统，输入输出关系可用线性定常系统，输入输出关系可用线性定常系统，输入输出关系可用线性定常系统，输入输出关系可用卷积分卷积分卷积分卷积分表示表示表示表示7 7、卷积和定理卷积和定理卷积和定理卷积和定理输出量输出量输出量输出量c(t)c(t)在采样瞬时在采样瞬时在采样瞬时在采样瞬时t=nT,n=0,1,2,t=nT,n=0,1,2,卷积和卷积和卷积和卷积和简记为简记为简记为简记为当当当当 时时时时，Z Z反变换是已知反变换是已知反变换是已知反变换是已知Z Z变换表达式变换表达式变换表达式变换表达式E(z)E(z)e(nT)e(nT)的过程的过程的过程的过程注注注注意意意意：z-z-变变变变换换换换的的的的非非非非唯唯唯唯一一一一性性性性，即即即即：e*1(t)=e*2(t)e*1(t)=e*2(t)，E1(s)=E2(s)E1(s)=E2(s)但但但但 e1(t)e1(t)e2(t)e2(t)。只只只只能能能能求求求求出出出出序序序序列列列列的的的的表表表表达达达达式式式式，而而而而不不不不能能能能求求求求出出出出它它它它的的的的连连连连续函数！续函数！续函数！续函数！求解方法：求解方法：求解方法：求解方法：长除法、部分分式法、留数法长除法、部分分式法、留数法长除法、部分分式法、留数法长除法、部分分式法、留数法。四、四、四、四、z z z z 反反反反变换变换变换变换1 1、长除法（幂级数法）长除法（幂级数法）长除法（幂级数法）长除法（幂级数法）59要点：用长除法化为降幂排列的展开形式要点：用长除法化为降幂排列的展开形式要点：用长除法化为降幂排列的展开形式要点：用长除法化为降幂排列的展开形式 Z Z Z Z反变换为反变换为反变换为反变换为即：即：即：即：例例例例8-78-78-78-7：求求求求的的的的Z Z Z Z反变换反变换反变换反变换解：解：解：解：步骤：步骤：步骤：步骤：先将变换式写成先将变换式写成先将变换式写成先将变换式写成，展开成部分分式，展开成部分分式，展开成部分分式，展开成部分分式，查查查查Z Z Z Z变换表变换表变换表变换表两端乘以两端乘以两端乘以两端乘以Z Z Z Z2 2 2 2、部分分式法（因式分解法，查表法）部分分式法（因式分解法，查表法）部分分式法（因式分解法，查表法）部分分式法（因式分解法，查表法）例例例例8-88-88-88-8求求求求的的的的Z Z Z Z反变换反变换反变换反变换解：解：解：解：3 3 3 3、留数法（反演积分法）留数法（反演积分法）留数法（反演积分法）留数法（反演积分法）设设设设 为为为为z z z z平平平平面面面面上上上上包包包包围围围围 全全全全部部部部极极极极点点点点的的的的封封封封闭闭闭闭曲曲曲曲线线线线，且且且且为为为为反时针方向。反时针方向。反时针方向。反时针方向。由此得到反演积分公式：由此得到反演积分公式：由此得到反演积分公式：由此得到反演积分公式：是函数是函数是函数是函数E(z)zE(z)zn-1n-1在极点在极点在极点在极点z zi i处的留数处的留数处的留数处的留数曲线曲线曲线曲线 可以是包含可以是包含可以是包含可以是包含E(z)zE(z)zn-1n-1全部极点的任意封闭曲线，全部极点的任意封闭曲线，全部极点的任意封闭曲线，全部极点的任意封闭曲线，若若若若z zi i为一重极点为一重极点为一重极点为一重极点若若若若z zi i为为为为q q重极点重极点重极点重极点例例例例8-98-98-98-9：求：求：求：求的的的的Z Z Z Z反变换反变换反变换反变换解：解：解：解：有两个一重极点有两个一重极点有两个一重极点有两个一重极点的的的的Z Z Z Z反变换反变换反变换反变换解：解：解：解：有一个两重极点有一个两重极点有一个两重极点有一个两重极点例例例例8-108-108-108-10：求：求：求：求7-3采样采样系统的数学模型系统的数学模型差分方程；差分方程；差分方程；差分方程；脉冲传递函数；脉冲传递函数；脉冲传递函数；脉冲传递函数；离散状态空间。离散状态空间。离散状态空间。离散状态空间。将将将将输输输输入入入入序序序序列列列列 r(n)r(n)变变变变换换换换为为为为输输输输出出出出序序序序列列列列c c(n)(n)的的的的一一一一种种种种变变变变换换换换关关关关系系系系,称为离散系统称为离散系统称为离散系统称为离散系统.记作记作记作记作其其其其中中中中,r(n)r(n)和和和和 c(n)c(n)为为为为 时时时时系系系系统统统统的的的的输入序列输入序列输入序列输入序列 和输出序列和输出序列和输出序列和输出序列 为采样周期为采样周期为采样周期为采样周期.一、线性离散系统的一、线性离散系统的一、线性离散系统的一、线性离散系统的数学模型数学模型数学模型数学模型1 1 1 1、离散系统的数学定义、离散系统的数学定义、离散系统的数学定义、离散系统的数学定义两个采样点信息之间的微商即称为差分。两个采样点信息之间的微商即称为差分。两个采样点信息之间的微商即称为差分。两个采样点信息之间的微商即称为差分。忽略采样间隔忽略采样间隔忽略采样间隔忽略采样间隔T T连续时间系统连续时间系统连续时间系统连续时间系统r r(t t)c c(t t)微分方程微分方程微分方程微分方程R R(s s)C C(s s)G G(s s)2 2 2 2、差分方程及其解法差分方程及其解法差分方程及其解法差分方程及其解法连续时间系统连续时间系统连续时间系统连续时间系统r r(k k)c c(k k)差差差差分方程分方程分方程分方程R R(z z)C C(z z)G G(z z)这这这这样样样样就就就就变变变变成成成成了了了了以以以以复复复复变变变变量量量量z z为为为为自自自自变变变变量量量量的的的的函函函函数数数数。称称称称此此此此函函函函数数数数为为为为f f*(*(t t)的的的的z z变换。变换。变换。变换。将上式展开：将上式展开：将上式展开：将上式展开：可见，采样函数的可见，采样函数的可见，采样函数的可见，采样函数的z z变换是变量变换是变量变换是变量变换是变量z z的幂级数。的幂级数。的幂级数。的幂级数。z z变换与变换与变换与变换与z z反变换并非一一对应反变换并非一一对应反变换并非一一对应反变换并非一一对应3 3、用、用、用、用z z变换法解差分方程变换法解差分方程变换法解差分方程变换法解差分方程例例例例8-11 8-11 已知一阶差分方程为：已知一阶差分方程为：已知一阶差分方程为：已知一阶差分方程为：设输入为阶跃信号设输入为阶跃信号设输入为阶跃信号设输入为阶跃信号u u(kTkT)=)=A A，初始条件，初始条件，初始条件，初始条件y y(0)=0(0)=0，试求响应，试求响应，试求响应，试求响应y y(kTkT)。解解解解 将差分方程两端取将差分方程两端取将差分方程两端取将差分方程两端取z z变换，得：变换，得：变换，得：变换，得：代入初始条件，求得输出的代入初始条件，求得输出的代入初始条件，求得输出的代入初始条件，求得输出的z z变换为：变换为：变换为：变换为：为为为为求求求求得得得得时时时时域域域域响响响响应应应应y y(kTkT)，需需需需对对对对Y Y(z z)进进进进行行行行反反反反变变变变换换换换，先先先先将将将将Y Y(z z)/)/z z展展展展成成成成部部部部分分式：分分式：分分式：分分式：于是于是于是于是 查变换表，求得上式的反变换为：查变换表，求得上式的反变换为：查变换表，求得上式的反变换为：查变换表，求得上式的反变换为：二、脉冲传递函数二、脉冲传递函数二、脉冲传递函数二、脉冲传递函数1 1 1 1、脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义离散过程的结构离散过