处理有色噪声扰动的最小二乘类方法.pptx
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1、第五讲第五讲 处理有色噪声扰动的处理有色噪声扰动的LS类方法类方法(2/3)q从从本本讲讲开开始始,我我们们将将讨讨论论具具有有随随机机扰扰动动为为相相关关性性扰扰动动(有有色色噪噪声声)的的动动态态系系统统的的无无偏偏一一致致的的参参数数估估计计问问题题,具具体体的的LS类类方方法法有有增广最小二乘法增广最小二乘法(Extended Least-square Method,ELS)广广义义最最小小二二乘乘法法(Generalized Least-square Method,GLS)辅助变量法辅助变量法(Instrumental Variables Method,IV)等等.其它无偏参数估计算
2、法还有其它无偏参数估计算法还有多步最小二乘法多步最小二乘法偏差补偿最小二乘法偏差补偿最小二乘法第五讲第五讲 处理有色噪声扰动的处理有色噪声扰动的LS类方法类方法(3/3)q这些不同的处理有色噪声的辨识方法主要是针对不同的这些不同的处理有色噪声的辨识方法主要是针对不同的有色噪声的特性、有色噪声的特性、有色噪声的不同模型表达、以及有色噪声的不同模型表达、以及不同的辨识要求不同的辨识要求提出的提出的.下面就分别讨论下面就分别讨论:增广最小二乘法增广最小二乘法(ELS)广义最小二乘法广义最小二乘法(GLS)辅助变量法辅助变量法(IV)其它方法可参阅其它教材和文献其它方法可参阅其它教材和文献.1.ELS
3、法法(1/19)1.增广最小二乘法增广最小二乘法q考虑如下考虑如下SISO随机离散系统随机离散系统A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+v(k)(1)其中其中y(k),u(k)和和v(k)分别为系统的输出、输入和相关的随机扰动分别为系统的输出、输入和相关的随机扰动;对对所所考考虑虑的的模模型型的的相相关关随随机机扰扰动动v(k),一一般般假假定定其其为平稳相关序列为平稳相关序列.1.ELS法法(2/19)由由第第二二讲讲中中的的关关于于有有色色噪噪声声的的结结论论1和和假假设设2可可知知,平稳的相关扰动平稳的相关扰动v(k)可被建模如下可被建模如下v(k)=C(z-1)w(k)(2)其中
4、其中w(k)为白噪声序列为白噪声序列;C(z-1)为为未未知知的的、稳稳定定的的、有有限限阶阶的的线线性性滤滤波波器器,并可表示为如下首一多项式并可表示为如下首一多项式因此因此,由系统模型由系统模型(1)和噪声模型和噪声模型(2),可得如下表示可得如下表示A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+C(z-1)w(k)1.ELS法法(3/19)当当假假定定噪噪声声w(k)可可测测已已知知时时,上上式式又又可可表表示示为为如如下自回归方程下自回归方程y(k)=(k-1)+)+w(k)(3)其中其中A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+C(z-1)w(k)1.ELS法法(4/19)q当当上上
5、述述观观测测数数据据向向量量(k-1)精精确确已已知知时时,利利用用前前面面讨讨论论的的成成批批或或RLS法法可可求求得得回回归归参参数数向向量量 的的LS估估计计值值.但但是是,实实际际上上上上述述数数据据向向量量(k-1)中中包包含含有有不不可可测测的的噪噪声声量量w(k-1),.,w(k-nc),因因此此对对自自回回归归式式(3)并并不能直接套用不能直接套用LS估计方法估计方法.为为此此,引引入入通通过过在在递递推推参参数数估估计计过过程程中中在在线线估估计计噪声噪声w(k)以实现模型参数在线递推估计的以实现模型参数在线递推估计的ELS法法.1.ELS法法(5/19)ELS法的思想就是法
6、的思想就是:利利用用该该参参数数估估计计值值来来在在线线估估计计白白噪噪声声w(k-i)的的值值 (k-i)以替代数据向量以替代数据向量(k-1)中的白噪声中的白噪声w(k-i),然后进行下一步的参数估计然后进行下一步的参数估计.在在递递推推估估计计过过程程中中,假假设设当当前前或或前前一一步步的的在在线线参参数数估估计值已相当程度可用的前提下计值已相当程度可用的前提下,1.ELS法法(6/19)q噪噪声声w(k)的的具具体体的的估估计计算算法法是是如如下下的的事事后后估估计计或或事事前估计算法前估计算法:其中其中(k-1)为数据向量为数据向量(k-1)的如下在线估计值的如下在线估计值1.EL
7、S法法(7/19)q因此因此,基于渐消记忆的基于渐消记忆的RLS估计算法可得如下递推的估计算法可得如下递推的ELS法法其中加权因子其中加权因子l l为为1时就为普通的时就为普通的ELS法法.上上述述ELS辨辨识识实实际际上上是是 的的参参数数估估计计和和噪噪声声wk的的估估计计交交替进行替进行,计算顺序为计算顺序为:1.ELS法法(8/19)q上述分析过程表明上述分析过程表明,ELS法是法是LS法的一种简单推广法的一种简单推广.它它只只是是扩扩充充了了参参数数向向量量 和和数数据据向向量量(k)的的维维数数,也同时辨识噪声模型也同时辨识噪声模型.就这种意义上说就这种意义上说,可称之为可称之为E
8、LS法法.值值得得指指出出的的是是,ELS法法虽虽然然可可同同时时得得到到噪噪声声模模型型的的参参数数估估计计,但但其其收收敛敛过过程程却却比比过过程程模模型型A(z-1)和和B(z-1)的估计值的收敛慢许多的估计值的收敛慢许多.从从实实用用角角度度来来说说,噪噪声声模模型型C(z-1)的的阶阶次次不不宜宜取得太高取得太高.1.ELS法法(9/19)-ELS法计算步骤法计算步骤q综上所述综上所述,ELS法的基本计算步骤可总结如下法的基本计算步骤可总结如下1.确确定定被被辨辨识识系系统统模模型型的的结结构构,以以及及多多项项式式A(z-1)、B(z-1)和和C(z-1)的阶次的阶次;2.设定递推
9、参数初值设定递推参数初值(0),P(-1),w(0);3.采采样样获获取取新新的的观观测测数数据据y(k)和和u(k),并并组组成成观观测测数数据据向量向量(k-1);4.用用式式(5)(7)所所示示的的ELS法法计计算算当当前前参参数数递递推推估估计计值值;5.用用(4)式式计计算算白白噪噪声声w(k)的的事事后后或或事事前前在在线线估估计计值值w(k);6.循环次数循环次数k加加1,然后转回到第然后转回到第3步继续循环步继续循环.1.ELS法法(10/19)-ELS法仿真程序法仿真程序q下面给出针对随机线性离散系统下面给出针对随机线性离散系统(XARMA)的的ELS在线辨识仿真程序伪代码在
10、线辨识仿真程序伪代码./%第一步第一步 初始化初始化输入系统阶次输入系统阶次na,nb和和nc,以及加权因子以及加权因子 输入系统模型输入系统模型Az=1 a1 a2 和和Bz=0 b1 b2;输入噪声模型输入噪声模型Cz=1 c1 c2 输入系统输入信号输入系统输入信号u(k)的方差的方差 u、过程噪声、过程噪声w(k)的方差的方差 w和输入输出测和输入输出测量噪声量噪声 uw、yw设定系统变量初始值设定系统变量初始值:yf1:na+1=0;uf1:nb+1=0;wf1:nc+1=0;设定辨识变量初始值设定辨识变量初始值:yb1:na+1=0;ub1:nb+1=0;wb=1:nc+1=0;1
11、:na+nb+nc=0;P=106*I(na+nb+nc,na+nb+nc);1.ELS法法(11/19)-ELS法仿真程序法仿真程序)/%第二步第二步 辨识仿真辨识仿真for k=1:最大仿真步数最大仿真步数/%被控对象模型仿真被控对象模型仿真(产生系统输入输出信号产生系统输入输出信号,即数据即数据)yf2:na+1=yf1:na;uf2:nb+1=uf1:nb;wf2:nc+1=wf1:nc;uf1=2*u*(rand()-0.5);wf1=2*w*(rand()-0.5);yf1=-Az2:na+1*yf2:na+1+Bz2:nb+1*uf2:nb+1+Cz1:nc+1*wf1:nc+1
12、;1.ELS法法(12/19)-ELS法仿真程序法仿真程序/%输入输出数据检测输入输出数据检测ub1=uf1;yb1=yf1;/%或模拟检测噪声或模拟检测噪声%ub1=uf1+2*uw*(rand()-0.5);%yb1=yf1+2*yw*(rand()-0.5);/%在线递推辨识过程仿真在线递推辨识过程仿真=-yb(2:na+1)ub(2:nb+1)wb(2:nc+1);K=P*/(+*P*);=+K*yb(1)-*;P=I-K*P/;修正矩阵修正矩阵P;输出在线递推参数估计值输出在线递推参数估计值;1.ELS法法(13/19)-ELS法仿真程序法仿真程序wb1=yb(1)-*;yb2:na
13、+1=yb1:na;ub2:nb+1=ub1:nb;wb2:nc+1=wb1:nc;也可采用事前估计也可采用事前估计1.ELS法法(14/19)例例1q例例1 考考虑虑如如图图下下所所示示的的仿仿真真对对象象,图中图中通过控制通过控制 w值来改变数据的噪信比值来改变数据的噪信比.q辨识中辨识中,选择如下模型结构选择如下模型结构y(k)+a1y(k-1)+a2y(k-2)=b1u(k-1)+b2u(k-2)+w(k)+c1w(k-1)+c2w(k-2)(8)其它条件同第四讲中的例其它条件同第四讲中的例1.结果如下表所示结果如下表所示.w(k)是是服服从从均均值值为为零零,方方差差为为1的的正正态
14、态分分布布的的不不相相关关随随机噪声机噪声;输输入入信信号号u(k)采采用用伪伪随随机机二进制序列二进制序列;1.ELS法法(15/19)表表1 计算机仿真结果计算机仿真结果(噪信比噪信比=23%,数据组数数据组数1000)参数参数a1a2b1b2c1c2真值真值-1.50.71.00.5-1.00.2估计值估计值=1-1.4960.71170.99920.4982-0.90980.1193估计值估计值=0.98-1.4650.69401.06600.5506-0.97780.33691.ELS法法(16/19)q递推辨识过程的辨识值如下图所示遗忘因子=1时递推辨识结果(1)参数估计误差的平方
15、和噪声估计误差1.ELS法法(17/19)遗忘因子=1时递推辨识结果(2)参数估计误差的平方和噪声估计误差1.ELS法法(18/19)遗忘因子=0.98时递推辨识结果(1)参数估计误差的平方和噪声估计误差1.ELS法法(19/19)遗忘因子=0.98时递推辨识结果(2)参数估计误差的平方和噪声估计误差2.GLS2.GLS法法(1/3)(1/3)2.广义最小二乘法广义最小二乘法q上一讲上一讲讨论了相关随机扰动讨论了相关随机扰动v(k)可用可用C(z-1)w(k)建模情况下的建模情况下的参数估计问题参数估计问题.但但有有些些相相关关扰扰动动用用C(z-1)w(k)来来建建模模的的话话,线线性性滤滤
16、波波器器C(z-1)的的阶阶次次相相当当高高,这这加加大大了了参参数数估估计计的的工工作作量量,也也极极大大地地影影响了建模的精度和使用上的困难性响了建模的精度和使用上的困难性.在在此此情况情况下下,相关扰动相关扰动v(k)可用如下方式建模可用如下方式建模v(k)=w(k)/D(z-1)(1)其中其中w(k)为零均值的白噪声为零均值的白噪声;2.GLS2.GLS法法(2/3)(2/3)1/D(z-1)为为未未知知的的、稳稳定定的的、有有限限阶阶的的线线性性滤滤波波器器,且且D(z-1)可可表表示示为为如如下下稳稳定定的的、阶阶次次较较低的低的首一多项式首一多项式因因此此,具具有有该该类类相相关
17、关随随机机扰扰动动的的随随机机离离散散系系统统的的数学模型为数学模型为:A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+v(k)=B(z-1)u(k)+w(k)/D(z-1)(2)2.GLS2.GLS法法(3/3)(3/3)q广广义义最最小小二二乘乘(Generalized Least-squares,GLS)法法讨讨论论的的是可用模型是可用模型(2)表示的随机离散系统的参数估计问题表示的随机离散系统的参数估计问题.下面下面,将分别讨论将分别讨论成批型成批型和和递推型递推型GLS法法的思想和算法的思想和算法,以及以及GLS仿真仿真GLS评述评述一、成批型一、成批型GLS法法(1/9)(1/9)一、
18、成批型一、成批型GLS法法q成批型成批型GLS法的基本思想是法的基本思想是:先先预预选选定定一一个个线线性性滤滤波波器器Df(z-1)将将模模型型中中的的输输出出y(k)、输输入入u(k)和有色噪声和有色噪声w(k)/D(z-1)白色化白色化,即将模型即将模型A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+w(k)/D(z-1)两边左乘两边左乘线性滤波器线性滤波器Df(z-1)后后,有有A(z-1)Df(z-1)y(k)B(z-1)Df(z-1)u(k)+w(k)并记为并记为A(z-1)yf(k)B(z-1)uf(k)+w(k)再再对对上上述述白白色色化化后后的的模模型型中中多多项项式式A(z-1
19、)和和B(z-1)的的系系数数进行进行LS估计估计;一、成批型一、成批型GLS法法(2/9)(2/9)然后基于对然后基于对A(z-1)和和B(z-1)的估计的估计,利用模型利用模型A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+v(k)来计算模型残差来计算模型残差(相关噪声相关噪声)v(k)的估计值的估计值再基于噪声模型再基于噪声模型D(z-1)v(k)=w(k)和和相相关关噪噪声声v(k)的的估估计计值值,利利用用LS法法辨辨识识D(z-1),并并基基于于此此修正选定的滤波器修正选定的滤波器Df(z-1);如如此此循循环环往往复复地地进进行行Df(z-1)的的修修正正及及A(z-1)和和B(z-
20、1)的的迭迭代代估估计计,直直到到模模型型的的估估计计残残差差满满足足给给定定的的精精度度或者或者Df(z-1)、A(z-1)和和B(z-1)的变化量相对较小为止的变化量相对较小为止.一、成批型一、成批型GLS法法(3/9)(3/9)计算步骤计算步骤q上述上述成批型成批型GLS法基本思想法基本思想可用如下流程图图示可用如下流程图图示.q综上所述综上所述,成批型的成批型的GLS法的算法和计算步骤如下法的算法和计算步骤如下:Step 1.确确定定被被辨辨识识系系统统模模型型的的结结构构,以以及及多多项项式式A(z-1)、B(z-1)和和D(z-1)的阶次的阶次;Step 2.选定选定稳定的稳定的初
21、始滤波器初始滤波器Df(z-1);一、成批型一、成批型GLS法法(4/9)(4/9)计算步骤计算步骤Step 3.采样获取新的观测数据采样获取新的观测数据y(k)和和u(k);Step 4.基于滤波器基于滤波器Df(z-1),进行如下滤波计算进行如下滤波计算yf(k)=Df(z-1)y(k)(3)uf(k)=Df(z-1)u(k)(4)Step 5.由由(2)(4)式式,列成如下自回归方程列成如下自回归方程:其中一、成批型一、成批型GLS法法(5/9)(5/9)计算步骤计算步骤并由此得如下向量式的自回归方程组并由此得如下向量式的自回归方程组Yf=f f+W (6)其中其中Yf=yf(1),yf
22、(2),.,yf(L)W=w(1),w(2),.,w(L)f=f(0),f(1),.,f(L-1)Step 6.用如下用如下LS法计算法计算f参数估计值参数估计值一、成批型一、成批型GLS法法(6/9)(6/9)计算步骤计算步骤Step 7.由由(2)式有式有y(k)=(k-1)f+v(k)(8)其中其中(k-1)=y(k-1),y(k-na)u(k-1),u(k-nb)因此因此,基于基于(7)式的参数估计值式的参数估计值 f,计算相关扰动计算相关扰动v(k)的估计的估计值值,即回归式即回归式(8)的如下估计残差的如下估计残差一、成批型一、成批型GLS法法(7/9)(7/9)计算步骤计算步骤S
23、tep 8.由由(1)式式,可得如下关于相关扰动可得如下关于相关扰动v(k)和白噪声和白噪声w(k)的的自回归方程自回归方程其中并由此得如下向量式的自回归方程组并由此得如下向量式的自回归方程组V=vv+W (11)其中其中V=v(1),v(2),.,v(L)v=v(0),v(1),.,v(L-1)一、成批型一、成批型GLS法法(8/9)(8/9)计算步骤计算步骤Step 9.选取上一步估计得的选取上一步估计得的D(z-1)的估计值作进行的估计值作进行系统白色化处理的线性滤波器系统白色化处理的线性滤波器Df(z-1).若模型的估计残差满足给定的精度或者若模型的估计残差满足给定的精度或者Df(z-
24、1)、A(z-1)和和B(z-1)的变化量相对较小则循环结束的变化量相对较小则循环结束,否则返回第否则返回第4步继续循环步继续循环.因此因此,将用式将用式(9)计算好的相关扰动计算好的相关扰动v(k)的估计值的估计值 (k)来替代自回归方程组来替代自回归方程组(11)的相关扰动的相关扰动v(k),则可则可得如下回归参数向量得如下回归参数向量v,即噪声模型即噪声模型D(z-1)的系数的系数的的LS估计值估计值一、成批型一、成批型GLS法法(9/9)(9/9)q以以上上辨辨识识过过程程表表明明,GLS法法的的思思想想是是对对输输入入输输出出数数据据先先进进行行一一次次滤滤波波预预处处理理,然然后后
25、利利用用普普通通LS法法对对滤滤波波后后的的数数据据进进行行辨辨识识,并反复迭代此过程并反复迭代此过程.可可想想而而知知,这这种种方方法法受受滤滤波波模模型型的的好好坏坏的的影影响响较较大大,而而在在迭迭代代过过程程中中滤滤波波模模型型的的好好坏坏也也直直接接与与系系统统模模型型辨辨识识结结果果有有直接的关系直接的关系.q从优化理论的角度来说从优化理论的角度来说,GLS法其实属于非线性优化方法法其实属于非线性优化方法.因因此此,难难以以避避免免出出现现非非线线性性优优化化中中的的局局部部极极值值点点情情况况,即即该该方法并不能保证得到的估计值是一致无偏的方法并不能保证得到的估计值是一致无偏的.
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