社会统计学5离中趋势的量.pptx
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1、2024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度110名同学的成绩:名同学的成绩:78 80 82 85 89 87 90 86 79 88另另10名同学的成绩名同学的成绩55 68 78 88 99 100 98 90 85 83均值相等(均值相等(84.4),但两组数据有差别吗),但两组数据有差别吗?是否有必要去计算一下数据之间的差?是否有必要去计算一下数据之间的差距呢?距呢?2024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度2A组:组:60,60,60,60,60B组:组:58,59,60,61,62C组:组:40,50,60,70,80D组:组:80,80,80,80,80平均数不同,离势可能相
2、同;平均数相同,平均数不同,离势可能相同;平均数相同,离势可能不同。离势可能不同。2024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度3第一节第一节 全距与四分位差全距与四分位差1.全距全距(range)全距(全距(R):最大值和最小值之差。也叫):最大值和最小值之差。也叫极差极差。全距越大,。全距越大,表示变动越大。表示变动越大。对分组资料,不能确知最大值和最小值:对分组资料,不能确知最大值和最小值:1、组值最大组的组中值减去最小组的组中值、组值最大组的组中值减去最小组的组中值 2、组值最大组的上限减去最小组的下限、组值最大组的上限减去最小组的下限 3、组值最大组的组中值减去最小组的下限;最大组的、
3、组值最大组的组中值减去最小组的下限;最大组的上限减去最小组的组中值上限减去最小组的组中值2024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度42024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度5求下列两组成绩的全距:求下列两组成绩的全距:A:78 80 82 85 89 87 90 86 79 88B:55 68 78 88 99 100 98 90 85 83优点:计算简单、直观。优点:计算简单、直观。缺点:受极端值影响大;缺点:受极端值影响大;没有量度中间各个单位间的差异性,数据没有量度中间各个单位间的差异性,数据利用率利用率 低,信息丧失严重;低,信息丧失严重;受抽样变动影响大,大样本全距比小样本全受
4、抽样变动影响大,大样本全距比小样本全距大。距大。2024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度62.四分位差四分位差(Quartile deviation)QD:第三四分位数和第一四分位数的半距。:第三四分位数和第一四分位数的半距。避免全距受极端值影响大的缺点。避免全距受极端值影响大的缺点。QD=2024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度7求下列两组成绩的四分位差:求下列两组成绩的四分位差:A:78 80 82 85 89 87 90 86 79 88 84 81B:55 68 78 88 99 100 98 90 85 83 84 81A:78,79,80,81,82,84,85,86,87
5、,88,89,90B:55,68,78,81,83,84,85,88,90,98,99,1002024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度8第二节第二节 平均差平均差(Mean absolute deviation(Mean absolute deviation)离差离差各变量值与算术平均数的差各变量值与算术平均数的差平均差平均差离差绝对值的算术平均数。(离差绝对值的算术平均数。(mean deviation)1.未分组资料未分组资料 A D=2.分组资料分组资料 A D=3.平均差的性质:平均差的性质:仍属算术平均数;在受抽样变动、极端值影响,理论意仍属算术平均数;在受抽样变动、极端值影响,
6、理论意义不易阐述义不易阐述有时以中位数为基准来计算平均差更合理。有时以中位数为基准来计算平均差更合理。2024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度9例例521 试分别以算术平均数为基准,试分别以算术平均数为基准,求求85,69,69,74,87,91,74这些数这些数字的平均差。字的平均差。例例522 试以算术平均数为基准,求下试以算术平均数为基准,求下表所示数据的平均差。表所示数据的平均差。2024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度10人口数(人口数(X)户数户数(f)频率频率(P)23456785816106410.100.160.320.200.120.080.02合计合计501.00
7、2024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度11第三节第三节 标准差标准差S(standard deviation)意义意义:克服平均差带有绝对值的缺点,又保留其优点。:克服平均差带有绝对值的缺点,又保留其优点。定义定义:各变量值对其算术平均数的离差平方的算术平均:各变量值对其算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根。(均方差)数的平方根。(均方差)Describes how scores of an interval/ratio variable are spread across the distribution to the mean score.1.未分组资料未分组资料 S=2024/
8、8/8 周四第五章 离中趋势的量度12 S=2024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度13方差方差方差(方差(variance,2,S2):各数据与平均数差数各数据与平均数差数的平方和的平均值称为方差,也称为变异的平方和的平均值称为方差,也称为变异数。数。因此,方差的定义公式为:因此,方差的定义公式为:2=(X-)2/n-1 S2=(X-)2/n-12024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度14例例1:求:求72、81、86、69、57这些数字的标准这些数字的标准差和方差。差和方差。简算式:简算式:S=2024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度152.分组资料分组资料S=S=2024/8
9、/8 周四第五章 离中趋势的量度16求下表数据资料的标准差求下表数据资料的标准差2024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度17l是反映总体各单位标志值的离散状况和差异程度的最是反映总体各单位标志值的离散状况和差异程度的最佳测度。佳测度。(1)以算术平均数为基准计算的标准差比以其他任何数)以算术平均数为基准计算的标准差比以其他任何数值为基准计算的标准差要小。值为基准计算的标准差要小。“最小二乘方最小二乘方”性质性质各变量值对算术平均数的离差的平方和,必定小于各变量值对算术平均数的离差的平方和,必定小于他们对任何其他数偏差的平方和。他们对任何其他数偏差的平方和。(2)它将总体中各单位标志值的差异
10、全包括在内,受抽)它将总体中各单位标志值的差异全包括在内,受抽样变动影响小。但在受极端值影响以及处理不确定组样变动影响小。但在受极端值影响以及处理不确定组距方面,缺点同算术平均数。距方面,缺点同算术平均数。l方差:标准差的平方。方差:标准差的平方。3.标准差的性质标准差的性质2024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度18问:已知一组数列的平均数和标准差,此问:已知一组数列的平均数和标准差,此时若将该组数列的每一个变量值均增加时若将该组数列的每一个变量值均增加10形成一组新数列,请问新数列的平均形成一组新数列,请问新数列的平均数和标准差怎样变化。数和标准差怎样变化。注意注意:样本标准差样本标准
11、差(Sample Standard Deviation):n-1样本方差样本方差2024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度19假如两个学生都通过不同的大学入学考试,共同假如两个学生都通过不同的大学入学考试,共同向一个学校申请奖学金。设向一个学校申请奖学金。设Mary参加的是参加的是ACT(the Academic College Testing Service)and scored 26 ACT points,036 John 参加的参加的是是SAT(the Stanford Admissions Test)and scored 900 SAT points.2001600另有其他数据,另有
12、其他数据,ACT:Mean=22,S=2SAT:Mean=1000,S=100请问若只能一人获奖,应该给谁?请问若只能一人获奖,应该给谁?2024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度204.标准分标准分(standardized score)定义:以离差和标准差的比值来测定变量定义:以离差和标准差的比值来测定变量X 与与 的相对的相对位置。使原来不能直接比较的离差标准化,可以相互位置。使原来不能直接比较的离差标准化,可以相互比较,加、减、平均比较,加、减、平均 Z=z分数的特性:分数的特性:1、z是和是和X一一对应的变量值。一一对应的变量值。2、Z分数没有单位,是一个不受原资料单位影响的相对分
13、数没有单位,是一个不受原资料单位影响的相对数,所以可以用于不同单位资料的比较。数,所以可以用于不同单位资料的比较。3、Z分数实际表达了变量值距总体均值有几个标准差。分数实际表达了变量值距总体均值有几个标准差。Z=2,Z=3.2,标准正态变量标准正态变量2024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度21Z分数的性质:分数的性质:1、Z分数之和等于分数之和等于02、Z分数的算术平均数等于分数的算术平均数等于03、Z分数的标准差等于分数的标准差等于1,方差也等于,方差也等于1实际意义:以均值为基础,以标准差为量度单位,各实际意义:以均值为基础,以标准差为量度单位,各总体之间可以通过标准分进行合理的比较
14、和相加。总体之间可以通过标准分进行合理的比较和相加。2024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度22Z分数的应用分数的应用(1)可用于比较分数性质不同的观测值在各可用于比较分数性质不同的观测值在各自数据分布中的相对位置高低。自数据分布中的相对位置高低。(2)当已知各不同质的观测值的次数分布为当已知各不同质的观测值的次数分布为正态分布时,可用正态分布时,可用Z分数求不同观测值的分数求不同观测值的总和或均值,以表示在团体中的相对位总和或均值,以表示在团体中的相对位置。置。2024/8/8 周四第五章 离中趋势的量度23例例1:甲班的平均分为:甲班的平均分为80分,乙班的平均分为分,乙班的平均分为6
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