超静定结构力法.pptx

第二部分第二部分 超静定结构超静定结构第六章第六章 力法力法 1 超静定结构的组成和超静定次数超静定结构的组成和超静定次数 2 力法的基本概念力法的基本概念 3 超静定刚架和排架超静定刚架和排架 4 超静定桁架和组合结构超静定桁架和组合结构 5 对称结构的计算对称结构的计算 6 两铰拱两铰拱7 无铰拱（自学）无铰拱（自学）8支座移动和温度改变时的计算支座移动和温度改变时的计算 9 超静定结构位移的计算超静定结构位移的计算10超静定结构计算的校核超静定结构计算的校核1 超静定结构的组成和超静定次数超静定结构的组成和超静定次数超静定结构的组成超静定结构的组成 超静定次数超静定次数 一、超静定结构一、超静定结构1、超静定结构的两大特征、超静定结构的两大特征(1)在几何组成方面在几何组成方面：静定结构是没有多余约束的几何不变：静定结构是没有多余约束的几何不变体系，而超静定结构则是有多余约束的几何不变体系体系，而超静定结构则是有多余约束的几何不变体系(2)在静力分析方面在静力分析方面：静定结构的支座反力和截面内力都可：静定结构的支座反力和截面内力都可以用静力平衡条件唯一地确定，而超静定结构的支座反力以用静力平衡条件唯一地确定，而超静定结构的支座反力和截面内力不能完全由静力平衡条件唯一地加以确定和截面内力不能完全由静力平衡条件唯一地加以确定 从两个方面把它与静定结构作一个对比从两个方面把它与静定结构作一个对比:总起来说，总起来说，约束有多余的，内力（或支座反力）是超约束有多余的，内力（或支座反力）是超静定的，静定的，这就是超静定结构区别于静定结构的两大基这就是超静定结构区别于静定结构的两大基本特征。凡符合这两个特征的结构，就称为超静定结本特征。凡符合这两个特征的结构，就称为超静定结构。构。FPFPFPFPFPFPFPFPqqX1X1X1X2X22、超静定结构的两种约束、超静定结构的两种约束(1)必要约束：对维持体系的几何不变性不可缺少的约必要约束：对维持体系的几何不变性不可缺少的约束，称为必要约束。束，称为必要约束。(2)多余约束：对维持体系的几何不变性不是必需的约束，多余约束：对维持体系的几何不变性不是必需的约束，称为多余约束。称为多余约束。多余约束中的约束力称为多余约束中的约束力称为多余约束力多余约束力，一般用，一般用Xi（i=1,2,n）表示。多余约束对结构的作用可以用相）表示。多余约束对结构的作用可以用相应的多余约束力代替应的多余约束力代替。多余约束虽然不改变体系的几。多余约束虽然不改变体系的几何组成性质，但多余约束的存在，将何组成性质，但多余约束的存在，将影响结构的内力影响结构的内力与变形的大小及分布规律与变形的大小及分布规律。3、超静定结构的五种类型、超静定结构的五种类型1）超静定梁）超静定梁 2）超静定刚架）超静定刚架 3）超静定拱）超静定拱 4）超静定桁架）超静定桁架 5）超静定组合结构）超静定组合结构 4、分析超静定结构的两个基本方法、分析超静定结构的两个基本方法力法力法和和位移法位移法是分析超静定结构的两个基本方法。是分析超静定结构的两个基本方法。力法是提出较早、发展最完备的计算方法，同时也是力法是提出较早、发展最完备的计算方法，同时也是更为基本的方法。更为基本的方法。位移法的提出较力法稍晚些，是在位移法的提出较力法稍晚些，是在20世纪初为了计算世纪初为了计算复杂刚架而建立起来的。复杂刚架而建立起来的。在上述两种基本方法的基础上，还曾演变出多种在上述两种基本方法的基础上，还曾演变出多种渐近渐近法和近似法法和近似法，主要用以克服当年因计算手段滞后给手，主要用以克服当年因计算手段滞后给手算工作带来的困难。属于位移法类型的渐近解法算工作带来的困难。属于位移法类型的渐近解法力矩分配法和无剪力分配法；以及近似解法力矩分配法和无剪力分配法；以及近似解法分层分层计算法和反弯点法，至今仍具有工程实用价值，计算法和反弯点法，至今仍具有工程实用价值，二、超静定次数的确定二、超静定次数的确定力法是以结构中的力法是以结构中的多余约束力多余约束力为基本未知量的，为基本未知量的，一个一个结构的基本未知量数目就等于结构的多余约束数目结构的基本未知量数目就等于结构的多余约束数目。因此，力法计算首先要找出结构的多余约束。因此，力法计算首先要找出结构的多余约束。超静定结构中的多余约束数目，称为超静定次数超静定结构中的多余约束数目，称为超静定次数，用，用n表示。表示。确定结构超静定次数最直接的方法是确定结构超静定次数最直接的方法是解除多余约束法解除多余约束法，即将原结构的多余约束移去，使其成为一个（或几个）即将原结构的多余约束移去，使其成为一个（或几个）静定结构，则所解除的多余约束数目就是原结构的超静定结构，则所解除的多余约束数目就是原结构的超静定次数。静定次数。1）移去一根支杆或切断一根链杆，）移去一根支杆或切断一根链杆，相当于解除一个约束。相当于解除一个约束。2）移去一个不动铰支座或切开一个）移去一个不动铰支座或切开一个单铰，相当于解除两个约束。单铰，相当于解除两个约束。3）移去一个固定支座或切断一根梁）移去一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于解除三个约束。式杆，相当于解除三个约束。4）将固定支座改为不动铰支座或）将固定支座改为不动铰支座或将梁式杆中某截面改为铰结，相当将梁式杆中某截面改为铰结，相当于解除一个转动约束。于解除一个转动约束。X1X1X1X1X2X1X1X2X2X1X2X3X1X1X2X3X3X1X1解除超静定结构的多余约束，归纳起来有以下几种方式：解除超静定结构的多余约束，归纳起来有以下几种方式：在解除多余约束判断结构的超静定次数时，应特别注意：既须在解除多余约束判断结构的超静定次数时，应特别注意：既须移去全部多余约束，又要保留每个必要约束，以保证结构成为移去全部多余约束，又要保留每个必要约束，以保证结构成为没有任何多余约束的几何不变体系，亦即成为静定结构。没有任何多余约束的几何不变体系，亦即成为静定结构。对于图示结构，水平支座链杆不可去掉，否则就将变成几何可对于图示结构，水平支座链杆不可去掉，否则就将变成几何可变体系；如果只去掉一根竖向支座链杆，则其中的闭合框格仍变体系；如果只去掉一根竖向支座链杆，则其中的闭合框格仍然具有三个多余约束。还必须把该闭合框格再切开一个截面，然具有三个多余约束。还必须把该闭合框格再切开一个截面，这时才成为静定结构。因此，原结构总共有四个多余约束，即这时才成为静定结构。因此，原结构总共有四个多余约束，即为为四次超静定体系四次超静定体系。X1X1X2X2X3X4X4（1）刚性联结的封闭框格，必须沿某一截面将其切断。）刚性联结的封闭框格，必须沿某一截面将其切断。（2）去掉多余联系的方法有多种，但所得到的必须是几）去掉多余联系的方法有多种，但所得到的必须是几何不变体系；几何可变、瞬变均不可以。何不变体系；几何可变、瞬变均不可以。图示体系是六次超静定结构：图示体系是六次超静定结构：对同一超静定结构，可以采取不同的方式移去多余约束，而对同一超静定结构，可以采取不同的方式移去多余约束，而得到不同的静定结构，但是多余约束的数目总是相同的，因得到不同的静定结构，但是多余约束的数目总是相同的，因而所确定的结构超静定次数也是唯一的。而所确定的结构超静定次数也是唯一的。n=6超静定刚架超静定刚架X1X2X2X3X4X5X6三铰刚架三铰刚架X1X1X2X3X4X4X5X6X6二悬臂折梁二悬臂折梁X1X2X3X4X5X6简支刚架简支刚架例例试确定图试确定图(a)、(b)所示结构的基所示结构的基本未知量本未知量。(a)(a1)(a2)（3 次）或（14 次）或或(1 次）(6 次)(4 次)2力法的基本概念力法的基本概念一、力法的基本思路一、力法的基本思路:把把超静定结构超静定结构的计算问题的计算问题转化为静转化为静定结构定结构的问题，即利用已熟悉的静定结构的计算方法达到计的问题，即利用已熟悉的静定结构的计算方法达到计算超静定结构的目的。算超静定结构的目的。1、找出关键问题、找出关键问题力法的基本未知量力法的基本未知量图中的超静定结构与静定结构相比较，其不同之处在于：在支图中的超静定结构与静定结构相比较，其不同之处在于：在支座座B处多了一个多余未知力处多了一个多余未知力X1，这就造成了该结构的超静定性。，这就造成了该结构的超静定性。只要能设法求出这个只要能设法求出这个X1，则剩下的问题就纯属静定问题了，则剩下的问题就纯属静定问题了FPFPFAxFAyMAX1静定结构静定结构AABBCC2、寻求过渡途径、寻求过渡途径力法的基本体系力法的基本体系将图示结构的多余约束移去，而代之以多余未知力将图示结构的多余约束移去，而代之以多余未知力X1，并保留，并保留原荷载所得到的结构，称为力法的原荷载所得到的结构，称为力法的基本体系基本体系。与之相应，把结。与之相应，把结构的多余约束并连同荷载一起移去后所得到的结构，称为力法构的多余约束并连同荷载一起移去后所得到的结构，称为力法的的基本结构基本结构。基本体系基本体系本身既是静定结构，又可用它代表原来的超静定结构。本身既是静定结构，又可用它代表原来的超静定结构。因此，它是由静定结构过渡到超静定结构的有效途径。因此，它是由静定结构过渡到超静定结构的有效途径。FPFPFAxFAyMAX1静定结构静定结构AABBCCFPX1AABBC基本体系基本体系基本结构基本结构3、补充转化条件、补充转化条件力法的基本方程力法的基本方程基本体系转化为原来超静定结构的条件是：基本体系沿基本体系转化为原来超静定结构的条件是：基本体系沿多余未知力多余未知力X1方向的位移方向的位移D D1应与原结构位移应与原结构位移B相同，即相同，即1=B=0 这个转化条件是一个变形条件或称这个转化条件是一个变形条件或称位移条件位移条件，也就是，也就是计算多余未知力时所需要的补充条件。计算多余未知力时所需要的补充条件。FPFPFAxFAyMAX1静定结构静定结构AABBCCFPX1AABBC基本体系基本体系基本结构基本结构应用叠加原理把条件写成显含多余未知力应用叠加原理把条件写成显含多余未知力Xi的展开形式。的展开形式。1=B=01=1P11=0 1为基本体系在荷载与未知力为基本体系在荷载与未知力X1共共同作用下沿同作用下沿X1方向的总位移；方向的总位移；1P为基本结构在荷载单独作用下为基本结构在荷载单独作用下沿沿X1方向的位移；方向的位移；11为基本结构在未知力为基本结构在未知力X1单独作单独作用下沿用下沿X1方向的位移。方向的位移。位移位移1、1P和和11的的符号符号都以沿假都以沿假定的定的X1方向为正。方向为正。=FPAABBC1PX111+FPABCEIl/2l/2X1基本体系基本体系(1=B=0)拐点拐点若以若以d d1111表示基本结构在单位力表示基本结构在单位力X1=1单独作用下沿单独作用下沿X1方向产生的位移，方向产生的位移，则有则有 于是，上述位移条件可写为于是，上述位移条件可写为 此方程便称为一次超静定结构的力法的基本方程。此方程便称为一次超静定结构的力法的基本方程。FPABCEIl/2l/2X1基本体系基本体系(1=B=0)FPAABBC1PX111ABX1=1d d11ABX111=d d11X111=d d11X111X1+1P=0=+的面积与该面积形心处的竖的面积与该面积形心处的竖可由可由 标相乘得出，叫做标相乘得出，叫做自乘自乘。由此，将求柔度系数和自由项的过程，演由此，将求柔度系数和自由项的过程，演变成各弯矩图变成各弯矩图自乘自乘或或互乘互乘的过程。的过程。可由可由 图的面积与该面积形心对图的面积与该面积形心对对应的对应的 图的竖标相乘得出（由位移图的竖标相乘得出（由位移互等定理，也可交换取面积和竖标），互等定理，也可交换取面积和竖标），叫做叫做互乘互乘。11X1+1P=0X1=1y01y02A1A2lABABCFPFPl/2MP图图图图正号表明正号表明X1的的实际方向与假实际方向与假定方向相同，定方向相同，即向上。即向上。可利用已经绘出的可利用已经绘出的 图和图和MP图按叠加法绘制，即图按叠加法绘制，即X1=1lABABABCCFPFPl/2MP图图3FPl/165FPl/32M图图X1=5FP/16图图FP二、力法的计算步骤二、力法的计算步骤1）确定基本未知量数目）确定基本未知量数目 2）选择力法基本体系）选择力法基本体系。3）建立力法基本方程。）建立力法基本方程。4）求系数和自由项。）求系数和自由项。5）将系数和自由项代入力法方程，解方程，求多余未知力。）将系数和自由项代入力法方程，解方程，求多余未知力。6）作内力图：）作内力图：叠加法计算控制截面的内力值叠加法计算控制截面的内力值。7）校核。）校核。力法基本未知量数力法基本未知量数=结构的多余约束数结构的多余约束数=结构的超静定次数结构的超静定次数11X1+1P=0BAqx1原结构原结构 基本体系基本体系 【例例】试计算图示连续梁，并作内力图。试计算图示连续梁，并作内力图。解：解：(1)确定基本未知量数目确定基本未知量数目(2)选择力法基本体系选择力法基本体系(3)建立力法基本方程建立力法基本方程此连续梁外部具有一个多余约束，即此连续梁外部具有一个多余约束，即n=1qqqAABBCCllX1X1b)基本体系基本体系a)一次超静定结构一次超静定结构拐点拐点拐点拐点(4)求系数求系数d d11和自由项和自由项D D1P在基本结构上分别作在基本结构上分别作 图和图和MP图图(5)解方程，求多余未知力解方程，求多余未知力X1()qMP图图AABBCCA1A1A2A2ql2/8ql2/8y01y01y02y02图图111(6)作内力图作内力图可利用叠加公式可利用叠加公式 计算和作计算和作M图，即图，即M图图 ql2/8ql2/8ql2/8(ql2/8)(ql2/8)ABCDE取杆件为隔离体，化作等效简支梁，根据已知的杆端弯取杆件为隔离体，化作等效简支梁，根据已知的杆端弯矩和跨间荷载，由平衡条件求出杆端剪力，并作矩和跨间荷载，由平衡条件求出杆端剪力，并作FQ图图 力法的基本原理是：力法的基本原理是：以结构中的多余未知力为以结构中的多余未知力为基本未知量基本未知量；根据基本体系上解除多余约束处的位移应与原结构的已知根据基本体系上解除多余约束处的位移应与原结构的已知位移相等的位移相等的变形条件变形条件，建立力法的，建立力法的基本方程基本方程，从而求得多，从而求得多余未知力；最后，在基本结构上，应用叠加原理作原结构余未知力；最后，在基本结构上，应用叠加原理作原结构的内力图的内力图 ql2/8ql2/8ql2/8(ql2/8)(ql2/8)ABCDEM图图FQ图图 ABC3ql/85ql/83ql/85ql/8三、力法的基本体系选择及典型方程三、力法的基本体系选择及典型方程(一一)关于基本体系的选择关于基本体系的选择第一，必须满足几何不变的条件。第一，必须满足几何不变的条件。FPFPFPFPFPFPqqqqqqX2X1X3X1X2X3X1X2X3X1X2X3X1X2X3第二，便于绘制内力图。第二，便于绘制内力图。FPFPFPMMMqqqAABBBCCCDDDX1X2X1X2A第三，基本结构只能由原结构减少约束而得到，不能增加第三，基本结构只能由原结构减少约束而得到，不能增加新的约束。新的约束。AAABBBCCCDDDX1X1X1对对错错原原结结构构FP基基本本体体系系 一一FP解法解法1:有两个多余约束有两个多余约束解除多余约束解除多余约束代以未知力代以未知力基基本本未未知知力力(二二)关于多次超静定基本方程的建立关于多次超静定基本方程的建立先讨论两次超静定结构。先讨论两次超静定结构。PFP或或基本未知力引起的位移基本未知力引起的位移荷载引起的位移荷载引起的位移变形协调条件变形协调条件 力法典型方程力法典型方程FPFPa作单位和荷载弯矩图作单位和荷载弯矩图求系数、建立力法方程并求解求系数、建立力法方程并求解仅与刚仅与刚度相对度相对值有关值有关FPFPaFP（Fpa）由叠加原理求得由叠加原理求得也可以选择其它形式的基本体系也可以选择其它形式的基本体系。变形条件仍写为。变形条件仍写为 D D1=0（表示基本体系在（表示基本体系在X1处的转角为零）处的转角为零）D D2=0（表示基本体系在（表示基本体系在X2处的水平位移为零）处的水平位移为零）据此，可按前述推导方法得到在形式上与式（据此，可按前述推导方法得到在形式上与式（3）完全相）完全相同的力法基本方程。因此，式（同的力法基本方程。因此，式（3）也称为两次超静定结）也称为两次超静定结构的力法典型方程。不过须注意，由于不同的基本体系中构的力法典型方程。不过须注意，由于不同的基本体系中基本未知量本身的含义不同，因此变形条件及典型方程中基本未知量本身的含义不同，因此变形条件及典型方程中的系数和自由项的实际含义也不相同。的系数和自由项的实际含义也不相同。FPqABCFPqABCX1X2对于对于n次超静定结构，则有次超静定结构，则有n个多余未知力，而每一个多余未知力都个多余未知力，而每一个多余未知力都对应着一个多余约束，相应地也就有一个已知变形条件，故可据此对应着一个多余约束，相应地也就有一个已知变形条件，故可据此建立建立n个方程，从而可解出个方程，从而可解出n个多余未知力。当原结构上各多余未知个多余未知力。当原结构上各多余未知力作用处的位移为零时，这力作用处的位移为零时，这n个方程可写为个方程可写为(4)这就是这就是n次超静定结构的力法典型方程次超静定结构的力法典型方程。方程的物理意义：方程的物理意义：基本结构在全部多余末知力和荷载共同作用下,沿每个多余末知力方向的位移,应与原结构中对应位移相等。(三三)关于系数和自由项的计算关于系数和自由项的计算1）主斜线（自左上方的）主斜线（自左上方的d d11至右下方的至右下方的d dnn）上的系数）上的系数d dii称称为为主系数主系数或主位移或主位移.主系数的物理意义主系数的物理意义：基本结构由于基本结构由于Xi=1单独作用引起的沿单独作用引起的沿Xi方向的位移。方向的位移。其值其值恒为正恒为正，且不会等于零。，且不会等于零。2）其它的系数）其它的系数d dij（ij）称为）称为副系数副系数或副位移或副位移，副系数的物理意义副系数的物理意义：基本结构由于基本结构由于Xj=1单独作用引起的沿单独作用引起的沿Xi方向的位移。方向的位移。其值可能为正、负或零。其值可能为正、负或零。3）各式中最后一项）各式中最后一项D DiP称为称为自由项自由项。自由项的物理意义自由项的物理意义：基本结构由于荷载单独作用引起的沿Xi方向的位移。其值可能为正、负或零。其值可能为正、负或零。4）根据位移互等定理可知，在主斜线两边处于对称位置）根据位移互等定理可知，在主斜线两边处于对称位置的两个副系数的两个副系数d dij与与d dji是相等的，即是相等的，即 d dij=d dji 典型方程中的各系数和自由项，都是基本结构在已知力典型方程中的各系数和自由项，都是基本结构在已知力作用下的位移，完全可以用作用下的位移，完全可以用第第5章章所述方法求得。对于所述方法求得。对于荷载作用下的平面结构，这些位移的计算式可写为荷载作用下的平面结构，这些位移的计算式可写为 作出原结构的最后弯矩图后，可直接应用平衡条件作出原结构的最后弯矩图后，可直接应用平衡条件计算计算Q和和N，并作出，并作出Q图和图和N图。图。如上所述，力法典型方程中的每个系数都是基本如上所述，力法典型方程中的每个系数都是基本结构在某单位多余未知力作用下的位移。显然，结构结构在某单位多余未知力作用下的位移。显然，结构的刚度愈小，这些位移的数值愈大，因此，这些系数的刚度愈小，这些位移的数值愈大，因此，这些系数又称为又称为柔度系数柔度系数；力法典型方程表示变形条件，故又；力法典型方程表示变形条件，故又称为结构的称为结构的柔度方程柔度方程；力法又称为；力法又称为柔度法柔度法。结构的最后弯矩图可按叠加法作出，即结构的最后弯矩图可按叠加法作出，即【例例】试计算图示两端固定梁并作内力图。试计算图示两端固定梁并作内力图。EA、EI均为常数均为常数解解:(1)确定基本未知量数目确定基本未知量数目 n=3(2)选择力法基本体系选择力法基本体系(3)建立力法典型方程建立力法典型方程X1X2qqAABBX3l基本体系基本体系拐点拐点拐点拐点(4)求系数和自由项求系数和自由项 d d13=d d31=0，d d2323=d d32=0，D D3P=0力法典型方程中的第三式力法典型方程中的第三式d d33X3=0 据此可得据此可得X3=0 故力法典型方程简化为故力法典型方程简化为X1=1AABB1X2=11图图图图AABBX3=1qql2/8MP图图图图应用图乘法，可得应用图乘法，可得(5)解方程，求多余未知力解方程，求多余未知力()ABqql2/8MP图图X1=1AABB1X2=11图图图图(6)作最后弯矩图和剪力图作最后弯矩图和剪力图 AABBql2/12ql2/12（ql2/8）ql2/24ql/2ql/2M图图FQ图图【例例】试计算图示刚架，并作内力图。试计算图示刚架，并作内力图。EI=常数常数 解：解：(1)确定基本未知量数目确定基本未知量数目n=2(2)选择力法基本体系选择力法基本体系(3)建立力法典型方程建立力法典型方程(C处水平方向不离开处水平方向不离开)(C处竖直方向不错开处竖直方向不错开)AABBCDEDE2m2m2m2m8kNFF8kNX1X1X2基本体系基本体系3 超静定刚架和排架超静定刚架和排架(4)求系数和自由项求系数和自由项8kNMP图图(kN.m)16X1=144图图图图X2=1X2=122222(5)解方程，求多余未知力解方程，求多余未知力(6)作最后内力图作最后内力图:用叠加公式用叠加公式 ，计算弯矩，计算弯矩作出作出M图以及图以及FQ、FN图图:ABCDE2m2m2m2m8kNF8kN24241304659M图图()FQ图图(kN)FN图图(kN)铰接排架铰接排架对排架进行内力分析，主要是计算对排架进行内力分析，主要是计算排架柱的内力排架柱的内力。屋架屋架柱柱基础基础链杆链杆基础面基础面EA=EI1EI1EI2EI2【例例】试用力法计算图示排架，并作弯矩图。试用力法计算图示排架，并作弯矩图。解：解：(1)确定基本未知量数目确定基本未知量数目n=1(2)选择力法基本体系选择力法基本体系对于铰接排架取切断横对于铰接排架取切断横向链杆为基本体系向链杆为基本体系(3)建立力法基本方程建立力法基本方程ABCDX1基本体系基本体系0.4kN/m0.3kN/mEA=EIEI3EI3EIABCD0.4kN/m15m8m6m2m0.3(4)求系数和自由项求系数和自由项X1=12288图图EI3EIX1=12288图图12.89.60.80.6(1.8)(1.35)MP图图(kN.m)(5)解方程，求多余未知力解方程，求多余未知力(6)作最后弯矩图作最后弯矩图ABCDX1基本体系基本体系0.4kN/m0.3kN/mX1=12288图图12.89.60.80.6(1.8)(1.35)MP图图(kN.m)M图图(kN.m)11.6110.790.50.94 超静定桁架和组合结构超静定桁架和组合结构桁架各杆的最后轴力则可按下式计算：桁架各杆的最后轴力则可按下式计算：【例例】计算桁架的轴力，计算桁架的轴力，设各杆设各杆EA相同相同(2)选择力法基本体系选择力法基本体系解：解：(1)确定基本未知量数目确定基本未知量数目(3)建立力法建立力法基本方程基本方程 ABCDEFFPFP2aaaX1X1基本体系基本体系(4)求系数和自由项求系数和自由项X1=1X1=1-0.707-0.707-0.707-0.707111图图FPNP图图FPFP(5)解方程，求多余未知力解方程，求多余未知力(6)计算原结构各杆轴力计算原结构各杆轴力 N图图FP0.897FPFP-0.103FP-0.103FP-0.103FP由计算知，由计算知，由计算知，由计算知，在在在在荷载作用下，超静定桁架的内力与杆荷载作用下，超静定桁架的内力与杆荷载作用下，超静定桁架的内力与杆荷载作用下，超静定桁架的内力与杆件的绝对刚度件的绝对刚度件的绝对刚度件的绝对刚度EAEAEAEA无关，只与各杆刚度比值有关。无关，只与各杆刚度比值有关。无关，只与各杆刚度比值有关。无关，只与各杆刚度比值有关。其中：其中：解得：解得：（拉）（拉）解：解：基基本本体体系系FPFP力法典型方程为：力法典型方程为：例例.求超静定桁架的内力。求超静定桁架的内力。FPFP=PFP=PFPFNP 图图各杆最后内力由叠加法得到：各杆最后内力由叠加法得到：FP=PFP基基本本体体系系FPFP问题：问题：若若用拆除用拆除上弦上弦杆的静定结构作为基本结杆的静定结构作为基本结构，构，本题应如何考虑？本题应如何考虑？其中：其中：解得：解得：解：解：力法典型方程为：力法典型方程为：正确否？正确否？?FP=PFPFNP 图图解：解：力法方程力法方程的实质的实质为为：3 3、4 4两结点的相两结点的相对位移对位移 等于所拆除杆的拉（压）等于所拆除杆的拉（压）变形变形FPFP FP=PFPFNP 图图自乘求自乘求1111互乘求互乘求1P1P或互乘求或互乘求1111X X1 1令：令：有：有：（拉）（拉）超静定超静定组合组合结构结构用力法计算时，一般可将桁杆作为多余约束切断而得用力法计算时，一般可将桁杆作为多余约束切断而得到其静定的基本体系。计算系数和自由项时，对桁杆到其静定的基本体系。计算系数和自由项时，对桁杆应考虑轴向变形的影响；对梁式杆只考虑弯曲变形的应考虑轴向变形的影响；对梁式杆只考虑弯曲变形的影响，而忽略其剪切变形和轴向变形的影响。影响，而忽略其剪切变形和轴向变形的影响。【例例】试用力法分析图示超静定组合结构。已知试用力法分析图示超静定组合结构。已知:横梁横梁AB：Eh=3107kN/m2，I=6.6310-4m4 压杆压杆CE、DF：Eh=3107kN/m2，A1=1.6510-2m2 拉杆拉杆AE、EF、FB：Eg=2108kN/m2，A2=0.1210-2m2 100kN3m3m2m2m2mABCDEF解：为了简化计算，首先求出如下各比值：解：为了简化计算，首先求出如下各比值：(1)确定基本未知量数目确定基本未知量数目 n=1(2)选择力法基本体系选择力法基本体系(3)建立力法基本方程建立力法基本方程100kN3m3m2m2m2mABCDEF100kNX1基本体系基本体系(4)求系数和自由项求系数和自由项由公式由公式:可得可得 X1=12211100kN250150150MP(kN.m),FNP(kN)(5)解方程，求多余未知力解方程，求多余未知力(6)作最后内力图作最后内力图X1=12211100kN250150150MP(kN.m),FNP(kN)24.1524.1575.8587.07104.57104.57-57.87-57.87M(kN.m),FN(kN)无弯矩状态的判别无弯矩状态的判别无弯矩状态的判别无弯矩状态的判别刚结点变成铰结点后，体系仍然几何不变的情况刚结点变成铰结点后，体系仍然几何不变的情况前提条件：前提条件：前提条件：前提条件：结点荷载；结点荷载；不计轴向变形。不计轴向变形。5 对称结构的计算对称结构的计算刚结点变成铰结点后，体系几何可变。但是，添刚结点变成铰结点后，体系几何可变。但是，添链杆的不变体系在给定荷载下无内力的情况链杆的不变体系在给定荷载下无内力的情况 利用上述结论，结合对称结构的对称性，可使利用上述结论，结合对称结构的对称性，可使利用上述结论，结合对称结构的对称性，可使利用上述结论，结合对称结构的对称性，可使手算分析得到简化。手算分析得到简化。手算分析得到简化。手算分析得到简化。一、一、对称性的利用对称性的利用 对称结构对称结构非对称结构非对称结构注注意意：结结构构的的几几何何形形状状、支支承承情情况况以以及及杆杆件件的的刚刚度度三三者者之之一一有有任任何何一一个个不不满满足足对对称称条条件件时时，就就不不能称超静定结构是对称结构。能称超静定结构是对称结构。支承不对称支承不对称刚度不对称刚度不对称几何对称几何对称支承对称支承对称刚度对称刚度对称对称结构的求解：对称结构的求解：力法典型方程为：力法典型方程为：（1）选取对称的基本结构）选取对称的基本结构典型方程简化为：典型方程简化为：正对称部分正对称部分反对称部分反对称部分正对称与反正对称与反对称荷载：对称荷载：如果作用于结构的荷载是对称的，如如果作用于结构的荷载是对称的，如:如果作用于结构的荷载是反对称的，如如果作用于结构的荷载是反对称的，如:结论：对称结构在正对称荷载作用下，结论：对称结构在正对称荷载作用下，反对称多余力为反对称多余力为零，零，其内力和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下，对称多余力为零对称多余力为零,其内力和位移都是反对称的。其内力和位移都是反对称的。例，求图示结构的弯矩图。例，求图示结构的弯矩图。EI=常数。常数。解：根据以上分析，力法方程为：解：根据以上分析，力法方程为：由于由于，问题无法化简，问题无法化简例：例：（2）未知力分组和荷载分组）未知力分组和荷载分组力法典型方程成为：力法典型方程成为：未知力分组未知力分组对称结构的求解：对称结构的求解：对称结构承受对称结构承受一般非对称荷一般非对称荷载时，可将载时，可将荷荷载分组载分组（3）取半结构计算：）取半结构计算：对称轴对称轴（d）（c）奇数跨对称刚架奇数跨对称刚架正对称荷载正对称荷载反对称荷载反对称荷载偶数跨对称刚架偶数跨对称刚架正对称荷载正对称荷载反对称荷载反对称荷载例例1：求作图示圆环的弯矩图。：求作图示圆环的弯矩图。EI=常数。常数。解：解：取结构的取结构的1/4分析分析单位弯矩（图）和荷载弯矩（图）为：单位弯矩（图）和荷载弯矩（图）为：(b)（a)若只考虑弯矩对位移的影响，有：若只考虑弯矩对位移的影响，有：弯矩为：弯矩为：二、二、使单位弯矩图限于局部使单位弯矩图限于局部 三、三、合理地安排铰的位置合理地安排铰的位置6 两铰拱两铰拱用力法计算时，通常采用用力法计算时，通常采用简支曲梁简支曲梁为为基本结构基本结构，以支座的，以支座的水水平推力平推力为为多余未知力多余未知力。利用基本体系在。利用基本体系在B支座沿支座沿X1方向的线方向的线位移为零的变形条件，可建立力法方程位移为零的变形条件，可建立力法方程 ABlfxyFP1FP1FP2FP2X1基本体系基本体系拱是拱是曲杆曲杆，系数，系数d d11和自由项和自由项D D1P只能用只能用积分法积分法计算。一般可略计算。一般可略去剪力的影响，而轴力的影响仅在扁平拱（拱高去剪力的影响，而轴力的影响仅在扁平拱（拱高fl/5）的情况）的情况下计算下计算d d11式中予以考虑，即式中予以考虑，即 MP=M 0(a)将以上将以上 、和和MP表达式代入式（表达式代入式（a)X1=1xyKj jxy101j jK故多余未知力故多余未知力X1（即水平推力）为（即水平推力）为(b)水平推力求出后，对水平推力求出后，对在竖向荷载作用下的两脚等高的两铰在竖向荷载作用下的两脚等高的两铰拱的内力计算公式与三铰拱完全相同拱的内力计算公式与三铰拱完全相同。两铰拱上任一截面。两铰拱上任一截面的内力为的内力为(c)带拉杆的两铰拱，用拉杆来承受水平推力，用力法计带拉杆的两铰拱，用拉杆来承受水平推力，用力法计算时，一般将拉杆切断，计算方法与上述基本一致，算时，一般将拉杆切断，计算方法与上述基本一致，不同之处仅在于在计算系数不同之处仅在于在计算系数d d11时多了拉杆时多了拉杆AB的轴向变的轴向变形量形量 ，即，即自由项自由项D D1P计算式相同，仍为计算式相同，仍为 FP1FP1FP2FP2X1X1基本体系基本体系拉杆拉杆EgAg于是，可得于是，可得(e)多余未知力多余未知力X1（即拱肋所受的推力（即拱肋所受的推力FH）算出后，仍可由式）算出后，仍可由式（c）计算拱中任一截面的内力。）计算拱中任一截面的内力。FP1FP1FP2FP2X1X1基本体系基本体系拉杆拉杆EgAg【例例】试用力法计算图示两铰拱的水平推力试用力法计算图示两铰拱的水平推力FH。设拱的截面尺。设拱的截面尺寸为常数。以左支座为原点，拱轴方程为寸为常数。以左支座为原点，拱轴方程为 计算时，采用两个简化假设：计算时，采用两个简化假设：第一，忽略轴向变形，只考虑弯曲变形；第一，忽略轴向变形，只考虑弯曲变形；xyfl/2l/2qAB第二，当拱比较平时（例如第二，当拱比较平时（例如fl/5），），可近似地取可近似地取ds=dx，cosj j=1。因此，位移的公式简化为因此，位移的公式简化为ABCq3ql/8ql/8M0图图ABCM图图ql2/64ql2/64右半跨右半跨 左半跨左半跨 xyfl/2l/2qABCABCq3ql/8ql/8M0图图ABCM图图ql2/64ql2/64由力法方程，求得由力法方程，求得FH求出后，利用公式，可作出求出后，利用公式，可作出M图如图所示。本例的这个图如图所示。本例的这个弯矩图与三铰拱的弯矩图相同。弯矩图与三铰拱的弯矩图相同。这个结果与三铰拱在半跨均布荷载作用下的结果是一样的。这个结果与三铰拱在半跨均布荷载作用下的结果是一样的。这不是一个普遍性结论。但是，这不是一个普遍性结论。但是，在一般荷载作用下，两铰拱在一般荷载作用下，两铰拱的推力与三铰拱的推力是比较接近的。的推力与三铰拱的推力是比较接近的。xyfl/2l/2qABCABCM图图ql2/64ql2/648 支座移动和温度改变时的计算支座移动和温度改变时的计算对于静定结构，在对于静定结构，在支座移动支座移动、温度变化温度变化等非荷载因素作用下，等非荷载因素作用下，可发生自由变形，但并不引起内力；而对于超静定结构，由于可发生自由变形，但并不引起内力；而对于超静定结构，由于存在多余约束，在非荷载因素作用下，一般会产生内力，这种存在多余约束，在非荷载因素作用下，一般会产生内力，这种内力称为内力称为自内力自内力。用力法计算自内力时，其基本原理和分析步骤与荷载作用时用力法计算自内力时，其基本原理和分析步骤与荷载作用时相同，只是具体计算时，有以下三个特点：相同，只是具体计算时，有以下三个特点：第一，力法方程中的自由项不同。第一，力法方程中的自由项不同。这里的自由项，不再是荷载引起的这里的自由项，不再是荷载引起的D DiP，而是由，而是由支座移动或温支座移动或温度变化度变化等因素引起基本结构多余未知力方向上的位移等因素引起基本结构多余未知力方向上的位移D Dic或或D Dit等。等。第二，对支座移动问题，力法方程右端项不一定为零。第二，对支座移动问题，力法方程右端项不一定为零。当取有移动的支座约束力为基本未知力时，当取有移动的支座约束力为基本未知力时，D Di0，而是，而是D Di=Ci（Ci，表示原结构在，表示原结构在Xi方向的实际位移）方向的实际位移）第三，计算最后内力的叠加公式不完全相同。第三，计算最后内力的叠加公式不完全相同。由于基本结构（是静定结构）上支座移动、温度变化时由于基本结构（是静定结构）上支座移动、温度变化时均不引起内力，因此内力全是由多余未知力引起的。最均不引起内力，因此内力全是由多余未知力引起的。最后弯矩叠加公式为后弯矩叠加公式为 一、支座移动时的内力计算一、支座移动时的内力计算计算支座移动引起计算支座移动引起n次超静定结构的内力时，力法方程中次超静定结构的内力时，力法方程中第第 i个方程的一般形式可写为个方程的一般形式可写为 d dij为柔度系数为柔度系数 Ci，表示原结构在，表示原结构在Xi方向的实际位移方向的实际位移D Dic，表示基本结构在支座移动作用下在，表示基本结构在支座移动作用下在Xi方向的位移方向的位移【例例】图示单跨超静定梁图示单跨超静定梁AB，已知，已知EI为常数，左端支座转动角