初三数学函数对称性的探究例题解析.docx
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1、 初三数学函数对称性的探究例题解析一、 函数自身的对称性探究 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a-x) = 2b 证明:(必要性)设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点,点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P(2a-x,2b-y)也在y = f (x)图像上, 2b-y = f (2a-x) 即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b,必要性得证。 (充分性)设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0) f (x) + f (2a-x
2、) =2bf (x0) + f (2a-x0) =2b,即2b-y0 = f (2a-x0) 。 故点P(2a-x0,2b-y0)也在y = f (x) 图像上,而点P与点P关于点A (a ,b)对称,充分性得征。 推论:函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (-x) = 0 定理2.函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x) (证明留给读者) 推论:函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (-x) 定理3. 若函数y = f
3、(x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(ab),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。 若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称(ab),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。 若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(ab),则y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。 的证明留给读者,以下给出的证明: 函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称, f (x) + f (2a-x) =2c,
4、用2b-x代x得: f (2b-x) + f 2a-(2b-x) =2c(*) 又函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称, f (2b-x) = f (x)代入(*)得: f (x) = 2c-f 2(a-b) + x(*),用2(a-b)-x代x得 f 2 (a-b)+ x = 2c-f 4(a-b) + x代入(*)得: f (x) = f 4(a-b) + x,故y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。 二、 不同函数对称性的探究 定理4.函数y = f (x)与y = 2b-f (2a-x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。 定理5.函数y = f (
5、x)与y = f (2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。 函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。 函数y = f (x)与x-a = f (y + a)的图像关于直线x-y = a成轴对称。 定理4与定理5中的证明留给读者,现证定理5中的 设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x-y = a的轴对称点为P(x1, y1),则x1 = a + y0 , y1 = x0-a ,x0 = a + y1 , y0= x1-a 代入y0 = f (x0)之中得x1-a =
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