数学建模与数学实验省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

数学建模与数学试验数学建模与数学试验 拟拟 合合 1第1页实验目试验内容试验内容2.掌握用数学软件求解拟合问题掌握用数学软件求解拟合问题1.直观了解拟合基本内容直观了解拟合基本内容1.拟合拟合问题引例及基本原理问题引例及基本原理4.试验试验作业作业.2.用数学用数学软件求解拟合问题软件求解拟合问题3.应用应用实例实例.2第2页拟拟 合合2.拟合基本原理拟合基本原理1.拟合问题引例拟合问题引例3第3页拟拟 合合 问问 题题 引引 例例 1 1温度温度t(C)20.5 32.7 51.0 73.0 95.7电阻电阻R()765 826 873 942 1032已知热敏电阻数据：已知热敏电阻数据：求求6060C时电阻时电阻R 设设 R=at+ba,b为待定系数为待定系数4第4页拟拟 合合 问问 题题 引引 例例 2 2 t(h)0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c(g/ml)19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01已知一室模型快速静脉注射下血药浓度数据已知一室模型快速静脉注射下血药浓度数据(t=0注射注射300mg)求血药浓度随时间改变规律求血药浓度随时间改变规律c(t).作半对数坐标系作半对数坐标系(semilogy)下图形下图形MATLAB(aa1)5第5页曲曲 线线 拟拟 合合 问问 题题 提提 法法已知一组（二维）数据，即平面上已知一组（二维）数据，即平面上 n个点个点（xi,yi)i=1,n,寻求一个函数（曲线）寻求一个函数（曲线）y=f(x),使使 f(x)在某种准则下与全部在某种准则下与全部数据点最为靠近，即曲线拟合得最好数据点最为靠近，即曲线拟合得最好+xyy=f(x)(xi,yi)i i 为点为点（xi,yi)与与曲线曲线 y=f(x)距离距离6第6页拟合与插值关系拟合与插值关系 函数插值与曲线拟合都是要依据一组数据结构一个函数作函数插值与曲线拟合都是要依据一组数据结构一个函数作为近似，因为近似要求不一样，二者在数学方法上是完全不一为近似，因为近似要求不一样，二者在数学方法上是完全不一样样 实例：实例：下面数据是某次试验所得，希望得到X和 f之间关系？MATLAB(cn)问题：问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求曲线或曲面处理方案：处理方案：若不要求曲线（面）经过全部数据点，而是要求它反应对象整体改变趋势，这就是数据拟合数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合若要求所求曲线（面）经过所给全部数据点，就是插值问题插值问题；7第7页最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：8第8页曲线拟合问题最惯用解法曲线拟合问题最惯用解法线性最小二乘法基本思绪线性最小二乘法基本思绪第一步:先选定一组函数先选定一组函数 r1(x),r2(x),rm(x),m0)(0)模型假设模型假设1.1.机体看作一个房室，室内血药浓度均匀机体看作一个房室，室内血药浓度均匀一室模型一室模型模型建立模型建立 在此，在此，d=300mg，t及及c（t）在一些点处值见前表，需）在一些点处值见前表，需经拟合求出参数经拟合求出参数k、v.32第32页用线性最小二乘拟合用线性最小二乘拟合c(t)MATLAB(lihe1)计算结果：计算结果：d=300;t=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;c=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2)程序：程序：用非线性最小用非线性最小二乘拟合二乘拟合c(t)33第33页给药方案给药方案 设计设计cc2c1Ot 设每次注射剂量D,间隔时间 血药浓度c(t)应c1 c(t)c2 首次剂量D0 应加大给药方案记为：给药方案记为：2.1.计算结果：计算结果：给药方案：给药方案：c1=10,c2=25k=0.2347v=15.0234第34页故可制订给药方案：故可制订给药方案：即即:首次注射首次注射375mg，其余每次注射其余每次注射225mg，注射间隔时间为注射间隔时间为4h35第35页预计水塔流量预计水塔流量2.解题思绪解题思绪3.算法设计与编程算法设计与编程1.问题问题36第36页 某居民区有一供居民用水圆柱形水塔，普通能够经过测量其水位来预计水流量，但面临困难是，当水塔水位下降到设定最低水位时，水泵自动开启向水塔供水，到设定最高水位时停顿供水，这段时间无法测量水塔水位和水泵供水量通常水泵天天供水一两次，每次约两小时.水塔是一个高12.2m，直径17.4m正圆柱按照设计，水塔水位降至约8.2m时，水泵自动开启，水位升到约10.8m时水泵停顿工作表1 是某一天水位测量统计，试预计任何时刻（包含水泵正供水时）从水塔流出水流量，及一天总用水量37第37页38第38页流量预计解题思绪流量预计解题思绪拟合水位拟合水位时间函数时间函数确定流量确定流量时间函数时间函数预计一天总用水量预计一天总用水量39第39页 拟合水位拟合水位时间函数时间函数 从测量统计看，一天有两个供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段），和3个水泵不工作时段（以下称第1时段t=0到t=8.97，第2次时段t=10.95到t=20.84和第3时段t=23以后）对第1、2时段测量数据直接分别作多项式拟合，得到水位函数为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，普通在36因为第3时段只有3个测量统计，无法对这一时段水位作出很好拟合40第40页 确定流量确定流量时间函数时间函数 对于第1、2时段只需将水位函数求导数即可，对于两个供水时段流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）流量拟合得到，而且将拟合得到第2供水时段流量外推，将第3时段流量包含在第2供水时段内41第41页 一天总用水量预计一天总用水量预计 总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段用水量之和，它们都能够由流量对时间积分得到42第42页算法设计与编程算法设计与编程1.拟合第拟合第1、2时段水位，并导出流量时段水位，并导出流量2.拟合供水时段流量拟合供水时段流量3.预计一天总用水量预计一天总用水量4.流量及总用水量检验流量及总用水量检验43第43页 1.拟合第拟合第1时段水位，并导出流量时段水位，并导出流量 设t，h为已输入时刻和水位测量统计（水泵开启4个时刻不输入），第第1时段时段各时刻流量可以下得：1）c1=polyfit（t（1：10），），h（1：10），），3）；）；%用3次多项式拟合第1时段水位，c1输出3次多项式系数2）a1=polyder（c1）；）；%a1输出多项式（系数为c1）导数系数 3）tp1=0：0.1：9；x1=-polyval（a1，tp1）；%x1输出多项式（系数a1）在tp1点函数值（取负后边为正值），即tp1时刻流量 MATLAB(llgj1)4）流量函数为：流量函数为：44第44页 拟合第拟合第2时段水位，并导出流量时段水位，并导出流量 设t，h为已输入时刻和水位测量统计（水泵开启4个时刻不输入），第第2时段时段各时刻流量可以下得：1）c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),3)；%用3次多项式拟合第2时段水位，c2输出3次多项式系数2）a2=polyder(c2)；%a2输出多项式（系数为c2）导数系数 3）tp2=10.9:0.1:21;x2=-polyval(a2,tp2);%x2输出多项式（系数为a2）在tp2点函数值（取负后边为正值），即tp2时刻流量MATLAB(llgj2)4）流量函数为：流量函数为：45第45页 2.拟合供水时段流量拟合供水时段流量 在第1供水时段（t=911）之前（即第1时段）和之后（即第2时段）各取几点，其流量已经得到，用它们拟合第1供水时段流量为使流量函数在t=9和t=11连续，我们简单地只取4个点，拟合3次多项式（即曲线必过这4个点），实现以下：xx1=-polyval(a1,8 9);%取第1时段在t=8,9流量 xx2=-polyval(a2,11 12);%取第2时段在t=11,12流量 xx12=xx1 xx2;c12=polyfit(8 9 11 12,xx12，3);%拟合3次多项式 tp12=9：0.1：11;x12=polyval(c12,tp12);%x12输出第1供水时段 各时刻流量MATLAB(llgj3)拟合流量函数为：拟合流量函数为：46第46页 在第2供水时段之前取t=20，20.8两点流水量，在该时刻之后（第3时段）仅有3个水位统计，我们用差分得到流量，然后用这4个数值拟合第2供水时段流量以下：dt3=diff（t(22：24)）；）；%最终3个时刻两两之差 dh3=diff（h(22：24)）；）；%最终3个水位两两之差dht3=-dh3./dt3；%t(22)和t(23)流量t3=20 20.8 t(22)t(23)；xx3=-polyval(a2，t3(1：2)，dht3)；%取t3各时刻流量 c3=polyfit（t3，xx3，3）；）；%拟合3次多项式 t3=20.8：0.1：24；x3=polyval（c3，tp3）；）；%x3输出第2供水时段 （外推至t=24）各时刻流量MATLAB(llgj4)拟合流量函数为：拟合流量函数为：47第47页 3.一天总用水量预计一天总用水量预计 第1、2时段和第1、2供水时段流量积分之和，就是一天总用水量即使诸时段流量已表为多项式函数，积分能够解析地算出，这里仍用数值积分计算以下：y1=0.1*trapz(x1)；%第1时段用水量（仍按高度计），0.1为积分步长 y2=0.1*trapz(x2)；%第2时段用水量 y12=0.1*trapz(x12)；%第1供水时段用水量 y3=0.1*trapz(x3)；%第2供水时段用水量 y=(y1+y2+y12+y3)*237.8*0.01;%一 天 总 用 水 量（）计算结果：计算结果：y1=146.2,y2=266.8,y12=47.4,y3=77.3，y=1250.4MATLAB(llgjz)48第48页 4.流量及总用水量检验流量及总用水量检验 计算出各各时时刻刻流流量量可用水位统计数值微分来检验用水量y1可用第1时段水位测量统计中下降高度968-822=146来检验，类似地，y2用1082-822=260检验供供水水时时段段流流量量一个检检验验方方法法以下：供水时段用水量加上水位上升值260是该时段泵入水量，除以时段长度得到水泵功率（单位时间泵入水量），而两个供水时段水泵功率应大致相等第1、2时段水泵功率可计算以下：p1=(y12+260)/2；%第1供水时段水泵功率 （水量仍以高度计）tp4=20.8：0.1：23；xp2=polyval（c3，tp4）；）；%xp2输出第2供水时段 各时刻流量 p2=(0.1*trapz(xp2)+260)/2.2；%第2供水时段水泵功率 （水量仍以高度计）计算结果计算结果：p1=154.5 ，p2=140.1MATLAB(ll)49第49页计算结果计算结果流量函数为：流量函数为：50第50页流量曲线见图流量曲线见图n=(3,4)n=(5,6)51第51页练习练习1 用给定多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi和添加了随机干扰yi作3次多项式拟合，与原系数比较 假如作2或4次多项式拟合，结果怎样？52第52页 练习练习2 用电压V=10V电池给电容器充电，电容器上t时刻电压为 ，其中V0是电容器初始电压,是充电常数.试由下面一组t，V数据确定V0,.53第53页用非线性最小二乘拟合用非线性最小二乘拟合c(t)-用用lsqcurvefit2.主程序主程序lihe2.m以下以下cleartdata=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;cdata=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;x0=10,0.5;x=lsqcurvefit(curvefun3,x0,tdata,cdata);f=curvefun3(x,tdata)xMATLAB(lihe2)1.1.用用M M文件文件curvefun3.m定义函数定义函数function f=curvefun3(x,tdata)d=300f=(x(1)d)*exp(-x(2)*tdata)%x(1)=v;x(2)=k 54第54页