微分方程建模实例一市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

4.1 4.1 微分方程建模实例微分方程建模实例(一一)4.1.1.一个简单例一个简单例 4.1.2.万有引力定律发觉万有引力定律发觉第1页在许多实际问题中，当直接导出变量之间函数关系较为困难，但导出包含未知函数导数或微分关系式较为轻易时，可用建立微分方程模型方法来研究该问题.在连续变量问题研究中，或可化为连续变量问题研究中，微分方程是十分惯用数学工具之一.第2页4.1.1 一个简单例一个简单例问问题题：某某人人食食量量是是10467(10467(焦焦/天天)，其其中中5038(5038(焦焦/天天)用于用于基本基本新陈代谢新陈代谢(即即自动自动消耗消耗).).在在健健身身训训练练中中，他他所所消消耗耗热热量量大大约约是是69(69(焦焦/千千克克 天天)乘乘以他以他体重体重(千克千克).).假假设设以以脂脂肪肪形形式式贮贮藏藏热热量量100%100%地地有有效效，而而1 1千千克克脂肪含热量脂肪含热量41868(41868(焦焦).).试试研究此人体重随时间改变规律研究此人体重随时间改变规律.第3页模型准备模型准备 在问题中并未出现在问题中并未出现“导数导数”这么关键词，但要这么关键词，但要寻找是体重寻找是体重(记为记为 W)关于时间关于时间 t 函数函数.假如我们把体重假如我们把体重 W 看作是时间看作是时间 t 连续可微函连续可微函数，我们就能找到一个含有数，我们就能找到一个含有 微分方程微分方程.第4页模型假设模型假设 以以 W(t)表示表示 t 时刻某人体重，并设时刻某人体重，并设 t=0时刻，时刻，人体重为人体重为 W0.体重改变是一个渐变过程体重改变是一个渐变过程,，所以可认为，所以可认为 W(t)关于关于 t 是连续而且充分光滑是连续而且充分光滑.体重改变等于输入与输出之差，其中输入是指体重改变等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后净食量吸收，输出就扣除了基本新陈代谢之后净食量吸收，输出就是进行健身训练时消耗是进行健身训练时消耗.第5页模型组成模型组成 因为考虑是体重随时间改变情况，所以，因为考虑是体重随时间改变情况，所以，体重改变体重改变/天天=输入输入/天天-输出输出/天天.某人食量是某人食量是10467(10467(焦焦/天天)，其中，其中5038(5038(焦焦/天天)用于基用于基本新陈代谢本新陈代谢.输入输入/天天=10467-5038=5429(焦焦/天天).在健身训练中，他所消耗热量大约是在健身训练中，他所消耗热量大约是69(69(焦焦/千克千克 天天)乘以他体重乘以他体重(千克千克).).输出输出/天天=69 W(t)=69W(t)(焦焦/天天).第6页输入输入/天天=10467-5038=5429(焦焦/天天).输出输出/天天=69 W(t)=69W(t)(焦焦/天天).假设以脂肪形式贮藏热量假设以脂肪形式贮藏热量100%100%地有效，而地有效，而1 1千克脂肪千克脂肪含热量含热量41868(41868(焦焦).).解微分方程，有解微分方程，有第7页4.1.2 万有引力定律发觉万有引力定律发觉宇宇宙宙万万物物之之间间都都存存在在相相互互引引力力，其其作作用用方方向向在在二二者者连连线线上上，其其大大小小与与二二者者质质量量乘乘积积成成正正比比而而和和二二者者距距离离平平方方成成反反比比,百百分分比比系系数数是绝对是绝对常数常数.艾萨克艾萨克-牛顿牛顿 (Isaac Newton)1643-1727第8页十五世纪中期十五世纪中期，波兰天文学家，波兰天文学家哥白尼哥白尼提出了震惊世界提出了震惊世界日心说日心说.丹麦著名试验天文学丹麦著名试验天文学 家家第谷第谷花了二十多年时间花了二十多年时间 观察纪录下了当观察纪录下了当 时已发觉五大时已发觉五大行星运动情况行星运动情况.第谷学生和助手第谷学生和助手 开普勒开普勒对这些资料进行了九年时间分对这些资料进行了九年时间分析计算后析计算后 得出著名得出著名开普勒三大定律开普勒三大定律.牛顿牛顿依据开普勒三大定律和牛顿第二定律，利用微积依据开普勒三大定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即分方法推导出牛顿第三定律即万有引力定律万有引力定律.第9页模模型型准准备备 1.行星轨道是一行星轨道是一 个椭圆，个椭圆，太阳位于此椭圆一个焦太阳位于此椭圆一个焦 点上点上.2.行星在单位时间内扫过行星在单位时间内扫过 面积不变面积不变.3.行星运行周期平方正比行星运行周期平方正比 于椭圆长半轴三次方于椭圆长半轴三次方，百分比系数不随行星而百分比系数不随行星而 改改变变 (绝对常数绝对常数).开普勒三大定律开普勒三大定律 第10页模型组成模型组成开普勒第一定律开普勒第一定律：行星围绕太阳运动轨迹是一个椭：行星围绕太阳运动轨迹是一个椭圆，太阳在椭圆一个焦点上圆，太阳在椭圆一个焦点上.以太阳为极点，椭圆以太阳为极点，椭圆长轴为极轴建立极坐长轴为极轴建立极坐标，标，则行星轨道方程为则行星轨道方程为行星行星r太阳太阳其中，其中，a,b 为椭圆长、为椭圆长、短半轴，短半轴，第11页牛顿第二定律牛顿第二定律：行星运动时受到力等于行星加速度：行星运动时受到力等于行星加速度和行星质量乘积，即和行星质量乘积，即 用向径用向径 表示行星位置，则表示行星位置，则称为称为 径向速度径向速度.称为称为 径向加速度径向加速度.于是，于是，第12页为计算行星加速度，建立为计算行星加速度，建立 两种不一样坐标架两种不一样坐标架:第一个是以太阳为坐标原点，沿长轴方向单位向第一个是以太阳为坐标原点，沿长轴方向单位向量记量记 为为 ,沿短轴方向单位向量记为沿短轴方向单位向量记为 .第二个是以行星为坐标原点建立活动架标，其两第二个是以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交单位向量分别是个正交单位向量分别是于是，于是，行星行星r太阳太阳urul第13页于是，于是，所以，所以，为计算角速度和角加速度，需要用到开普勒第为计算角速度和角加速度，需要用到开普勒第二定律二定律.第14页开普勒第二定律开普勒第二定律：行星在单位时间内扫过面积不变行星在单位时间内扫过面积不变，即单位时间向径即单位时间向径 扫过面积是常数扫过面积是常数A，于是，于是，=0第15页由由第16页下面需要证实下面需要证实 A2/p 是绝对常数，即它与哪一颗行是绝对常数，即它与哪一颗行星无关星无关.这要用到这要用到开普勒第三定开普勒第三定 律律:开普勒第三定律开普勒第三定律：行星运行周期平方正比于椭圆长行星运行周期平方正比于椭圆长半轴三次方半轴三次方，百分比系数不随行星而，百分比系数不随行星而 改变，即改变，即 第17页下面需要证实下面需要证实 A2/p 是绝对常数，即它与哪一颗行是绝对常数，即它与哪一颗行星无关星无关.因为因为 A 是单位时间内向径扫过面积，行星运行一是单位时间内向径扫过面积，行星运行一个周期个周期 T 向径扫过面积恰是以向径扫过面积恰是以 a、b 为长、短半轴为长、短半轴椭圆面积，所以椭圆面积，所以 TA=ab.开普勒第三定律开普勒第三定律：(是绝对常数是绝对常数)由由第18页与熟悉万有引力定律比较，只需再验证与熟悉万有引力定律比较，只需再验证其中，其中，k 为万有引力常数，为万有引力常数，M 为太阳质量为太阳质量.第19页