数列的极限和运算同济大学高数上册市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

三、收敛数列性质三、收敛数列性质1.2 1.2 数列极限数列极限二、数列极限定义二、数列极限定义一一、概念引入、概念引入四、数列运算法则四、数列运算法则第1页割圆术：割圆术：刘徽刘徽一、概念引入一、概念引入设有一圆，首先作内接正六边形，将其面积记为A1；再作内接正十二边形，将其面积记为A2；作内接二十四边形，将其记为A3；依这类推，内接正6 2n-1边形面积记为An 第2页正十二边形面积正十二边形面积正正 形面积形面积当n越大时，An面积与圆面积差异也就越小；当n时，内接正多边形面积就无线靠近于圆，这就是极限概念.正六边形面积正六边形面积第3页二、数列极限定义二、数列极限定义数列是整标函数数列是整标函数:在几何上：在几何上：比如：比如：1 1、数列定义、数列定义 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取x1，x2，x3，xn，第4页两个数靠近程度可用这两个数之差绝对值来度量！两个数靠近程度可用这两个数之差绝对值来度量！问题：问题：当当n n无限增大时，对应无限增大时，对应f(n)f(n)能否无限靠近于某个确定数值？能否无限靠近于某个确定数值？“无限靠近无限靠近”意味着什么？怎样用数学语言刻划它？意味着什么？怎样用数学语言刻划它？第5页第6页2 2、数列极限定义、数列极限定义推论推论第7页收敛数列几何意义：收敛数列几何意义：第8页详细详细方法：方法：思索：思索：怎样依据极限定义验证数列极限？用定义验证用定义验证数列数列极限极限,关键关键是怎样由任意给定是怎样由任意给定 00，寻找寻找N N！注：注：该定义并未提供怎样求数列极限，但能够去验证数列极限！第9页例例1 1证证第10页例例2 2证证第11页注注:放大标准：放大标准：第12页例例3 3证证第13页例例4 4证证第14页三、三、收敛数列性质收敛数列性质定理定理1 1（唯一性唯一性）证证第15页定理定理2 2（有界性有界性）证证推论推论2 2推论推论1 1证实之前函数有证实之前函数有界性概念界性概念第16页证证推论推论3 3第17页定理定理3 3 （保号性保号性）证证推论推论 第18页 子数列概念子数列概念定义定义 第19页定理定理4 4证证推论推论 此推论惯用于证实某个数列是发散！比如数列此推论惯用于证实某个数列是发散！比如数列第20页四、数列极限运算法则四、数列极限运算法则 注：注：前两项可推广到前两项可推广到有限有限个个收敛收敛数列情形！数列情形！第21页无穷多个收敛无穷多个收敛数列数列 这是错误这是错误.例例5 5第22页练习练习第23页P26P26第第1 1题（题（5 5）（6 6）（8 8）第第3 3题题 第第5 5题（题（3 3）（4 4）P27P27第第6 6题题P45P45第第1 1题题（1111）（）（1313）第第4 4题题作业作业第24页