清华大学微积分高等数学课件第6讲定积分一市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

P166 习题习题6.2 1(1)(5).2(2).3(1)(3).4(4)(5).5(1).复习：复习：P158166 作业作业预习：预习：P16817410/10/1第1页第十六讲第十六讲 定积分定积分（一）（一）二、定积分概念二、定积分概念三、可积性条件与可积类三、可积性条件与可积类一、两个经典例子一、两个经典例子四、定积分基本性质四、定积分基本性质10/10/2第2页例例1 曲边形面积问题曲边形面积问题一、两个经典例子一、两个经典例子曲边梯形曲边梯形10/10/3第3页(1)细分细分:(2)取近似：取近似：10/10/4第4页(4)取极限取极限:(3)求和求和:10/10/5第5页例例2 变速直线运动旅程问题变速直线运动旅程问题(1)细分：细分：(4)取极限取极限:以匀速近似变速以匀速近似变速(2)取取近似：近似：(3)求和求和：10/10/6第6页二、定积分概念二、定积分概念（一）黎曼积分定义：（一）黎曼积分定义：10/10/7第7页记作记作:积分上限积分上限积分下限积分下限称为称为积分区间积分区间定积分是定积分是:积分和式极限积分和式极限 例例11曲边梯形面积曲边梯形面积 例例22变速直线运动旅程变速直线运动旅程10/10/8第8页（二）定积分几何意义（二）定积分几何意义10/10/9第9页证证10/10/10第10页证证10/10/11第11页定理定理1：三、可积性条件与可积函数类三、可积性条件与可积函数类证实思绪证实思绪：反证法。假设：反证法。假设 f(x)在在a,b上无界，上无界，则最少在一个子区间上无界，所以黎曼则最少在一个子区间上无界，所以黎曼 和式无界，与和式极限存在相矛盾和式无界，与和式极限存在相矛盾.定积分作为黎曼和式极限，其结构十分复定积分作为黎曼和式极限，其结构十分复杂，所以想经过计算这个和式极限来研究定杂，所以想经过计算这个和式极限来研究定积分，实际上是不可行积分，实际上是不可行.另一路径是先研究另一路径是先研究其存在性，得到相关可积性理论。其存在性，得到相关可积性理论。10/10/12第12页定理定理3：定理定理4：定理定理2：10/10/13第13页四、定积分基本性质四、定积分基本性质 定积分是一个极限，所以其性质与极限定积分是一个极限，所以其性质与极限性质亲密相关性质亲密相关性质一：性质一：线性性质线性性质性质二：性质二：关于区间可加性关于区间可加性10/10/14第14页 注意注意1 1 定积分值只依赖于被积函数和积分上、定积分值只依赖于被积函数和积分上、下限，而与积分变量用什麽字母表示无关。即下限，而与积分变量用什麽字母表示无关。即 注意注意2 2 定积分定义中，下限定积分定义中，下限a a小于上限小于上限b b，不然，不然，做以下要求做以下要求:关于区间可加性推广关于区间可加性推广10/10/15第15页性质三：性质三：积分不等式性质积分不等式性质（证实：利用极限保序性质）（证实：利用极限保序性质）性质四：性质四：积分保号性积分保号性10/10/16第16页性质五：性质五：积分不等式性质积分不等式性质注意注意性质六：性质六：积分估值性质积分估值性质10/10/17第17页性质七：性质七：积分中值定理积分中值定理性质八：性质八：广义积分中值定理广义积分中值定理10/10/18第18页平均高度平均高度函数平均值函数平均值10/10/19第19页证证由假设条件，能够证实由假设条件，能够证实10/10/20第20页10/10/21第21页例例110/10/22第22页线线性性可可加加性性证证10/10/23第23页解解 10/10/24第24页10/10/25第25页证证 利用估值定理利用估值定理10/10/26第26页证证 10/10/27第27页10/10/28第28页