物理大地测量学省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、第二章第二章 位理论边值问题初步位理论边值问题初步第1页2.1 边值问题概念我们目标是研究地球外部重力场,而重力场性质完全是由重力位决定,所以我们只需求得重力位。由重力位定义知,坐标为(x,y,z)P点重力位是上式中第一项为引力位,第二项为离心力位。离心力位计算是依据天文观察方法准确测定地球自转角速率和自转轴方向,再由点坐标来计算离心力位。引力位计算必须以足够精度知道地球形状和内部物质分布密度,当前还不能准确确实定。实际上,通常是以重力测量数据计算引力位。第2页地面上实测重力值减去离心力就是地面上引力,依据引力位性质,假如我们能够唯一地确定一个函数,它在地球外部调和,在无穷远处正则,其梯度在地
2、面上等于引力,则这个函数就必定是引力位。由这种方法计算引力位问题就是一个边值问题。一.定义位理论边值问题就是依据某一空间边界上给定条件求出该空间中拉普拉斯方程解。当空间被包含在边界内部时叫内部边值问题。当空间位于边界外部时叫外部边值问题。在地球形状和外部重力场理论中,求解是地球外部重力场,所以,这里主要讨论是外部边值问题。第3页二.外部边值问题三种形式1.第一边值问题:求解在边界外部调和,在无穷远处正则函数V,使其在边界上满足边界条件Vf,其中f为已知函数。该问题也叫狭义利赫外部问题2.第二边值问题:求解在边界外部调和,在无穷远处正则函数V,使其在边界上满足边界条件,其中n为边界外法线方向。该
3、问题也叫牛曼外部问题。3.第三边值问题:求解在边界外部调和,在无穷远处正则函数V,使其在边界上满足边界条件,其中为已知函数。该问题也叫混合边值问题。显然,第4页2.2 2.2 格林公式格林公式一、内部格林公式一、内部格林公式1.1.高斯积分定理高斯积分定理设设 是连通有界闭区域,其边界面是连通有界闭区域,其边界面是分片光滑是分片光滑闭曲面,函数闭曲面,函数P(xP(x,y y,z)z)、Q(xQ(x,y y,z)z)、R(xR(x,y y,z)z)及它们一阶偏导数在及它们一阶偏导数在 上连续,则以下高斯积分定理上连续,则以下高斯积分定理成立:成立:第5页其中n是积分面元处曲面外法线方向。若用表
4、示沿n单位矢量,则定义一个矢量函数并记叫矢量散度。第6页则可将高斯积分定理写成高斯积分定理给出了体积分和面积分之间关系。2.内部第一格林公式在上式中,取写成简单形式为第7页则我们能够求得写成矢量形式为得第8页由方向导数性质,可得上式叫内部第一格林公式。第9页2.内部第二格林公式将内部第一格林公式u和v交换位置,得前两式相减得该式叫内部第二格林公式。在内部第一、二格林公式中,要求出现u和v及其各阶偏导数在上连续。第10页二、外部格林公式分块光滑闭曲面上面积分与其外部区域中体积分之间关系,即外部格林公式。1.外部第一格林公式首先,假设是介于两个曲面和之间闭区域,为半径是R球面,完全被包含在内部。将
5、内部第一格林公式应用于闭区域及其表面和,得如图所表示第11页因为由内表面和外表面围成,所以,上式等号右边有两项面积分,其中第一项中负号是因为我们要求外法线指向内部原因而加。上式中等号右边第二项。因为球面外法线与球心距增加方向一致,而且积分面元为,所以深入假设u和v满足以及有限第12页则可得这就是外部第一格林公式。2.外部第二格林公式其中u应满足与内部第一格林公式相同条件,v也应满足和有限显然,外部第一、二格林公式中,u和v还应满足要求连续性条件。第13页2.3格林公式应用例举一、高斯方程在内部第二格林公式中,取u=1得深入假设v=V为引力位,则当内部区域中没有质量时,V为调和函数,所以第14页
6、不然,若内部包含有质量m,则这个方程式叫高斯方程,实际上,当位于上总质量为零时,质点位及质面位都成立,它对质点位及质面位都成立,利用该式能够很简单地计算球对称问题引力。注意:求内部调和函数第二边值问题边界条件显然应该满足式,不然无解。第15页二、用重力方法确定地球质量在中,取v=W为重力位,则因为则有其中,m仍为内部包含质量,为体积。深入假设地球质量完全包含在内部,gn为垂直于并向下(指向内部)重力分量第16页用M表示地球质量,则能够解得第17页三、第三格林公式设P为空间一固定点,M为流动点,r为由M到P距离,它是M点坐标函数,能够轻易地验证,在除P点外任何地方都是调和。在内部第二格林公式中,
7、取,v不变,则当P点分别位于分片光滑闭曲面外部、内部和上面时,能够得到三个不一样等式,要注意:和v是体积元位置M点坐标函数。如图所表示,当P点位于外部时,在中为调和函数第18页当P点位于内部时,在P点趋于无穷大,不能对闭区域及其表面应用内部第二格林公式,为处理这一问题,我们在内部以P点为中心作二分之一径为小球,球面用S表示,球体所占空间用表示。此时我们能够对闭区域及其表面和S应用内部第二格林公式,得其中,等号右边第二项负号是因为要求S法线指向内部而加。如图所表示第19页在球面s上,而且由要求知,方向即为r 增大方向,所以取趋于零,设v一阶偏导数在上包含P点在内任何地方都有限,因而有限,所以,随
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