离散数学高等教育出版社配套屈婉玲耿市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、主要内容主要内容集合基本概念集合基本概念 属于、包含属于、包含 幂集、空集幂集、空集 文氏图等文氏图等集合基本运算集合基本运算 并、交、补、差等并、交、补、差等集合恒等式集合恒等式 集合运算算律、恒等式证实方法集合运算算律、恒等式证实方法 第二部分第二部分 集合论集合论第六章第六章 集合代数集合代数1第1页6.1 集合基本概念集合基本概念1.集合定义集合定义 集合没有准确数学定义集合没有准确数学定义 了解:由离散个体组成整体称为了解:由离散个体组成整体称为集合集合,称这些个体为集,称这些个体为集 合合元素元素 常见数集:常见数集:N,Z,Q,R,C 等分别表示自然数、整数、有等分别表示自然数、
2、整数、有 理数、实数、复数集合理数、实数、复数集合2.集合表示法集合表示法 枚举法枚举法-经过列出全体元素来表示集合经过列出全体元素来表示集合 谓词表示法谓词表示法-经过谓词概括集合元素性质经过谓词概括集合元素性质 实例:实例:枚举法枚举法 自然数集合自然数集合 N=0,1,2,3,谓词法谓词法 S=x|x是实数,是实数,x2 1=0 2第2页元素与集合元素与集合1.集合元素含有性质集合元素含有性质 无序性:元素列出次序无关无序性:元素列出次序无关 相异性:集合每个元素只计相异性:集合每个元素只计 数一次数一次 确定性:对任何元素和集合都确定性:对任何元素和集合都 能确定这个元素是否能确定这个
3、元素是否 为该集合元素为该集合元素 任意性:集合元素也能够是任意性:集合元素也能够是 集合集合2元素与集合关系元素与集合关系 隶属关系:隶属关系:或者或者 3集合树型层次结构集合树型层次结构d A,a A3第3页集合与集合集合与集合集合与集合之间关系:集合与集合之间关系:,=,定义定义6.1 A B x(x A x B)定义定义6.2 A=B A B B A定义定义6.3 A B A B A B A B x(x A x B)思索:思索:和和 定义定义 注意注意 和和 是不一样层次问题是不一样层次问题4第4页空集、全集和幂集空集、全集和幂集1定义定义6.4 空集空集 :不含有任何元素集合:不含有
4、任何元素集合 实例:实例:x|x R x2+1=0 定理定理6.1 空集是任何集合子集。空集是任何集合子集。证证 对于任意集合对于任意集合A,A x(xx A)T(恒真命题恒真命题)推论推论 是惟一是惟一3.定义定义6.6 全集全集 E:包含了全部集合集合:包含了全部集合集合 全集含有相对性:与问题相关,不存在绝正确全集全集含有相对性:与问题相关,不存在绝正确全集2.定义定义6.5 幂集幂集:P(A)=x|x A 实例:实例:P()=,P()=,计数:假如计数:假如|A|=n,则,则|P(A)|=2n.5第5页6.2 集合运算集合运算初级运算初级运算集合基本运算有集合基本运算有定义定义6.7
5、并并 A B=x|x A x B 交交 A B=x|x A x B 相对补相对补 A B=x|x A x B定义定义6.8 对称差对称差 A B=(A B)(B A)定义定义6.9 绝对补绝对补 A=E A 6第6页文氏图文氏图集合运算表示集合运算表示ABABABABABA BA BABA BA7第7页几点说明几点说明并和交运算能够推广到有穷个集合上,即并和交运算能够推广到有穷个集合上,即A1 A2 An=x|x A1 x A2 x An A1 A2 An=x|x A1 x A2 x An A B A B=A B=A B=A8第8页广义运算广义运算1.集合广义并与广义交集合广义并与广义交 定义
6、定义6.10 广义并广义并 A=x|z(z A x z)广义交广义交 A=x|z(z A x z)实例实例 1,1,2,1,2,3=1,2,3 1,1,2,1,2,3=1 a=a,a=a a=a,a=a9第9页关于广义运算说明关于广义运算说明2.广义运算性质广义运算性质 (1)=,无意义无意义 (2)单元集单元集x广义并和广义交都等于广义并和广义交都等于x (3)广义运算降低集合层次(括弧降低一层)广义运算降低集合层次(括弧降低一层)(4)广义运算计算:普通情况下能够转变成初级运算广义运算计算:普通情况下能够转变成初级运算 A1,A2,An=A1 A2 An A1,A2,An=A1 A2 An
7、 3.引入广义运算意义引入广义运算意义 能够表示无数个集合并、交运算,比如能够表示无数个集合并、交运算,比如 x|x R=R 这里这里 R 代表实数集合代表实数集合.10第10页运算优先权要求运算优先权要求1 类运算:初级运算类运算:初级运算,,优先次序由括号确定优先次序由括号确定2 类运算:广义运算和类运算:广义运算和 运算,运算,运算由右向左进行运算由右向左进行混合运算:混合运算:2 类运算优先于类运算优先于1 类运算类运算例例1 A=a,a,b,计算,计算A(AA).解:解:A(AA)=a,b(a,ba)=(a b)(a b)a)=(a b)(b a)=b11第11页有穷集合元素计数有穷
8、集合元素计数1.文氏图法文氏图法2.包含排斥原理包含排斥原理定理定理6.2 设集合设集合S上定义了上定义了n条性质,其中含有第条性质,其中含有第 i 条性质条性质元素组成子集元素组成子集Ai,那么集合中不含有任何性质元素数为那么集合中不含有任何性质元素数为 推推论论 S中最少含有一条性中最少含有一条性质质元素数元素数为为12第12页实例实例例例2 求求1到到1000之间(包含之间(包含1和和1000在内)既不能被在内)既不能被5和和6整整除,也不能被除,也不能被8整除数有多少个?整除数有多少个?解解 方法一:文氏图方法一:文氏图 定义以下集合:定义以下集合:S=x|x Z 1 x 1000 A
9、=x|x S x可被可被5整除整除 B=x|x S x可被可被6整除整除 C=x|x S x可被可被8整除整除 画出文氏图,然后填入对应数画出文氏图,然后填入对应数字,解得字,解得 N=1000(200+100+33+67)=60013第13页实例实例方法二方法二|S|=1000|A|=1000/5=200,|B|=1000/6=166,|C|=1000/8=125|A B|=1000/lcm(5,6)=1000/33 =33|A C|=1000/lcm(5,8)=1000/40 =25|B C|=1000/lcm(6,8)=1000/24 =41|A B C|=1000/lcm(5,6,8)
10、=1000/120 =8 =1000(200+166+125)+(33+25+41)8=600 14第14页6.3 集合恒等式集合恒等式集合算律集合算律1只包括一个运算算律:只包括一个运算算律:交换律交换律、结合律结合律、幂等律幂等律 交换交换A B=B AA B=B AA B=B A结合结合(A B)C=A(B C)(A B)C=A(B C)(A B)C=A(B C)幂等幂等A A=AA A=A15第15页集合算律集合算律 2包括两个不一样运算算律:包括两个不一样运算算律:分配律、吸收律分配律、吸收律 与与 与与 分配分配A(B C)=(A B)(A C)A(B C)=(A B)(A C)A
11、(B C)=(A B)(A C)吸收吸收A(A B)=AA(A B)=A16第16页集合算律集合算律3包括补运算算律:包括补运算算律:DM律律,双重否定律双重否定律 D.M律律A(B C)=(A B)(A C)A(B C)=(A B)(A C)(B C)=BC(B C)=BC双重否定双重否定A=A17第17页集合算律集合算律4包括全集和空集算律:包括全集和空集算律:补元律补元律、零律零律、同一律同一律、否定律否定律E补元律补元律AA=AA=E零律零律A=A E=E同一律同一律A=AA E=A否定否定=E E=18第18页集合证实题集合证实题证实方法:命题演算法、等式置换法证实方法:命题演算法、
12、等式置换法命题演算证实法书写规范命题演算证实法书写规范(以下以下X和和Y代表集合公式代表集合公式)(1)证证X Y 任取任取x,x X x Y(2)证证X=Y 方法一方法一 分别证实分别证实 X Y 和和 Y X 方法二方法二 任取任取x,x X x Y注意:在使用方法二格式时,必须确保每步推理都是充注意:在使用方法二格式时,必须确保每步推理都是充分必要分必要19第19页集合等式证实集合等式证实方法一:命题演算法方法一:命题演算法例例3 证实证实A(A B)=A(吸收律)(吸收律)证证 任取任取x,x A(A B)x A x A B x A(x A x B)x A 所以得所以得 A(A B)=
13、A.例例4 证实证实 A B=AB证证 任取任取x,x A B x A x B x A xB x AB 所以得所以得 A B=AB20第20页等式代入法等式代入法方法二:等式置换法方法二:等式置换法例例5 假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立,证实吸假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立,证实吸 收律收律.证证 A(A B)=(A E)(A B)(同一律)(同一律)=A(E B)(分配律)(分配律)=A(B E)(交换律)(交换律)=A E (零律)(零律)=A (同一律)(同一律)21第21页包含等价条件证实包含等价条件证实例例6 证实证实A B AB=B A B=A A B=证实思绪
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