线性代数矩阵的初等变换与线性方程组习题课省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

线性代数线性代数10/10/线性代数课件第1页第三章第三章矩阵初等变换与线性方程组矩阵初等变换与线性方程组10/10/线性代数课件第2页10/10/线性代数课件第3页10/10/线性代数课件第4页初等变换定义换法变换换法变换倍法变换倍法变换消法变换消法变换10/10/线性代数课件第5页初等变换 逆变换三种初等变换都是可逆，且其逆变换是三种初等变换都是可逆，且其逆变换是同一类型初等变换同一类型初等变换10/10/线性代数课件第6页反身性反身性传递性传递性对称性对称性矩阵等价10/10/线性代数课件第7页三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到矩阵称由单位矩阵经过一次初等变换得到矩阵称为初等矩阵为初等矩阵10/10/线性代数课件第8页（）换法变换：对调两行（列），得初等（）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵矩阵10/10/线性代数课件第9页（）倍法变换：以数（非零）乘某行（）倍法变换：以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵列），得初等矩阵10/10/线性代数课件第10页（）消法变换：以数乘某行（列）加到另（）消法变换：以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵一行（列）上去，得初等矩阵10/10/线性代数课件第11页经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线下方全阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线下方全为为0 0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行行数，阶梯线竖线（每段竖线长度为一行）行数，阶梯线竖线（每段竖线长度为一行）后面第一个元素为非零元，也就是非零行第后面第一个元素为非零元，也就是非零行第一个非零元一个非零元比如比如行阶梯形矩阵10/10/线性代数课件第12页经过初等行变换，行阶梯形矩阵还能够进一经过初等行变换，行阶梯形矩阵还能够进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行第一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行第一个非零元为个非零元为1 1，且这些非零元所在列其它元素都，且这些非零元所在列其它元素都为为0 0比如比如行最简形矩阵10/10/线性代数课件第13页对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵标准形，其特点是：左上角是一个单位矩矩阵标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为阵，其余元素都为0 0比如比如矩阵标准形10/10/线性代数课件第14页全部与全部与A A等价矩阵组成一个集合，称为一等价矩阵组成一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单矩阵矩阵10/10/线性代数课件第15页定义定义矩阵秩定义定义10/10/线性代数课件第16页定理定理行阶梯形矩阵秩等于非零行行数行阶梯形矩阵秩等于非零行行数矩阵秩性质及定理10/10/线性代数课件第17页10/10/线性代数课件第18页定理定理定理定理线性方程组有解判别定理10/10/线性代数课件第19页齐次线性方程组齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解矩阵，写出通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，依据有解判别定理判断是否有解，若有形矩阵，依据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵深入化成行最简形矩阵，写出解，把增广矩阵深入化成行最简形矩阵，写出通解通解10线性方程组解法10/10/线性代数课件第20页定理定理11初等矩阵与初等变换关系定理定理推论推论10/10/线性代数课件第21页一、求矩阵秩一、求矩阵秩二、求解线性方程组二、求解线性方程组三、求逆矩阵初等变换法三、求逆矩阵初等变换法四、解矩阵方程初等变换法四、解矩阵方程初等变换法典型例题10/10/线性代数课件第22页求矩阵秩有以下基本方法求矩阵秩有以下基本方法（）计算矩阵各阶子式，从阶数最高（）计算矩阵各阶子式，从阶数最高子式开始，找到不等于零子式中阶数最大一子式开始，找到不等于零子式中阶数最大一个子式，则这个子式阶数就是矩阵秩个子式，则这个子式阶数就是矩阵秩一、求矩阵秩10/10/线性代数课件第23页（）用初等变换即用矩阵初等行（或（）用初等变换即用矩阵初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，因为阶列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，因为阶梯形矩阵秩就是其非零行（或列）个数，而梯形矩阵秩就是其非零行（或列）个数，而初等变换不改变矩阵秩，所以化得阶梯形矩初等变换不改变矩阵秩，所以化得阶梯形矩阵中非零行（或列）个数就是原矩阵秩阵中非零行（或列）个数就是原矩阵秩第一个方法当矩阵行数与列数较高时，计第一个方法当矩阵行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用算量很大，第二种方法则较为简单实用10/10/线性代数课件第24页例例求以下矩阵秩求以下矩阵秩解解对对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵10/10/线性代数课件第25页10/10/线性代数课件第26页注意注意在求矩阵秩时，初等行、列变换可在求矩阵秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但普通多用初等行变换把矩阵化成以同时兼用，但普通多用初等行变换把矩阵化成阶梯形阶梯形10/10/线性代数课件第27页当方程个数与未知数个数不相同时，一当方程个数与未知数个数不相同时，一般用初等行变换求方程解般用初等行变换求方程解当方程个数与未知数个数相同时，求线当方程个数与未知数个数相同时，求线性方程组解，普通都有两种方法：初等行变换性方程组解，普通都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则法和克莱姆法则二、求解线性方程组10/10/线性代数课件第28页例例求非齐次线性方程组通解求非齐次线性方程组通解解解对方程组增广矩阵对方程组增广矩阵 进行初等行变换，使进行初等行变换，使其成为行最简单形其成为行最简单形10/10/线性代数课件第29页10/10/线性代数课件第30页10/10/线性代数课件第31页由此可知，而方程组由此可知，而方程组(1)中未知中未知量个数是，故有一个自由未知量量个数是，故有一个自由未知量.10/10/线性代数课件第32页例例 当取何值时，下述齐次线性方程组有非当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，而且求出它通解零解，而且求出它通解解法一解法一系数矩阵行列式为系数矩阵行列式为10/10/线性代数课件第33页10/10/线性代数课件第34页从而得到方从而得到方程组通解程组通解10/10/线性代数课件第35页10/10/线性代数课件第36页10/10/线性代数课件第37页解法二解法二用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形10/10/线性代数课件第38页10/10/线性代数课件第39页三、求逆矩阵初等变换法10/10/线性代数课件第40页例例求下述矩阵逆矩阵求下述矩阵逆矩阵解解10/10/线性代数课件第41页10/10/线性代数课件第42页注意注意用初等行变换求逆矩阵时，必须一直用初等行变换求逆矩阵时，必须一直用行变换，其间不能作任何列变换一样地，用用行变换，其间不能作任何列变换一样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须一直用列变换，其初等列变换求逆矩阵时，必须一直用列变换，其间不能作任何行变换间不能作任何行变换10/10/线性代数课件第43页四、解矩阵方程初等变换法或者或者10/10/线性代数课件第44页例例解解10/10/线性代数课件第45页10/10/线性代数课件第46页第三章测试题一、填空题一、填空题(每小题每小题4 4分，共分，共2424分分)1 1若元线性方程组有解，且其系数矩阵秩为若元线性方程组有解，且其系数矩阵秩为，则当时，方程组有唯一解；当时，方，则当时，方程组有唯一解；当时，方程组有没有穷多解程组有没有穷多解2 2齐次线性方程组齐次线性方程组只有零解，则应满足条件是只有零解，则应满足条件是10/10/线性代数课件第47页4 4线性方程组线性方程组有解充要条件是有解充要条件是10/10/线性代数课件第48页二、计算题二、计算题(第第1 1题每小题题每小题8 8分，共分，共1616分；第分；第2 2题每题每小题小题9 9分，共分，共1818分；第分；第3 3题题1212分分)10/10/线性代数课件第49页2 2求解以下线性方程组求解以下线性方程组10/10/线性代数课件第50页有唯一解、无解或有没有穷多解？在有没有穷多解时，有唯一解、无解或有没有穷多解？在有没有穷多解时，求其通解求其通解10/10/线性代数课件第51页三、利用矩阵初等变换，求以下方阵逆矩阵三、利用矩阵初等变换，求以下方阵逆矩阵四、证实题四、证实题(每小题每小题8 8分，共分，共1616分分)(每小题每小题7 7分，共分，共1414分分)10/10/线性代数课件第52页测试题答案10/10/线性代数课件第53页10/10/线性代数课件第54页10/10/线性代数课件第55页