随机变量的数学期望省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、第四章 随机变量数字特征数学期望方差协方差和相关系数矩与协方差矩阵第1页4.1 4.1 数学期望数学期望 4.1.1 概念概念例例1 1、盒子中有、盒子中有6 6个球(如图),个球(如图),122333从中任取一球再放回,重复了三次,问三次从中任取一球再放回,重复了三次,问三次抽到号码平均值。抽到号码平均值。第2页定义定义4.1:设离散型随机变量设离散型随机变量X 分布列是分布列是 ,若级数若级数 收收敛敛,则则称称随随机机变变量量 X 数数学学期期望望存存在在,且且称称级数级数 和为和为 X 数学期望,并记为数学期望,并记为EX,有时也称,有时也称 EX 为为 X 均值。均值。第3页对连续型
2、随机变量对连续型随机变量 X 数学期望类似可定数学期望类似可定义以下:义以下:定义定义4.2:假如连续型随机变量假如连续型随机变量X含有密度函数含有密度函数 f(x),积分,积分 收敛,则称收敛,则称 X 数学数学期望存在,不然称期望存在,不然称X数学期望不存在。若数学期望不存在。若X 数学期望存在,称积分值数学期望存在,称积分值 为为 X 数学期望,也记为数学期望,也记为 EX。第4页注注1、若、若 ,仍称,仍称X 数学期望不存在。数学期望不存在。2、离散型取有限个值,连续型密度函数只在、离散型取有限个值,连续型密度函数只在有限区间上积分,则有限区间上积分,则X期望一定存在。期望一定存在。3
3、、离散型只取非负值,连续型只在、离散型只取非负值,连续型只在x0时时f(x)0,则只需直接计算期望。,则只需直接计算期望。第5页4.1.2 4.1.2 常见随机变量数学期望常见随机变量数学期望 (1)()(01)分布)分布p1-pP10X第6页(2)二项分布)二项分布B(n,p)第7页(3)泊松分布)泊松分布P()第8页(4)几何分布)几何分布G(p)第9页(5)超几何分布)超几何分布H(N,M,n)第10页(6)均匀分布)均匀分布U(a,b)第11页(7)指数分布)指数分布第12页(8)正态分布)正态分布 N(,2 2)第13页4.1.3 4.1.3 随机变量函数数学期望随机变量函数数学期望
4、 定理定理4.14.1:设设Y是随机变量是随机变量X函数,即函数,即 (g 是连续函数),是连续函数),(1 1)若)若X是离散型随机变量,其分布律为是离散型随机变量,其分布律为而级数而级数 绝对收敛,则有绝对收敛,则有第14页(2 2)若)若 X 是连续型随机变量,其密是连续型随机变量,其密度函数为度函数为 ,若积分,若积分 绝对收敛,则有绝对收敛,则有 第15页定理定理4.24.2:设设Z Z是二维随机变量是二维随机变量(X,Y)函数,即函数,即Zg(X,Y),),则则(1 1)若)若(X,Y)是二维离散型随机变量,有是二维离散型随机变量,有(2 2)若)若(X,Y)是二维连续型随机变量,
5、有是二维连续型随机变量,有第16页例例1 1:设:设 XB(n,p),),求求EX(X1)。解:因解:因XB(n,p),),则则X分布律为分布律为令令 Yg(X)X(X1)第17页例例2 2、已知、已知XN(0,1),求,求E(X4)第18页例例3 3、(X,Y)联合密度函数为:联合密度函数为:求:求:EY第19页例例4 4:设随机变量:设随机变量(X,Y)服从二维正态分服从二维正态分 布,其密度为布,其密度为求求 数学期望数学期望。解:解:第20页例例5 5:设:设X、Y相互独立同服从标准正态分布相互独立同服从标准正态分布N(0,1),),求求 E(maxX,Y)。解:由题设,解:由题设,(
6、X,Y)联合密度为联合密度为第21页(1 1)ECC,(C为常数为常数)(2 2)E(CX)CEX,(C为常数为常数)(3 3)E(X+Y)EXEY E(aX+b)aEXb,E()(4 4)若若X、Y是相互独立随机变量,则是相互独立随机变量,则 E(XY)EXEY。4.1.4 4.1.4 数学期望性质数学期望性质第22页例例6 6、盒中有、盒中有N个球,其中个球,其中M个黑球,个黑球,N-M个个白球,从中任取白球,从中任取n个球,令个球,令X表示取得黑球表示取得黑球个数,个数,求求 EX。第23页4.2 随机变量方差随机变量方差 4.2.1 4.2.1 方差定义方差定义 对随机变量特征进行考查
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