B样条曲线定义和基本性质市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx
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1、B B样条曲线定义和基本性质样条曲线定义和基本性质王莹莹王莹莹9 9月月第第1 1页页序言在我们工程中应用拟合曲线,普通地说能够分为两在我们工程中应用拟合曲线,普通地说能够分为两种类型:一个是最终生成曲线经过全部给定型值点,种类型:一个是最终生成曲线经过全部给定型值点,比如抛物样条曲线和三次参数样条曲线等,这么曲比如抛物样条曲线和三次参数样条曲线等,这么曲线适合用于插值放样;另一个曲线是,它最终止果线适合用于插值放样;另一个曲线是,它最终止果并不一定经过给定型值点,而只是比很好地靠近这并不一定经过给定型值点,而只是比很好地靠近这些点,这类曲线(或曲面)比较适合于外形设计。些点,这类曲线(或曲面
2、)比较适合于外形设计。第第2 2页页因为在外形设计中因为在外形设计中(比如汽车、船舶比如汽车、船舶),初始给出数据点往往并不精确;,初始给出数据点往往并不精确;并有地方在外观上考虑是主要,因为不是功能要求,所以为了美观而宁并有地方在外观上考虑是主要,因为不是功能要求,所以为了美观而宁可放弃个别数据点。所以不须最终生成曲线都经过这些数据点。其次,可放弃个别数据点。所以不须最终生成曲线都经过这些数据点。其次,考虑到在进行外形设计时应易于实时局部修改,反映直观,以便于设计考虑到在进行外形设计时应易于实时局部修改,反映直观,以便于设计者交互操作。第一类曲线在这方面就不能适应。者交互操作。第一类曲线在这
3、方面就不能适应。第第3 3页页BzierCurves19621962年,法国雷诺汽车企业年,法国雷诺汽车企业P.E.BezierP.E.Bezier结构了一个以迫近结构了一个以迫近为基础参数曲线和曲面设计方法,并用这种方法完成了一为基础参数曲线和曲面设计方法,并用这种方法完成了一个称为个称为UNISURF UNISURF 曲线和曲面设计系统,曲线和曲面设计系统,19721972年,该系统被年,该系统被投入了应用。投入了应用。BezierBezier方法将函数迫近同几何表示结合起来,方法将函数迫近同几何表示结合起来,使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。使得设计师在计算机上就象使用作
4、图工具一样得心应手。经过经过BezierBezier能够画出复杂形状曲线,只要给出表示曲线大能够画出复杂形状曲线,只要给出表示曲线大致走向点,就可由这些点画出一个多边形,然后经过致走向点,就可由这些点画出一个多边形,然后经过BezierBezier公式迫近这个多边形画出所要曲线。其中给出描述公式迫近这个多边形画出所要曲线。其中给出描述曲线大致走向点称为控制点,这些点连成多边形称为控制曲线大致走向点称为控制点,这些点连成多边形称为控制多边形。多边形。第第4 4页页BezierBezier曲线形状是经过一组多边折线(特征多边形)曲线形状是经过一组多边折线(特征多边形)各顶点唯一地定义出来。在这组顶
5、点中:各顶点唯一地定义出来。在这组顶点中:(1)(1)只有第一个顶点和最终一个顶点在曲线上;只有第一个顶点和最终一个顶点在曲线上;(2)(2)其余顶点则用于定义曲线导数、阶次和形状;其余顶点则用于定义曲线导数、阶次和形状;(3)(3)第一条边和最终一条边则表示了曲线在两端点第一条边和最终一条边则表示了曲线在两端点处切线方向。处切线方向。第第5 5页页一、一、Bzier曲线定义和性质曲线定义和性质1.定义定义 给定空间给定空间n+1个点位置矢量个点位置矢量Pi(i=0,1,2,n),则,则Bzier曲线可定义曲线可定义为:为:其中,其中,Pi(i=0,1,n)组成组成该该Bzier曲线特征多边形
6、,曲线特征多边形,Bi,n(t)是是n次次Bernstein基函数:基函数:其中,其中,00=1,0!=1。控制顶点控制顶点 特征多边形特征多边形第第6 6页页Bzier Curves第第7 7页页2.Bernstein基函数性质基函数性质 (1)正性正性 (2)端点性质端点性质 Bi,n(0)=Bi,n(1)=1,i=00,i01,i=n0,in在在Bernstein基函数基函数 曲曲线线次次数数。由由排排列列组组合合和和导导数数运运算算规规律律能能够够推推导导出出Bernstein基基函函数数以以下性质:下性质:中,中,n n为基本为基本 第第8 8页页2.Bernstein基函数性质基函
7、数性质 (3)权性权性 由二项式定理可知:由二项式定理可知:(4)对称性:对称性:因为因为第第9 9页页2.Bernstein基函数性质基函数性质 (5)递推性递推性 (6)导函数:导函数:(7)最大值最大值 即高一次即高一次Bernstein基函数可由两个低一次基函数可由两个低一次Bernstein调和函数线性调和函数线性组合而成。组合而成。Bi,n(t)在在 t=i/n 处到达最大值。处到达最大值。第第1010页页3.Bzier曲线曲线性质性质 (1)端点性质端点性质 曲线端点位置矢量曲线端点位置矢量由由Bernstein基函数端点性质能够推得:基函数端点性质能够推得:当当t=0时,时,P
8、(0)=P0;当当t=1时,时,P(1)=Pn;由此可见,由此可见,Bezier曲线起点、终点与对应特征多边形起点、终点曲线起点、终点与对应特征多边形起点、终点重合。重合。第第1111页页3.Bzier曲线曲线性质性质 (1)端点性质端点性质 切矢量切矢量因为:因为:所以:当所以:当t=0时,时,P(0)=n(P1 P0);当当t=1时,时,P(1)=n(Pn Pn-1);说明,说明,Bezier曲线起点和终点处切线方向和特征多边形第一条边曲线起点和终点处切线方向和特征多边形第一条边及最终一条边走向一致。及最终一条边走向一致。第第1212页页3.Bzier曲线曲线性质性质 (2)对称性对称性
9、由由控控制制顶顶点点 结结构构出出新新Bezier曲曲线线,与与原原Bezier曲线形状相同,走向相反。因为曲线形状相同,走向相反。因为:第第1313页页3.Bzier曲线曲线性质性质 (3)凸包凸包性性 因为因为 而且而且 说说明明当当t在在0,1区区间间改改变变时时,对对某某一一个个t值值,P(t)是是特特征征多多边边形形各各顶点加权平均,权因子依次是顶点加权平均,权因子依次是Bi,n(t)。在在几几何何图图形形上上,意意味味着着Bezier曲曲线线P(t)在在 中中各各点点是是控控制制点点Pi凸线性组合,即曲线落在凸线性组合,即曲线落在Pi组成凸包之中。组成凸包之中。(c)(c)第第14
10、14页页3.Bzier曲线曲线性质性质 (4)几何不变性几何不变性 指指一一些些几几何何特特征征不不随随坐坐标标变变换换而而改改变变特特征征。Bezier曲曲线线位位置置与与形形状与其特征多边形顶点状与其特征多边形顶点Pi(i=0,1,n)位置相关,它不依赖坐标系选择。位置相关,它不依赖坐标系选择。(参变量(参变量u是是t置换)置换)第第1515页页3.Bzier曲线曲线性质性质 (5)变差缩减性变差缩减性 若若Bezier曲曲线线特特征征多多边边形形P0 P1 Pn是是一一个个平平面面图图形形,则则平平面面内内任意直线与任意直线与P(t)交点个数不多于该直线与其特征多边形交点个数。交点个数不
11、多于该直线与其特征多边形交点个数。此此性性质质反反应应了了Bezier曲曲线线比比其其特特征征多多边边形形波波动动还还小小,也也就就是是说说Bezier曲线比特征多边形折线更光顺。曲线比特征多边形折线更光顺。第第1616页页在一个位置上增加多个控制点将增加这个点权值在一个位置上增加多个控制点将增加这个点权值,将将Bzier 曲线推向这个点曲线推向这个点.第第1717页页4.Bzier曲线曲线及其控制多边形几何形状及其控制多边形几何形状 第第1818页页Bzier 曲线性质曲线性质假如只有一个控制点假如只有一个控制点 P0,比如,比如:n=0 那么,对于全部那么,对于全部t有有 P(t)=P0假
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