个数学教授都可能答错的简单概率问题市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、一个数学教授都可能答错一个数学教授都可能答错“简单简单”概率问题概率问题随机模拟试验随机模拟试验第1页 1990年,美国Parade展示杂志“Ask Marilyn”专栏主持人玛莉莲莎凡收到了一名读者提问:假设你正在参加一个游戏节目,你被要求在三扇门中选择一扇。其中一扇后面有一辆汽车,其余两扇后面则是山羊。你选择了一扇门,假设是一号门,然后知道门后面有什么主持人开启了另一扇后面有山羊门,假设是三号门。他然后问你:“你想选择二号 第2页门吗?”这个问题源自美国电视娱乐节目“让我们做个交易”(Lets Make a Deal),以后被冠以节目主持人名字:蒙提 霍尔问题,也被称为“汽车与山羊问题”。
2、玛莉莲智商为228,是智商吉尼斯统计保持者,她主持节目所以很受读者欢迎。那么,你是否应该改变原来选择呢?第3页 玛莉莲对这一问题解答是应该换,因为换了之后有23概率赢得汽车,不换话概率只有13。她这一解答引来了几千封读者信件,其中反对者达九成。大部分读者认为这个答案太荒谬了。有些人甚至说,假如这个解答代表了美国人智力,那美国就没希望了。因为直觉告诉人们,既然参赛者是从三扇门中任选一扇,那么一开始选中汽车概率是三第4页分之一,当主持人打开了有山羊3号门后,那么1号门和2号门后有汽车概率就都变成了12,完全没有必要改变原来选择。玛丽莲在接下来二期专栏中对她结论给予了开玩笑式解释:假如当主持人打开那
3、个有山羊门后,有外星人突然来到台上选。他在能选两个门中任选一个,有车概率确实都是50%。但你不是刚到,你有优势,因为主持人帮助过你了,他为你在其第5页余两个门中作了预选。你换了后,概率就由三分之一提升到三分之二了。但反对者更多了。其中包含全国健康机构统计学家,国防情报中心副主任,著名美籍匈牙利数学家保罗埃尔笛希(Paul Erdos)也是反对者之一。玛莉莲面对这么多数学家怀疑眼光,不再解释什么道理,而是请全美国儿童帮她做试验,用三张扑克牌和玩具小汽车来 第6页模仿这个游戏。儿童们做了许屡次试验,得到结论与玛莉莲说法是一致,应该改变原来选择。“事实胜于雄辩”,那些数学家们也无话可说了,只好去找自
4、己错误在哪里。随即,包含纽约时报和许多数学期刊在内众多媒体对这一问题展开了全国大讨论。在十年时间里,最少有40篇论文或专著探讨了这一问题。第7页 实际上,从数学上说,玛莉莲是正确。参赛者做出第一次选择时,会出现两种可能性:选到了山羊,或是选到了汽车。因为有两扇门背后都是山羊,所以参赛者选到山羊概率是23;对应地,选到汽车概率是13。此时,主持人打开了一扇背后是山羊门,我们假设参赛者决定更改选择。那么,假如参赛者开始选是山羊(23可能性),那么他就会换到汽车;假如参赛者一开始选 第8页是汽车(13可能性),他就会换到山羊。这也就是说,参赛者更改自己选择便会有23概率取得汽车。还有一个解释可能会对
5、了解问题答案有所帮助。假设主持人在参赛者面前摆出52张扑克,让参赛者任意抽取一张。假定参赛者一旦抽中黑桃A便会赢得奖励。那么现在,他抽取这张牌恰是黑桃A概率是152。好,接下来,主持人看了一遍手中剩下51第9页张牌,然后将其中50张翻开,让参赛者看到这50张全都不是黑桃A。主持人问参赛者:你现在想拿你手中牌换我手中牌吗?那么,此时参赛者该换吗?这个游戏中有以下事实:第一,因为主持人拿了51张牌,所以,黑桃A有5152 可能性在他手里;第二,主持人接下来有条理地除去了其中几乎全部错误选择。这意味着,黑桃 A实际上有5152可能性就在主持人手中,所以 第10页参赛者当然应该选择交换。这么解释其实只
6、是把门从三扇增加到了52扇。假如52扇解释能够了解话,为何三扇不行呢?有兴趣同学能够用贝叶斯公式或Monte Carlo随机模拟方法来验证玛莉莲答案是正确。实际上,蒙提霍尔问题身世能够追溯到玛莉莲收到来信之前一个世纪。十九世纪那个问题是这么:假设有三张桌子,每 第11页张桌子有一对抽屉;另有三对金属块,分别是金块银块、金块金块和银块银块,把三对金属块分别放到三对抽屉里;随机打开一个抽屉,发觉放在其中是金块,那么同一个桌子另一个抽屉里也是金块概率是多大?这个问题被称为“贝特朗箱子悖论”。直觉告诉人们,另一个抽屉里是金块和是银块可能性为1比1,因为有两个桌子里是有金 第12页块,其中一个包含了银块
7、,而另一个全是金块。是这么吗?假如你这么认为话,那只能说,直觉又一次坑骗了你。假如你对汽车与山羊问题感兴趣,可阅读韩雪涛所著从诧异到思索数学悖论奇景一书。该书对这个问题用几个不一样方法对答案做出了解释。许多人在很长一段时间里不能了解答案,或者看了解释之后仍会表示怀疑,是因为直觉力量太顽固了。第13页 韩雪涛这本书与美国业余数学家马丁加德纳几十年前书从诧异到思索 数学悖论奇景同名。加德纳在他书中收入了78个悖论,而韩雪涛在书中收入许多未被收入或是新出现悖论,最少有128个。博弈论悖论、微积分悖论、集合论悖论等类型悖论是加德纳在书中未作详细叙述。本书和韩雪涛前一本关于悖论书数学悖论与三次数学危机分
8、别向读者展示了 第14页悖论与我们生活关系,以及悖论对数学发展所起到助推作用。毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论和罗素悖论是他上一本书重点讨论三个悖论,这三个悖论不但迷人而且对数学影响深远。最终,给出两条关于直觉名言,与各位共勉。“直觉当然主要,但有时并不可靠”;“直觉与错觉只有一步之遥”。第15页几个有趣概率问题几个有趣概率问题 1、奖金分配问题、奖金分配问题 棋艺相当甲、乙两位棋手参加一项奖金为1000元五局三胜制比赛。在已经结束三局比赛中,甲二胜一负,现因故要停顿比赛,问怎样分配这1000元奖金才算公平?两人平均分对甲欠公平,全归甲对乙欠公平,合理分法是按一定百分比分配而甲 第16页拿大头。比赛
9、组织者按已胜局数分,即甲拿 2/3,乙拿 1/3,你认为合理吗?请依据所学概率论知识经过计算给出公正合理分配方案。第17页2、蒲丰投针试验、蒲丰投针试验 对随机现象进行模拟研究方法称为随机模拟,也称为Monte Carlo方法。概率统计课程中介绍法国数学家蒲丰(Buffon)用掷硬币方法研究频率与概率是随机模拟经典例子。蒲丰在1777年还设计了一个有趣掷针试验,用随机模拟方法计算圆周率,其详细步骤以下:第18页(1)在一张纸上画许多间距为d等距平行线;(2)取一根长度为 均匀直针,随机地向纸上掷去,共掷n次(n是一个很大整数),观察针和直线相交次数m;(3)能够证实:针和直线相交概率为 。第1
10、9页 取频率为近似值,则 做掷针试验是很费时间,也极难做到“真正”随机。有兴趣同学能够用计算机模拟蒲丰掷针试验,计算近似值,体验一下当代“祖冲之”感觉。第20页3、贝特朗悖论、贝特朗悖论 古典概率、几何概率在当代概率论发展中曾经起过重大作用,它们都基于“等可能”条件。许多人认为,只要找到适当等可能性描述,就能够给出概率问题惟一解答。然而,我们能够找到这么例子,它包含着几个似乎都一样有理但却相互矛盾答案。第21页第22页 问题:问题:在单位圆内随意地取一条弦,弦长超出该圆内接等边三角形边长这一事件概率是多少?分析分析1:不失随机性,固定弦一个端点A 于圆周上,以 A为顶点作圆内接等边三角形ACD
11、,要使AB大于其边长 ,则B必须属于劣弧 CD。于是依据几何概率定义,所求概率为 第23页 分析分析2:作圆内接三角形内切圆,其半径为1/2,一样依据几何概率,要使弦长大于 ,当且仅当弦中点在内切圆内(或者该弦中点到圆心距离小于1/2)。从而,其概率为第24页 分析分析3:因为弦中点必在某直径上,故考虑中点落在某直径上弦,则弦长大于当且仅当弦中点位于直径中段,由几何概率知其概率为1/2。同一个问题,有三种不一样答案!这就是著名“贝特朗”悖论。你能用概率论知识解释这种看似“矛盾”其实一点也不矛盾现象吗?第25页4、报童问题、报童问题 某报童以每份0.3元价格买进报纸,以0.5元价格出售。依据长久
12、统计,报纸天天销售量及百分率为销售量200210220230240250百分率0.080.160.300.250.160.05第26页已知当日销售不出去报纸,将以每份0.2元价格退还报社。试确定报童天天买进报纸数量,使报童平均总收入最大?这类问题即著名“报童问题”,这类问题有较强理论和实用价值,至今仍有许多学者研究。下面给出一个简单报童问题,有兴趣同学能够用数学期望知识求解。第27页 某电器经销商,一个月卖出电冰箱数X是一个随机变量,其分布为 。已知卖出一台赢利300元,滞销一台需保养费100元。问该电器商月初应该买进多少台,才使月平均收益最大。第28页随机模拟与随机模拟与Monte Carl
13、o方法方法 在现实生活中存在许多随机现象,研究随机现象通常采取概率统计方法。但有些随机问题比较复杂,极难用概率论中解析理论加以处理。此时能够用计算机对随机现象进行模拟,这种方法称为随机模拟方法或称为Monte Carlo方法。在数学建模中,Monte Carlo方法除了能够用于求解随机模型外,还可用于仿真和检第29页验模型正确性,是数学建模中必须掌握十大算法之一。一、模拟概念一、模拟概念 模拟就是利用物理、数学模型来类比、模仿现实系统及其演变过程,以寻求过程规律一个方法。模拟基本思想是建立一个试验模型,这个模型包含所研究系统主要特点。经过对这个试验模型运行,取得所要研究第30页系统必要信息。二
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