五讲神秘的无穷与三次数学危机市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第五讲第五讲 神秘无穷与三次数学危机神秘无穷与三次数学危机1第1页目录一、一、“有没有限个房间有没有限个房间”Hilbert旅馆旅馆二、无限与有限区分和联络二、无限与有限区分和联络三、悖论（三、悖论（paradox）四、四、数学中无限在生活中反应数学中无限在生活中反应五、五、潜无限与实潜无限与实无限无限六哲学中无限六哲学中无限七、无穷与数学危机七、无穷与数学危机2第2页1.“客满客满”后又来后又来1位客人位客人（“客满客满”）1234 k 2345 k+1 空出了空出了1 1号房间号房间 一、一、“有没有限个房间有没有限个房间”Hilbert旅馆旅馆3第3页2.客客 满满 后后 又又 来来 了了 一一 个个 旅旅 游游 团团，旅旅 游游 团团中有没有穷个客人中有没有穷个客人 1234 k 2468 2k 空下了奇数号房间空下了奇数号房间 4第4页3.客满后又来了一万个旅游团，客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有没有穷个客人每个团中都有没有穷个客人1234 k 1000123000340004 10001k 给出了一万个、又一万个空房间给出了一万个、又一万个空房间 5第5页是否有些人想提什么问题？是否有些人想提什么问题？6第6页4.思思 该旅馆客满后又来了无穷个旅该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有没有穷个客人，还游团，每个团中都有没有穷个客人，还能否安排？能否安排？“无穷大！任何一个其它问题都不曾如此深刻地影响人类精神；任何一个其它观点都不曾如此有效地激励人类智力；然而，没有任何概念比无穷大更需要澄清”-Hilbert7第7页二、无限与有限区分和联络二、无限与有限区分和联络 1.区分区分 1 1）在无限集中，在无限集中，“部分能够等于全体部分能够等于全体”（这是无限本质），而在有限情况下，（这是无限本质），而在有限情况下，部部分总是小于全体。分总是小于全体。8第8页当初当初伽利略悖论伽利略悖论，就是因为没有看到，就是因为没有看到 “无限无限”这一个特点而产生。这一个特点而产生。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 n2 该两集合：有一一对应，于是推出两集合元该两集合：有一一对应，于是推出两集合元素个数相等；但由素个数相等；但由“部分小于全体部分小于全体”，又推出，又推出两集合元素个数不相等。这就形成悖论。两集合元素个数不相等。这就形成悖论。9第9页 思思：结构一个结构一个“部分到整体一一部分到整体一一对应对应”：从：从0 0，1 1）00，+）。）。10第10页2.2.）“有限有限”时成立许多命题，对时成立许多命题，对“无限无限”不再成立不再成立 （1 1）实数加法结合律）实数加法结合律 在在“有限有限”情况下，加法结合律情况下，加法结合律 成立成立:(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)，a a，b b，c c 11第11页 在在“无限无限”情况下，加法结合律不再情况下，加法结合律不再成立。如成立。如12第12页（2 2）有限级数一定有）有限级数一定有“和和”。是个确定数是个确定数 无穷级数一定有无穷级数一定有“和和”。则不是个确定数。称为该则不是个确定数。称为该 级数级数“发散发散”。反之称为。反之称为“收敛收敛”。13第13页 2.2.联络联络在在“有限有限”与与“无限无限”间建立联络伎俩，往往间建立联络伎俩，往往很主要。很主要。1）数学归纳法）数学归纳法 经过有限步骤，证实了命题经过有限步骤，证实了命题对无限个自然数均成立。对无限个自然数均成立。2）极限）极限 经过有限方法，描写无限过程。经过有限方法，描写无限过程。如：如：；自然数自然数N N，都，都 ，使，使 时，时，。14第14页 0.99999=1?3）无穷级数）无穷级数 经过有限步骤，求出无限次运算结果，如 4）递推公式）递推公式 ,a a1 1=*=*有一个著名例子：有一个著名例子：兔子永远追不上乌龟，箭永远射不上靶子。结果即使可笑，但在兔子永远追不上乌龟，箭永远射不上靶子。结果即使可笑，但在逻辑上却耐人寻味，这就是著名二分法悖论。逻辑上却耐人寻味，这就是著名二分法悖论。15第15页三、悖论（paradox）悖论（paradox）详细是指：由一个被认可是真命题为前提，设为B，进行正确逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。1说谎者悖论：最早见新约全书说谎者悖论：最早见新约全书提多书提多书“我正在说谎”16第16页2.“外祖母悖论外祖母悖论”，我会穿梭时空，回到过去，把我自己外祖母杀了。我外祖母没了，我妈就没了，我也就没了。而我没了，就没有些人杀我外祖母，我外祖母就不会死，那我又有了。而有了我，外祖母就没了，我也就没了这就是悖论，自己与自己就有矛盾。17第17页3.“说谎者循环”：A说：“下面是句谎话。”B说：“上面是句真话。”18第18页4、芝诺悖论、芝诺悖论-由无限引出由无限引出芝诺（前490？前430？）是（南意大利）爱利亚学派创始人巴门尼德学生。他企图证实该学派学说：“多”和“变”是虚幻，不可分“一”及“静止存在”才是唯一真实；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出。我们从数学角度看其中一个悖论。19第19页1）两分法向着一个目标地运动物体，首先必须经过旅程中点；然而要经过这点，又必须先经过旅程四分之一点；要过四分之一点又必须首先经过八分之一点等等，如这类推，以至无穷。结论是：无穷是不可穷尽过程，运动永远不可能开始。20第20页2）阿基里斯阿基里斯(Achilles)悖论悖论：阿基里斯追不上乌龟。阿基里斯追不上乌龟。21第21页3）飞矢不动悖论）飞矢不动悖论一支飞行箭是静止：因为每一时刻这支箭都有其确定位置因而是静止，所以箭就不能处于运动状态。22第22页4）“操场或游行队伍”A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止C看来，比如说，A、B都在1小时内移动了2公里；可是，从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。因为B保持等速移动，所以移动2公里时间应该是移动4公里时间二分之一。因而二分之一时间等于两倍时间。23第23页症结：症结：无限段长度和，可能是有限；无限段长度和，可能是有限；无限段时间和，也可能是有限。无限段时间和，也可能是有限。芝诺悖论意义：芝诺悖论意义：1）促进了严格、求证数学发展）促进了严格、求证数学发展 2）较早）较早“反证法反证法”及及“无限无限”思想思想 3）尖锐地提出离散与连续矛盾：）尖锐地提出离散与连续矛盾：空间和时间有没有最小单位？空间和时间有没有最小单位？24第24页 芝诺前两个悖论是反对芝诺前两个悖论是反对“空间和时间是连续空间和时间是连续”，后两个悖论则是反对，后两个悖论则是反对“空间和时间是离散空间和时间是离散”；第一、第三反对绝对运动，而第二、第四，反；第一、第三反对绝对运动，而第二、第四，反对相对运动。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；对相对运动。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，所以，“运动只是假象，不动不变才是真实运动只是假象，不动不变才是真实”。芝诺哲学观点即使不对，不过，他如此尖锐芝诺哲学观点即使不对，不过，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散问题，引发地提出了空间和时间是连续还是离散问题，引发人们长久讨论，促进了认识发展，不能不说是巨人们长久讨论，促进了认识发展，不能不说是巨大贡献。大贡献。25第25页http:/ 四、四、数学中无限在生活中反应数学中无限在生活中反应 1 1）大烟囱是圆：每一块砖都是直）大烟囱是圆：每一块砖都是直 （整体看又是圆）（整体看又是圆）2 2）锉刀锉一个光滑零件：）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下去都是直每一锉锉下去都是直 （许多刀合在一起效果又是光滑）（许多刀合在一起效果又是光滑）27第27页 3 3）不规则图形面积：正方形面积，长方形面积三不规则图形面积：正方形面积，长方形面积三角形面积，多边形面积，圆面积。角形面积，多边形面积，圆面积。规则图形面积规则图形面积不规则图形面积？不规则图形面积？法法.用方格套（想像成透明）。方格越小，所得面积用方格套（想像成透明）。方格越小，所得面积越准越准 28第28页 法法.首先转化成求曲边梯形面积，（不规则首先转化成求曲边梯形面积，（不规则图形图形若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形面若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形面积：划分，求和，积：划分，求和，矩形面积之和矩形面积之和 曲边梯形面积；曲边梯形面积；越小，就越准确；再取极越小，就越准确；再取极 限限 ，就得到曲，就得到曲边梯形面积。边梯形面积。29第29页 五、五、潜无限与实无限潜无限与实无限 1潜无限与实无限简史潜无限与实无限简史 潜无限是指把无限看成一个永无终止过程，潜无限是指把无限看成一个永无终止过程，认为无限只存在于人们思维中，只是说话一个方认为无限只存在于人们思维中，只是说话一个方式，不是一个实体。式，不是一个实体。30第30页从古希腊到康托以前大多数哲学家和数学从古希腊到康托以前大多数哲学家和数学家都持潜无限观点家都持潜无限观点他们认为他们认为“正整数集是无限正整数集是无限”来自我们不能穷举全来自我们不能穷举全部正整数。比如，能够想象一个个正整数写在一张部正整数。比如，能够想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从张小纸条上，从1 1，2 2，3 3，写起，每写一张，就把写起，每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。终止。所以，把全体正整数袋子看作一个实体是不所以，把全体正整数袋子看作一个实体是不可能，它只能存在于人们思维里。可能，它只能存在于人们思维里。亚里士多德只认可潜无限：不认可直线式由点组成亚里士多德只认可潜无限：不认可直线式由点组成高斯反对实无限：反对把无穷量作为现实实体，认高斯反对实无限：反对把无穷量作为现实实体，认为无限只不过是一个说话方式为无限只不过是一个说话方式31第31页康托集合论与实无限康托集合论与实无限但康托不一样意这一观点，他很愿意把这个装有全部正整数袋子看作一个完整实体。这就是实无限观点。康托工作是划时代，对当代数学产生了巨大影响，但当初，康托老师克罗内克尔，却激烈反对康托观点。所以康托当初处境和待遇都不太好。因为康托尔无穷学说从根本上否定了“整体大于部分”观念，而且他在无限王国走得如此远，以至于同时代数学家和哲学家都不能了解他观点，惧怕集合论。有些人说，康托尔集合论是一个“疾病”，康托尔概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。191月6日，康托尔在一家精神病院逝世。康托无穷集合论也造成了第三次数学危机。32第32页康托GeorgFerdinandPhilipCantor(18451918)德国数学家，集合论创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），191月6日病逝于哈雷。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）魏尔斯特拉斯。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面论文获博士学位。后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。33第33页实无限、潜无限只是一个硬币两个面两种无穷思想经历了此消彼长，两种无限在当代数学中都是有用武之地。微积分采取潜无限，非标准分析采取实无限无穷本身是一个矛盾体，既是一个需无穷迫近过程，也是一个可供研究实体Hilbert认为：无穷是一个永恒之谜，无穷是人类心情宁静最大敌人34第34页 六哲学中无限六哲学中无限 1哲学对哲学对“无限无限”兴趣兴趣 哲学是研究整个世界科学。自从提出哲学是研究整个世界科学。自从提出“无限无限”概念，就引发了哲学家广泛关注和研究。现在概念，就引发了哲学家广泛关注和研究。现在我们知道哲学中有下边一些命题：我们知道哲学中有下边一些命题：35第35页 物质是无限；时间与空间是无限；物物质是无限；时间与空间是无限；物质运动形式是无限。质运动形式是无限。一个人生命是有限；一个人对一个人生命是有限；一个人对 客观世界认识是有限。客观世界认识是有限。36第36页无限可分与原子论很多思想家都研究过无穷大。古希腊哲学家们就一条线段(或者就任何数量而言)，是不是可无限地被分割，或者说是不是能够最终得到一个不可分割点(即“原子”)等问题，展开了无休止争论。他们当代追随者物理学家们今天依然还在设法处理同一个问题，他们使用巨大粒子加速器寻找“基本粒子”那些组成整个宇宙基本砖块。天文学家一直在从另一个极端无限辽阔尺度上思索着无穷大问题。我们宇宙真像它所展现在晴朗黑夜那样无穷无尽，或是它有一个边界(在这个边界之外什么东西也不存在)吗？有限宇宙可能性似乎是对我们常识一个挑战。我们能够在任何方向上一直走下去而永远也到不了“边”，这个事实不是很清楚吗？不过我们将不难看出，当研究无穷大时，“常识”是一个非常差劲向导！37第37页2数学对数学对“无限无限”观点贡献观点贡献数学则更严密地研究有限与无限关系，大大提升了数学则更严密地研究有限与无限关系，大大提升了人类认识无限能力。在有限环境中生存有限人类，取得人类认识无限能力。在有限环境中生存有限人类，取得把握无限能力和技巧，那是人类智慧；在取得这些结果把握无限能力和技巧，那是人类智慧；在取得这些结果过程中表达出来奋斗与热情，那是人类情感；对无限认过程中表达出来奋斗与热情，那是人类情感；对无限认识结果，则是人类智慧与热情共同结晶。一个人，若把识结果，则是人类智慧与热情共同结晶。一个人，若把自己智慧与热情融入数学学习和数学研究之中，就会产自己智慧与热情融入数学学习和数学研究之中，就会产生一个尤其感受。假如这么，数学学习不但不是难事，生一个尤其感受。假如这么，数学学习不但不是难事，而且会充满乐趣。而且会充满乐趣。38第38页 抢答题抢答题 结构一个无穷多个运动员百米结构一个无穷多个运动员百米赛跑，但结果没有第一名例子。（要求表赛跑，但结果没有第一名例子。（要求表示出每一个运动员百米成绩，且要求靠近示出每一个运动员百米成绩，且要求靠近实际：不能跑进实际：不能跑进9 9秒）秒）39第39页解答运动员1234百米成绩10秒9.9秒9.89秒9.889秒另解40第40页七、无穷与数学危机七、无穷与数学危机 数学史上有过三次数学危机，它们都与无数学史上有过三次数学危机，它们都与无穷相关，也与人们对无穷认识相关。穷相关，也与人们对无穷认识相关。我们已经讨论过第一次与第二次数学危机我们已经讨论过第一次与第二次数学危机 第一次数学危机要害是不认识无理数，而第一次数学危机要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数无理数是无限不循环小数41第41页 第二次数学危机要害，是极限理论逻辑基第二次数学危机要害，是极限理论逻辑基础不完善，而极限正是础不完善，而极限正是“有穷过渡到无穷有穷过渡到无穷”主要伎俩。贝克莱责难，也集中在主要伎俩。贝克莱责难，也集中在“无穷小无穷小量量”上。上。因为无穷与有穷有本质区分，所以，极限因为无穷与有穷有本质区分，所以，极限严格定义，极限存在性，无穷级数收敛性，严格定义，极限存在性，无穷级数收敛性，这么一些理论问题就显得尤其主要。这么一些理论问题就显得尤其主要。42第42页第三次数学危机第三次数学危机 1“数学基础数学基础”曙光曙光集合论集合论 到到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何出现使几何理论愈加扩展和完善；实数理论（和极出现使几何理论愈加扩展和完善；实数理论（和极限理论）出现使微积分有了牢靠基础；群理论、算限理论）出现使微积分有了牢靠基础；群理论、算术公理出现使算术、代数逻辑基础更为明晰，等等。术公理出现使算术、代数逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学基础在哪里？正在人们水到渠成地思索：整个数学基础在哪里？正在这时，这时，19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学基础。合论有可能成为整个数学基础。43第43页 其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成图形为对象。同时，用集合论语言，算术对象可说图形为对象。同时，用集合论语言，算术对象可说成是成是“以整数、分数等组成以整数、分数等组成集合集合”；微积分对象可；微积分对象可说成是说成是“以函数等组成以函数等组成集合集合”；几何对象可说成是；几何对象可说成是“以点、线、面等组成以点、线、面等组成集合集合”。这么一来，。这么一来，都是以都是以集合为对象集合为对象了。了。集合成了更基本概念。集合成了更基本概念。44第44页于是，集合论似乎给数学家带来了曙光：可能会一劳永逸地摆脱“数学基础”危机。尽管集合论本身相容性还未证实，但许多人认为这只是时间问题。庞加莱甚至在19巴黎国际数学家大会上宣称：“借助集合论概念，我们能够建造整个数学大厦今天，我们能够说绝正确严格性已经到达了”45第45页 2算术集合论基础算术集合论基础 1）人人们们按按以以下下逻逻辑辑次次序序把把全全部部数数学学基基础础归归结结为为算算术术，即即归归结结为为非非负负整整数数，即即自自然然数数集集合合加加上上0现现在在我我国国中中小小学学就就把把这这一一集集合合称为自然数集合。称为自然数集合。（算术）非负整数（算术）非负整数n有理数有理数 实数实数 复数复数 图形图形46第46页 所以，全部数学似乎都可归结为非负整数了，所以，全部数学似乎都可归结为非负整数了，或者说，或者说，全部数学都能够归结为算术了。全部数学都能够归结为算术了。这么，假如能把算术建立在集合论基础上，就这么，假如能把算术建立在集合论基础上，就相当于处理了整个相当于处理了整个“数学基础数学基础”问题。问题。法国数学家、数理逻辑先驱法国数学家、数理逻辑先驱弗雷格弗雷格（G.Frege,18481925）就做了这么工作。他写了）就做了这么工作。他写了一本名叫一本名叫算术基础算术基础书。书。47第47页弗雷格弗雷格算术基础算术基础48第48页 2)弗雷格算术基础弗雷格算术基础 为了使算术建立在集合论基础上，全部为了使算术建立在集合论基础上，全部非负整数，都需要用集合论观点和语言重新非负整数，都需要用集合论观点和语言重新定义。定义。首先从首先从0说起。说起。0是什么？是什么？应该先回答应该先回答0是什么，然后才有表示是什么，然后才有表示“0”符号。符号。49第49页 为为此此，先先定定义义“空空集集”。空空集集是是“不不含含元元素素集集合合”。比比如如，“方方 程程 在在 实实数数 集集 中中 根根 集集 合合”就就 是是 一一 个个 空空 集集，再再 例例如如“由由 最最 大大 正正 整整 数数 组组 成成 集集 合合”也也 是是 一一 个个空集。空集。50第50页 全部空集放在一起，作成一个集合集合全部空集放在一起，作成一个集合集合，（为说话简单我们把（为说话简单我们把“集合集合集合集合”称作类），称作类），这个类，就能够给它一个符号：这个类，就能够给它一个符号：0，中国人念，中国人念“ling”，英国人念，英国人念“Zero”。空集是空，但由全部空集组成类，它本身空集是空，但由全部空集组成类，它本身却是一个元素了，即，却是一个元素了，即，0是一个元素了。由它是一个元素了。由它再作成一个集合再作成一个集合0，则不是空集了。，则不是空集了。51第51页 弗雷格再定义两个集合间弗雷格再定义两个集合间双射双射：既是满射又是单：既是满射又是单射映射叫作双射，也称射映射叫作双射，也称可逆映射可逆映射；通俗地说，就是；通俗地说，就是存在逆映射映射。它能够在两个集合间往返地映射，存在逆映射映射。它能够在两个集合间往返地映射，所以普通称为所以普通称为“双射双射”。弗雷格再定义弗雷格再定义两个集合两个集合“等价等价”：，能够在其间建立双射两个集合能够在其间建立双射两个集合A、B称为称为“等价等价”。52第52页 下边能够定义下边能够定义“1”了。把了。把与集合与集合0等价等价全部集合放在一起，作成一个集合集合。这全部集合放在一起，作成一个集合集合。这个类，就能够给它一个符号：个类，就能够给它一个符号：1。再定义再定义“2”。把。把与集合与集合0，1等价全部等价全部集合放在一起，作成一个集合集合。这个类，集合放在一起，作成一个集合集合。这个类，就叫：就叫：2。然后，把然后，把与与0，1，2等价集合作成类，等价集合作成类，叫：叫：3。53第53页 普普 通通 地地，在在 有有 了了0，1，2，n定定义义后后，就就把把全全部部与与 集集 合合0，1，2，n 等等 价价 集集 合合 放放 在在 一一 起起，作作 成成 集集 合合 集集合，这么类，定义为：合，这么类，定义为：n+1。这这 种种 定定 义义 概概 念念 方方 法法，叫叫 作作“归归 纳纳 定定义义”方法。方法。54第54页 这这么么，弗弗雷雷格格就就从从空空集集出出发发，而而仅仅仅仅用用 到到集集 合合及及集集 合合 等等 价价概概 念念，把把全全部部非非负负整整数数定定义义出出来来了了。于于是是依依据据上上边边说说“可可以以把把全全部部数数学学归归结结为为非非负负整整数数”，就就能能够够说说，全全部部数数学学能能够够建建立立在在集集合合论论基基础础上上了。了。55第55页 3 罗素罗素“集合论悖论集合论悖论”引发危机引发危机 1）悖论引发震憾和危机悖论引发震憾和危机 正正 当当 弗弗 雷雷 格格 即即 将将 出出 版版 他他 算算 术术 基基础础 一一 书书 时时 候候，罗罗 素素 集集 合合 论论 悖悖 论论 出出 来来了了。这这 也也 是是 庞庞 加加 莱莱 宣宣 告告“完完 全全 严严 格格 数数 学学已已经经建建立立起起来来！”之之后后刚刚才才两两年年，即即1902年。年。56第56页 伯特兰伯特兰罗素（罗素（1872-1970）Russell,BertrandArthurWilliam(ThirdEarlRussell)出生年月：1872-1970国籍：英国学科成就：学科成就：英国著名哲学家、数学家、逻辑学家，分析学主要创始人，世界和平运动提倡者和组织者。所获奖项：1950年诺贝尔文学奖。罗素罗素57第57页 集合论中竟然有逻辑上矛盾！集合论中竟然有逻辑上矛盾！倾倾 刻刻 之之 间间，算算 术术 基基 础础 动动 摇摇 了了，整整 个个数数 学学 基基 础础 似似 乎乎 也也 动动 摇摇 了了。这这 一一 动动 摇摇 所所 带带来来 震震 憾憾 是是 空空 前前。许许 多多 原原 先先 为为 集集 合合 论论 兴兴高高 采采 烈烈 数数 学学 家家 发发 出出 哀哀 叹叹：我我 们们 数数 学学 就就是建立在这么基础上吗？是建立在这么基础上吗？罗罗 素素 悖悖 论论 引引 发发 危危 机机，就就 称称 为为 第第 三三 次次数学危机。数学危机。58第58页 罗罗 素素 把把 他他 发发 觉觉 悖悖 论论 写写 信信 告告 诉诉 弗弗 雷雷格格。弗弗 雷雷 格格 在在 他他 算算 术术 基基 础础 一一 书书 末末尾尾 无无 可可 奈奈 何何 地地 写写 道道：“一一 个个 科科 学学 家家 碰碰 到到最最 不不 愉愉 快快 事事 莫莫 过过 于于，当当 他他 工工 作作 完完 成成时时，基基础础崩崩塌塌了了。当当本本书书即即将将印印刷刷时时，罗罗素素 先先 生生 一一 封封 信信 就就 使使 我我 陷陷 入入 这这 么么 尴尴 尬尬 境境地。地。”59第59页狄德金(Dedekind)原来打算把连续性及无理数第3版付印，这时也把稿件抽了回来。发觉拓扑学中“不动点原理”布劳恩(Brouwer)也认为自己过去做工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。60第60页 2）罗素悖论罗素悖论 在在叙叙述述罗罗素素悖悖论论之之前前,我我们们先先注注意意到到下下 边边 事事 实实：一一 个个 集集 合合 或或 者者 是是 它它 本本 身身 成成员员(元元 素素),或或者者不不是是它它本本身身组组员员(元元 素素)，二二者者必必居居其其一一。罗罗素素把把前前者者称称为为“异异 常常 集集合合”，把后者称为，把后者称为“正常集合正常集合”。61第61页 比如比如,全部抽象概念集合，本身还是抽象概念。全部抽象概念集合，本身还是抽象概念。即，它是这一集合本身元素，所以是即，它是这一集合本身元素，所以是“异常集合异常集合”。不过，全部些人集合，不是人，即，它不是这一集合不过，全部些人集合，不是人，即，它不是这一集合本身元素，所以是本身元素，所以是“正常集合正常集合”。再比如，全部集合集合，本身还是集合，即，它再比如，全部集合集合，本身还是集合，即，它是这一集合本身元素，所以是是这一集合本身元素，所以是“异常集合异常集合”。不过，。不过，全部星星集合不是星星，即，它不是这一集合本身元全部星星集合不是星星，即，它不是这一集合本身元素，所以是素，所以是“正常集合正常集合”。62第62页罗素当年例子罗素当年例子“异常集合异常集合”1：不多于不多于29个字母表示句子所组成集合个字母表示句子所组成集合“异常集合异常集合”2：不是麻雀东西所组成集合不是麻雀东西所组成集合63第63页 罗罗素素悖悖论论是是：以以 表表示示“是是其其本本身身组组员员全全部部集集合合集集合合”（全全部部异异常常集集合合集集合合），而而 以以 表表 示示“不不是是它它本本身身组组员员全全部部集集合合集集合合”（全全部部正正常常集集合合集集合合），于于是是任任一一集集合合或或者者属属于于 ，或或者者属属于于 ，二二者者必必居居其其一一，且且只只居居其其一一。然然后后问问：集集合合 是是否否是是它它本本身身组员？（集合组员？（集合 是否是异常集合？）是否是异常集合？）64第64页 假如假如 是它本身组员，则按是它本身组员，则按 及及 定定义，义，是是 组员，而不是组员，而不是 组员，即组员，即 不不是它本身组员，这与假设矛盾。即是它本身组员，这与假设矛盾。即 假如假如 不是它本身组员，则按不是它本身组员，则按 及及 定义，定义，是是 组员，而不是组员，而不是 组员，即组员，即 是它本身组员，这又与假设矛盾。即是它本身组员，这又与假设矛盾。即 悖论在于：悖论在于：不论哪一个情况，都得出矛盾。不论哪一个情况，都得出矛盾。65第65页 罗素悖论通俗化罗素悖论通俗化“剪发师悖论剪发师悖论”：某村一个：某村一个剪发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸人刮剪发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸人刮脸。问：剪发师是否给自己刮脸？脸。问：剪发师是否给自己刮脸？假如他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸人，假如他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸人，按宣称标准，剪发师不应该给他自己刮脸，这与假设按宣称标准，剪发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。假如他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己矛盾。假如他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸，按宣称标准，剪发师应该给他自己刮脸，这又刮脸，按宣称标准，剪发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。与假设矛盾。66第66页 4 危机消除危机消除 危机出现以后，包含罗素本人在内许多数学家危机出现以后，包含罗素本人在内许多数学家作了巨大努力来消除悖论。当初消除悖论选择有两作了巨大努力来消除悖论。当初消除悖论选择有两种，一个是种，一个是抛弃抛弃集合论，再寻找新理论基础，另一集合论，再寻找新理论基础，另一个是分析悖论产生原因，个是分析悖论产生原因，改造改造集合论，探讨消除悖集合论，探讨消除悖论可能。论可能。人们选择了后一条路，希望在消除悖论同时，人们选择了后一条路，希望在消除悖论同时，尽可能把原有理论中有价值东西保留下来。尽可能把原有理论中有价值东西保留下来。67第67页 这种选择理由是，原有康托集合论即使简明，这种选择理由是，原有康托集合论即使简明，但并不是建立在明晰公理基础之上，这就留下了处但并不是建立在明晰公理基础之上，这就留下了处理问题余地。理问题余地。罗素等人分析后认为，这些悖论共同特征（悖罗素等人分析后认为，这些悖论共同特征（悖论实质）是论实质）是“自我指谓自我指谓”。即，。即，一个待定义概念，一个待定义概念，用了包含该概念在内一些概念来定义用了包含该概念在内一些概念来定义，造成恶性循，造成恶性循环。环。比如，悖论中定义比如，悖论中定义“不属于本身集合不属于本身集合”时，包时，包括到括到“本身本身”这个待定义对象。这个待定义对象。（再如（再如“本句话是七个字本句话是七个字”）68第68页 为为了了消消除除悖悖论论，数数学学家家们们要要将将康康托托“朴朴素素集集合合论论”加加以以公公理理化化；而而且且要要求求构构造造集集合合标标准准，比比如如，不不允允许许出出现现“全全 部部集集合合集集合合”、“一一切切属属于于本本身身集集合合”这这样集合。样集合。危机处理69第69页“非断言”定义方式上面每一个悖论都包括一个集合S和S一个组员M(既M是靠S定义)。这么一个定义被称作是“非断言”，而非断言定义在某种意义上是循环。比如，考虑罗素剪发师悖论：用M标志剪发师，用S标示全部组员集合，则M被非断言地定义为“S给而且只给不自己刮胡子人中刮胡子那个组员”。此定义循环性质是显然剪发师定义包括全部组员，而且剪发师本身就是这里组员。所以，不允许有非断言定义便可能是一个处理集合论己知悖论方法。然而，对这种处理方法，有一个严重责难，即包含非断言定义那几部分数学是数学家很不愿丢弃。70第70页19，策梅洛（E.F.F.Zermelo,18711953）提出了由7条公理组成集合论体系，称为Z-系统。1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论ZF-系统。再以后，还有改进ZFC-系统。这么，大致完成了由朴素集合论到公理集合论发展过程，悖论消除了。71第71页 当代公理集合论大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能当代公理集合论大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连。把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连。不过，新系统相容性还未证实。所以，庞加莱在策梅洛公理不过，新系统相容性还未证实。所以，庞加莱在策梅洛公理化集合论出来后很快，形象地评论道：化集合论出来后很快，形象地评论道：“为了防狼，羊群已经为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼”。数学确实定性在一步一步地丧失。数学确实定性在一步一步地丧失。这就是说，第三次数学这就是说，第三次数学危机处理，并不是完全令人满意。危机处理，并不是完全令人满意。第三次危机表面上处理了实质上更深刻地以其它形式延续第三次危机表面上处理了实质上更深刻地以其它形式延续 72第72页5无限集合也有无限集合也有“大小大小”从从“一一对应一一对应”说起说起 实无限观点让我们知道，一样是无限集合，也可能有实无限观点让我们知道，一样是无限集合，也可能有不一样不一样“大小大小”。正整数集合是最正整数集合是最“小小”无限集合。无限集合。实数集合比正整数集实数集合比正整数集“大大”。实数集合上全体连续函。实数集合上全体连续函数集合又比实数集合更大。数集合又比实数集合更大。不存在最不存在最“大大”无限集合（即对于任何无限集合，都无限集合（即对于任何无限集合，都能找到更能找到更“大大”无限集合）。无限集合）。73第73页 这需要这需要“一一对应一一对应”观点。观点。1 1）“一一对应一一对应”双射（单射双射（单射+满射）满射）2 2）集合势）集合势|A|A|集合中元素多少集合中元素多少 3 3）|N|=|N|=可数无穷势可数无穷势 ，|Q|=|Q|=4 4）|R|=|R|=不可数无穷（称连续统势不可数无穷（称连续统势 ）,无理数比有理数多得多。无理数比有理数多得多。74第74页 5 5）无穷集合可能有不一样势，其中最小势是）无穷集合可能有不一样势，其中最小势是 ；不存在最大势。；不存在最大势。6 6）“连续统假设连续统假设”长久未彻底处理长久未彻底处理 “连续统假设连续统假设”：可数无穷：可数无穷 是无限集中最小势，是无限集中最小势，连续统势连续统势 是（否？）次小势。是（否？）次小势。75第75页 康康 托托1 18 88 82 2年年曾曾认认为为他他证证实实了了这这一一假假 设，以后发觉证实有错。设，以后发觉证实有错。直到现在，这一问题仍吸引着一些数学家直到现在，这一问题仍吸引着一些数学家兴趣。兴趣。76第76页HIlbert23个问题中NumberOne连续统猜测是著名Hilbert23个问题第一个1938年，奥地利数学家、逻辑学家和哲学家哥德尔（KurtGdel，19061978），证实标准集合论与连续统假设是一致、不矛盾。1963年，美国数学家保罗科恩(P.Cohen)证实，若否定连续统假设，也不与集合论矛盾。77第77页非康托集合论1962年之前科恩主要工作是在调和分析方面，19591960年，他做出出色工作，取得美国数学会1964年度Bocher奖。这是美国在分析方面最高奖，是个了不起荣誉。可是，这时他已转向另一领域并取得更大成就：在1963年证实连续统假设独立性，这时离他转行还不到一年。因为这个成就相当于在数学中建立了非欧几何非康托尔集合论，从而荣誉纷至沓来：除了荣获菲尔兹奖之外，科恩还在1967年被选为美国国家科学院院士，同年荣获总统颁发国家科学奖章。78第78页 6.第三次数学危机与第三次数学危机与“无穷无穷”联络联络认可无穷集合，认可无穷基数，就好像一切灾难都认可无穷集合，认可无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机实质出来了，这就是第三次数学危机实质！第三次数学危机直接起源，是第三次数学危机直接起源，是“全部不属于本身集全部不属于本身集合合”这么界定集合说法有毛病。但关键是包括到无这么界定集合说法有毛病。但关键是包括到无穷多个集合，人们犯了穷多个集合，人们犯了“自我指谓自我指谓”、恶性循环错、恶性循环错误。误。因为人们习惯于有穷，习惯于有穷情况下思维，所因为人们习惯于有穷，习惯于有穷情况下思维，所以以一旦碰到无穷时，要格外地小心；而高等数学则一旦碰到无穷时，要格外地小心；而高等数学则是经常与无穷打交道。是经常与无穷打交道。79第79页本节结束本节结束谢谢！80第80页