五节隐函数求导法则市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第五节第五节 隐函数求导法则隐函数求导法则一、一个方程情形一、一个方程情形二、方程组情形二、方程组情形三、由方程组确定反函数求导三、由方程组确定反函数求导 公式公式第1页隐函数存在定理1 设函数在点某一邻域内含有连续偏导数，且则方程在点某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且含有连续导数函数)(xfy=，它满足条件并有 .隐函数求导公式一、一个方程情形第2页解解令令则则例例验证方程验证方程在点在点某邻某邻域内能唯一确定一个单值可导、且域内能唯一确定一个单值可导、且时时隐函数隐函数，并求这函数一阶和二阶导，并求这函数一阶和二阶导数在数在值值.依定理知方程依定理知方程在点在点某邻域某邻域内能唯一确定一个单值可导、且内能唯一确定一个单值可导、且时时函数函数第3页函数一阶和二阶导数为函数一阶和二阶导数为第4页 .解解令令则则例例2 2已知已知求求第5页隐函数存在定理2 设函数在点某一邻域内含有连续偏导数，且则方程在点某一邻域内恒能唯一确定一个，它满足条件 单值连续且含有连续偏导数函数 并有：第6页解解令令则则 .例例3 3 设设，求，求第7页解解令令则则思绪：思绪：把把z看成看成yx,函数对函数对x求偏导数得求偏导数得，把把x看成看成yz,函数对函数对y求偏导数得求偏导数得，把把y看成看成zx,函数对函数对z求偏导数得求偏导数得.例例4 4 设设，求，求，.第8页把把z看成看成yx,函数对函数对x求偏导数得求偏导数得整理得整理得把把x看成看成yz,函数对函数对y求偏导数得求偏导数得第9页整理得整理得把把y看成看成zx,函数对函数对z求偏导数得求偏导数得整理得整理得第10页隐函数存在定理3 3 设在点某一邻域内有对各个变量连续偏导数，且,，且偏导数所组成函数行列式（或称雅可比式）,二、方程组情形第11页在点不等于零，则方程组 在点某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且含有连续偏导数函数，它们满足条件,，并有第12页第13页解解1 1直接代入公式；直接代入公式；解解2 2利用公式推导方法，利用公式推导方法，求求，和和.例例5 5 设设，将所给方程两边对将所给方程两边对 求导并移项求导并移项第14页将所给方程两边对将所给方程两边对 求导，用一样方法得求导，用一样方法得在在条件下，条件下，第15页定理定理4 4设函数，在点设函数，在点某邻域内连续且有连续偏导数，又某邻域内连续且有连续偏导数，又，则该方程组在某一邻域内唯一确定则该方程组在某一邻域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数反函数一组单值连续且有连续偏导数反函数三、由方程组确定反函数求导公式第16页且有且有其中其中第17页例例6 6设设，求，求解解两边对求导，得两边对求导，得因为因为第18页所以所以第19页