人大版微积分LHospital法则市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

微积分莫兴德莫兴德广西大学广西大学数信学院数信学院Email:微微 积积 分分第1页微积分链接目录第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章 中值定理,导数应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数(不要求不要求)第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习第2页微积分参考书参考书1赵树嫄赵树嫄.微积分微积分.中国人民出版社中国人民出版社2同济大学同济大学.高等数学高等数学.高等教育出版高等教育出版社社第3页微积分第四章第四章 L.Hospital法则法则第4页微积分L.Hospital法则法则 在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小或都是无穷大时，两个函数之比极限可能存在也可能或都是无穷大时，两个函数之比极限可能存在也可能不存在，即使极限存在也不能用不存在，即使极限存在也不能用“商极限等于极限商商极限等于极限商”这一运算法则。这种极限称为未定式这一运算法则。这种极限称为未定式 本节我们就利用本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式中值定理来建立求未定式极限极限L.Hospital法则，利用这一法则，能够直接求法则，利用这一法则，能够直接求这两种基本未定式极限，也可间接求出这两种基本未定式极限，也可间接求出等其它类型未定式极限等其它类型未定式极限第5页微积分定义定义比如比如,第6页微积分定理定理定义定义 这种在一定条件下经过分子分母分别求导再这种在一定条件下经过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值方法称为洛必达法则求极限来确定未定式值方法称为洛必达法则.第7页微积分证证定义辅助函数定义辅助函数则有则有第8页微积分注注定理条件：分子分母都是无穷小；分子分母定理条件：分子分母都是无穷小；分子分母 都可导，且分母导数不等于都可导，且分母导数不等于0；导数之比；导数之比 极限存在或为极限存在或为定理结论：函数之比极限等于导数之比定理结论：函数之比极限等于导数之比 极限极限第9页微积分仍有类似结论仍有类似结论如：如：定理定理第10页微积分关于关于型极限型极限，有下述定理，有下述定理定理定理结论仍成立结论仍成立第11页微积分证实证实第12页微积分例例1 1解解例例2注注在重复使使用方法则时，要时刻注意检验是否为在重复使使用方法则时，要时刻注意检验是否为未定式，若不是未定式，不可使使用方法则。未定式，若不是未定式，不可使使用方法则。第13页微积分例例3 3解解例例4 4解解第14页微积分例例5证实证实证证分两种情况分两种情况则连续使用则连续使用次法则，得次法则，得则连续使用则连续使用次法则，得次法则，得第15页微积分本例说明：本例说明：但它们趋于但它们趋于+速度有快有慢速度有快有慢由慢到快依次是：由慢到快依次是：对数函数、幂函数、对数函数、幂函数、指数函数指数函数这一点从图上即可看出这一点从图上即可看出oxy第16页微积分例例6 6解解直接应使用方法则比较麻烦，先变形，再使用方法则直接应使用方法则比较麻烦，先变形，再使用方法则第17页微积分例例7分母分母1，分子振荡而没有极限，分子振荡而没有极限L.Hospital法则法则“失效失效”注注分子分母中出现分子分母中出现不可使用不可使用L.Hospital法则法则第18页微积分例例8 8解解注意：洛必达法则是求未定式一个有效方法，但注意：洛必达法则是求未定式一个有效方法，但与其它求极限方法与其它求极限方法尤其是等价无穷小代换尤其是等价无穷小代换结合使用，能够简化运算过程，效果会更加好，结合使用，能够简化运算过程，效果会更加好，使用起来也更有效。使用起来也更有效。第19页微积分关键关键:经过适当恒等变形经过适当恒等变形将其它类型未定式化为将其它类型未定式化为洛必达法则可处理类型洛必达法则可处理类型 .仍可使用仍可使用L.Hospital法则来求极限法则来求极限步骤步骤:即将其中之一个因子下放至分母就可转化为即将其中之一个因子下放至分母就可转化为第20页微积分例例9注意注意：对数因子不下放，要放在分子上：对数因子不下放，要放在分子上步骤步骤:第21页微积分例例1010解解步骤步骤:第22页微积分例例1111解解第23页微积分例例1212解解第24页微积分例例1313解解第25页微积分例例1414解解极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。注意：注意：洛必达法则使用条件洛必达法则使用条件第26页微积分几点说明几点说明 L.Hospital法则只是求未定式极限一个有效方法，法则只是求未定式极限一个有效方法，是充分条件，当定理条件满足时，所求极限存在是充分条件，当定理条件满足时，所求极限存在或为或为，当定理条件不满足时，主要是指（，当定理条件不满足时，主要是指（3）不）不成立，即导数之比极限不易求出，或不存在但不成立，即导数之比极限不易求出，或不存在但不，函数之比极限未必不存在，此时，函数之比极限未必不存在，此时L.Hospital法则：法则：“失效失效”不宜使用不宜使用L.Hospital法则法则L.Hospital法则只能对法则只能对这两种基本未定式这两种基本未定式才可直接应用，其它类型未定式必须先转化才可直接应用，其它类型未定式必须先转化第27页微积分L.Hospital法则与等价无穷小代换结合使用法则与等价无穷小代换结合使用 效果会更加好效果会更加好使用使用L.Hospital法则前宜先行约去可约因子，尤其法则前宜先行约去可约因子，尤其 是极限不为是极限不为0因子，宜将确定后极限值提到极因子，宜将确定后极限值提到极 限号外，以简化计算（这相当于提前使用了一次限号外，以简化计算（这相当于提前使用了一次 乘主动限运算法则）乘主动限运算法则）可考虑进行恒等变形或引入适当变量代换，以可考虑进行恒等变形或引入适当变量代换，以 简化计算简化计算第28页微积分三、小结三、小结洛必达法则洛必达法则第29页微积分思索题思索题第30页微积分思索题解答思索题解答不一定不一定例例显然显然极限不存在极限不存在但但极限存在极限存在第31页