几何与代数科学出版社行列式和线性方程组的求解省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

几何与代数几何与代数几何与代数几何与代数 主讲主讲:关秀翠 东南大学数学系东南大学数学系东南大学数学系东南大学数学系 第1页我想说我想说课程主要性课程主要性大学与中学区分大学与中学区分综合考评综合考评自主学习自主学习怎样学好怎样学好做好预习复习做好预习复习多看多练多想多看多练多想工科基础工科基础考研基础考研基础v期末成绩占期末成绩占 90%v平时成绩占平时成绩占5%v分配时间分配时间v学习方法学习方法v数学试验占数学试验占5%未来文盲不再是目不识丁人，而是那些没有学会怎样未来文盲不再是目不识丁人，而是那些没有学会怎样学学习习(Study,not learn)人人 _Alvin Toffler(未来学家未来学家)怎样做怎样做(How?)为何这么做为何这么做(Why?)不这么做能够吗不这么做能够吗(Other ways?)应试型学习应用型学习应试型学习应用型学习按时完成作业按时完成作业 A B C思维训练思维训练趣味思索题趣味思索题第2页掌握三基掌握三基基本概念基本概念(定义、符号定义、符号)基本理论基本理论(定理、公式定理、公式)基本方法基本方法(计算、证实计算、证实)提前预习提前预习体会思绪体会思绪多动手，勤思索多动手，勤思索深入体会思想方法深入体会思想方法培养培养自学自学能力能力，独立分析问题，独立分析问题能力能力 和独立处理问题和独立处理问题能力能力学习方法学习方法返回第3页训练思维训练思维，塑造学生内在素质，塑造学生内在素质 1.1.学会观察，发觉规律学会观察，发觉规律2.2.培养耐心与坚韧性格培养耐心与坚韧性格 书写计算非常繁琐，需要足够耐心与细心书写计算非常繁琐，需要足够耐心与细心3.3.培养学生发散思维培养学生发散思维 将结论做为条件进行倒推将结论做为条件进行倒推 一题多解，多解归一，多题归一一题多解，多解归一，多题归一 培养学生多角度看问题培养学生多角度看问题 利用精炼语言艺术归纳、比拟利用精炼语言艺术归纳、比拟 探讨变换问题条件探讨变换问题条件 转换思索角度，训练思维求异性转换思索角度，训练思维求异性5.5.培养学生化繁为简思索模式培养学生化繁为简思索模式6.6.培养学生分析问题能力培养学生分析问题能力 非公式化记忆，理论推导增强逻辑推理能力非公式化记忆，理论推导增强逻辑推理能力4.4.转化思想，训练思维联想性转化思想，训练思维联想性返回第4页课程内容与结构课程内容与结构一、线性代数一、线性代数主要任务就是求解并应用主要任务就是求解并应用主要任务就是求解并应用主要任务就是求解并应用线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 二、空间解析几何二、空间解析几何三、二者关系：三、二者关系：数量关系数量关系 在三维空间中在三维空间中:空间形式空间形式 点点,线线,面，二次曲面面，二次曲面基本方法基本方法 坐标法坐标法;向量法向量法坐标坐标,方程（组）方程（组）三维三维n维维ch1ch1关键工具关键工具初等变换初等变换第5页n 维维 空空 间间成功五要素空间成功五要素空间第一、目第一、目标 第二、胸第二、胸怀 第三、勇气第三、勇气 第四、第四、坚持持 第五、第五、聪明明 创业老板成功十意识创业老板成功十意识空间空间一、创造梦想、发觉机遇意识一、创造梦想、发觉机遇意识 二、凝聚梦想、专注热爱意识二、凝聚梦想、专注热爱意识 三、学习新知、进取提升意识三、学习新知、进取提升意识 四、坚持社会公理、科学理性思维意识四、坚持社会公理、科学理性思维意识 五、突破陈规、创新创造意识五、突破陈规、创新创造意识 六、平和心态、调整情绪意识六、平和心态、调整情绪意识 七、关注细节、紧盯结果意识七、关注细节、紧盯结果意识 八、改造员工、影响他人意识八、改造员工、影响他人意识 九、敢担责任、直面挑战意识九、敢担责任、直面挑战意识 十、居安思危、自省自警意识十、居安思危、自省自警意识 第6页线线 性性 代代 数数一、主要任务一、主要任务解线性方程组解线性方程组 线性方程组线性方程组方程间方程间关系关系向量间向量间关系关系矩阵性质矩阵性质和运算和运算 行列式行列式运算运算 返回考考虑再学再学方程方程对应一个向量一个向量再学再学向量向量组组成矩成矩阵再学再学方方阵再学再学二、主要问题二、主要问题 应用线性方程组应用线性方程组 求方阵特征值特征向量求方阵特征值特征向量方阵相同对角化问题方阵相同对角化问题实对称矩阵正定性实对称矩阵正定性三、重点难点三、重点难点向量组线性无关性向量组线性无关性向量组线性无关性向量组线性无关性矩阵秩矩阵秩矩阵秩矩阵秩关键工具初等变换关键工具初等变换关键工具初等变换关键工具初等变换第7页线性方程组：线性方程组：(2)2 (1)可可得得：1/3 (2)可得可得：(1)(2)可得可得：高斯消元法：高斯消元法：(2)+k (1)(k 0)k (2)(k 0)(1)(2)初等变换线性代数关键工具经济政策模型返回DetLELE第8页线性方程组：线性方程组：高斯消元法：高斯消元法：初等变换第9页教学内容和基本要求教学内容和基本要求 第一章第一章 行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解教教 学学 内内 容容v课时数课件课件 1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 111-161.2 n阶行列式阶行列式 116-28v1.3 行列式性质和计算4v1.4 线性方程组求解 2第10页 线性方程组应用线性方程组应用:平面位置关系平面位置关系 电路电路 化学方程式配平化学方程式配平 交通流量交通流量 营养配方营养配方 搜索引擎搜索引擎 投入产出模型投入产出模型 W.Leontief W.Leontief 美美美美 (1905.8.5-1999.2.5)(1905.8.5-1999.2.5)1973 1973 NobelNobel经济学奖经济学奖经济学奖经济学奖 第11页1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 一一.排列逆序数排列逆序数 二二.n阶行列式阶行列式定义定义三三.行列式转置行列式转置第一章第一章 行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解1.2 n阶行列式阶行列式第12页第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解 1.1 1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 一一.二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组与二阶行列式(a11a22 a12a21)x1=b1a22 a12b2(a11a22 a12a21)x2=a11b2 b1a21 当当 a11a22 a12a21 0 时时,a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2x1=b1a22 a12b2a11a22 a12a21,x2=a11a22 a12a21a11b2 b1a21.1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 第13页a11 a12 a21 a22记记D=,b1 a12 b2 a22D1=,a11 b1a21 b2D2=,则当则当D=a11a22 a12a21 0时时,=D1D=D2D.a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2x1=b1a22 a12b2a11a22 a12a21方程组有唯一确定解方程组有唯一确定解x2=a11a22 a12a21a11b2 b1a21第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解 1.1 1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 =a11b2 b1a21二阶行列式对二阶行列式对角线法则角线法则Cramer法则法则例例例例第14页三阶行列式对角线法则三阶行列式对角线法则 a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2每项都是三个元素乘积每项都是三个元素乘积.每项三个元素位于不一样行列每项三个元素位于不一样行列.问题问题:能用对角线法则计算四阶行列式吗能用对角线法则计算四阶行列式吗?a1 a2 a3 a a4 4b1 b2 b3 b4 4c1 c2 c3 c4 4d d1 1 d d2 2 d d3 3 d d4 4对角线法则可得对角线法则可得八八项代数和；项代数和；每项每项四四个元素位于不一样行列个元素位于不一样行列 可得可得 4！=24 项代数和项代数和.产生矛盾产生矛盾 否否 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解 1.1 1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 a3b2c1 a1b3c2 a2b1c3 第15页二二.三阶行列式特点三阶行列式特点 每一项都是三个位于不一样行和列元素乘积每一项都是三个位于不一样行和列元素乘积.a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.将行标按将行标按1,2,3排好，列标恰好对应于排好，列标恰好对应于1,2,36种排列种排列.各项系数与列标排列逆序数相关各项系数与列标排列逆序数相关.(1)1对换对换2次次 对换对换1次次(1)2问题问题问题问题:怎样利用二三阶行列式怎样利用二三阶行列式怎样利用二三阶行列式怎样利用二三阶行列式其它特点计算四阶以上行列式其它特点计算四阶以上行列式其它特点计算四阶以上行列式其它特点计算四阶以上行列式?对换次数对换次数称为逆序数称为逆序数.(1)0第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解 1.1 1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 第16页a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33排列排列j1 j2 j3逆序数逆序数 对全部不一样三级排列对全部不一样三级排列 j1 j2 j3求和求和 a11 a12a21 a22 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解 1.1 1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31第17页1.逆序数逆序数 逆序：逆序：违反从小到大正常次序违反从小到大正常次序 一个一个排列排列逆序数逆序数:全部数逆序数总和全部数逆序数总和.奇奇(偶偶)排列：排列：逆序数为奇逆序数为奇(偶偶)数排列数排列.逆序数逆序数 k：设设i1 i2 ik in是是1 n一个排列一个排列,则则ik在此排列中逆序数在此排列中逆序数 k为为排在数排在数ik之前之前(后后)比比ik大大(小小)数个数数个数.三三.排列逆序数与奇偶性排列逆序数与奇偶性 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解 1.2 1.2 n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式 对换对换(变成变成12n)次数称为逆序数次数称为逆序数.第18页例例1.求以下排列求以下排列逆序数逆序数 (1)32514 (2)n(n 1)(n 2)321 (3)(2n)(2n 2)4213(2n 3)(2n 1).2.对换对换 对换对换:对调对调排列中任排列中任两个两个元素元素,其余元素不动其余元素不动.相相邻对换邻对换:将将相邻相邻两个元素对换两个元素对换.逆序数逆序数 k：排在数：排在数ik之前之前(后后)比比ik大大(小小)数个数数个数.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解 1.2 1.2 n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式 第19页定理定理1.1.每一个对换都改变排列奇偶性每一个对换都改变排列奇偶性.推论推论.n 2时时,n个个元素全部排列中元素全部排列中,奇、偶奇、偶 排列各占二分之一排列各占二分之一,即各有即各有n!/2个个.注注:任一相邻对换都任一相邻对换都改变改变排列排列奇偶性奇偶性.任一对换都可经过任一对换都可经过奇数次奇数次相邻对换来实现相邻对换来实现.a1 al ab1 bm b c1 cna1 al ab b1 bm c1 cna1 al b b1 bm a c1 cna1 al ab1 bm-1bbm c1 cna1 al bab1 bm c1 cna1 al bb1a bm c1 cn对换对换m次次对换对换m+1次次共对换共对换2m+1次次a1 al ab b1 bma1 al ba b1 bm若若ab,则则 a =a,b =b 1,若若ab,则则 a =a+1,b =b,=1.=+1.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解 1.2 1.2 n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式 第20页1.1-2 方阵行列式方阵行列式 一一.二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组与二阶行列式 三三.排列逆序数与奇偶性排列逆序数与奇偶性 四四.n阶行列式定义阶行列式定义 1.逆序数逆序数 2.对换：对换：1.n阶行列式定义阶行列式定义 2.几个特殊行列式几个特殊行列式 二二.三阶行列式特点三阶行列式特点 每一个对换都改变排列奇偶性每一个对换都改变排列奇偶性.第一章第一章 行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解3.行列式转置行列式转置对角线法则对角线法则第21页1.n阶行列式定义阶行列式定义 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann注注:n阶行列式是阶行列式是 n!项代数和项代数和.四四.n阶行列式定义（阶行列式定义（Determinant）n阶行列式是定义在阶行列式是定义在nn个数集合个数集合(n阶方阵阶方阵)上一个上一个函数函数，即，即 f(A)=detA:Rnn R.当当n=1时时,一阶行列式一阶行列式|a11|=a11,有正负号有正负号.排列排列j1 j2 jn逆序数逆序数 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解 1.2 1.2 n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式 第22页2.几个特殊行列式几个特殊行列式 a11 0 0 0 a22 0 0 0 ann 0 0 a1n 0 a2,n 1 0 an1 0 0=a11a22ann a1n a2,n 1an1(1)对角行列式对角行列式 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解 1.2 1.2 n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式 第23页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 (2)上上(下下)三角形行列式三角形行列式 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann=a11 a22ann=2.2 2.2 方阵行列式方阵行列式方阵行列式方阵行列式a11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 anna11 a1n-1 a1n a21 a2n-1 0 an1 0 0=a1na2n-1an1 0 0 a1n 0 a2n-1 a2n an1 a1n-1 ann第24页第二章第二章第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 例例1.证实证实f()是是 n次次多项式多项式,并求并求 n,n1系数系数及常数项及常数项.a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 annf()=d1=(a11)(a22)(ann)f(0)2.2 2.2 方阵行列式方阵行列式方阵行列式方阵行列式=(1)n|A|=(1)n=|A|第25页3.n阶行列式另外一个定义阶行列式另外一个定义 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 anna11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.=a11 a22 a33第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解 1.2 1.2 n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式 +a31 a12 a23+a21 a32 a13 a11 a32 a23 a21 a12 a33 a31 a22 a13 第26页3.n阶行列式另外一个定义阶行列式另外一个定义 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann证实：证实：第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解 1.2 1.2 n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式 行列标逆序行列标逆序数之和奇偶数之和奇偶性不变性不变 第27页4.行列式转置行列式转置(Transpose)性质性质1|AT|=|A|.记记|A|=a a11 11 a a1212 a a1 1n n a a2121 a a22 22 a a2 2n n a an n1 1 a an n2 2 a annnna a1111 a a2121 a an n1 1 a a1212 a a22 22 a an n2 2 a a1 1n n a a2 2n n a annnn,|AT|=第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解 1.2 1.2 n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式 或或|A|=|B|第28页1.1-2 方阵行列式方阵行列式 一一.二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组与二阶行列式 三三.排列逆序数与奇偶性排列逆序数与奇偶性 四四.n阶行列式定义阶行列式定义 二二.三阶行列式特点三阶行列式特点|A|:Rnn REx.第一章第一章 行列式和线性方程组求解行列式和线性方程组求解=|AT|对角线法则对角线法则第29页(A)填空题选择题：作为课下练习填空题选择题：作为课下练习一一.(A)1(1-7),(B)1,2,3(B)留作业留作业 每七天三交作业每七天三交作业(C)课下提升题：有时间话尽可能做课下提升题：有时间话尽可能做第30页趣味思索题趣味思索题一一.试证实试证实在二在二在二在二维维平面上，平面上，平面上，平面上，2 2阶阶二二.行列式行列式行列式行列式 绝对值绝对值是以是以是以是以三三.=(a a1111,a a2121),),=(a a1212,a a2222)为邻边为邻边平行四平行四平行四平行四边边形面形面形面形面积积。提醒：在二提醒：在二维平面上，平面上，=(a a1111,a a2121)=(a a1212,a a2222)(1)(1)试计试计算算算算 =(a a1212,a a2222)=)=(a a1111,a a2121)时时平行四平行四平行四平行四边边形面形面形面形面积积；(3)(3)试说试说明明明明 与与与与D D关系；关系；关系；关系；(2)(2)试说试说明明明明 与与与与D D关系；关系；关系；关系；第31页