分圆多项式市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

7.5 分圆多项式分圆多项式7.5.1 复数域上分圆多项式复数域上分圆多项式 7.5.2 任意域上分圆多项式任意域上分圆多项式 1 1第1页7.5.1 复数域上分圆多项式复数域上分圆多项式定义：定义：在复数域中在复数域中xn-1=0解称为解称为n次单位根次单位根。结论：结论：一个复数是一个复数是n次单位根，当且仅当它含有次单位根，当且仅当它含有以下形式：以下形式：证实：证实：因任意复数能够表为因任意复数能够表为r(cos+isin)其中其中r是它模，是它模，是它幅角，我们有是它幅角，我们有 r(cos+isin)s(cos+isin)=rscos cos-sin sin+i(cos sin+sin cos)=rscos(+)+isin(+)2 2第2页据此，用数学归纳法易证：据此，用数学归纳法易证：r(cos+isin)n=rn(cos n+isin n)此此数数模模是是rn，幅幅角角是是n。因因为为复复数数1模模是是1，幅角是，幅角是2k，k=0,1,2,所以，所以，r(cos+isin)是是n次单位根次单位根 iffrn=1且且n=2k iffr=1，且，且=iff它含有以下形式：它含有以下形式：，证毕。，证毕。证实：证实：3 3第3页故若命故若命=则则一一个个复复数数是是n次次单单位位根根，当当且且仅仅当当它它是是整数次方整数次方。由由此此可可见见，全全部部n次次单单位位根根在在乘乘法法下下作作成成一一个循环群，个循环群，是它一个生成元素。是它一个生成元素。1，2，n-1为为n个个n次单位根：次单位根：这这n个个单单位位根根幅幅角角都都是是 整整倍倍数数；用用平平面面上上点点代代表表复复数数，把把代代表表这这n个个单单位位根根点点用用线线段段联结起来便成为单位圆一个内接正联结起来便成为单位圆一个内接正n边形。边形。可可见见，这这n个个n次次单单位位根根都都不不一一样样。是是n次次单位根，当然单位根，当然n=1。所以。所以周期恰等于周期恰等于n。4 4第4页复复数数域域中中恰恰有有n个个n次次单单位位根根。它它们们在在乘乘法法下下作作成成一一个个n元元循循环环群群，=是是一一个个生成元素。生成元素。这这个个n元元循循环环群群生生成成元元素素称称为为本本原原n次次单单位位根根，共共有有(n)个个，假假定定它它们们是是1，2，(n)命命n(x)=(x-1)(x-2)(x-(n)，n(x)称为称为分圆多项式分圆多项式。意意思思是是说说求求出出它它一一个个根根就就能能够够把把单单位位圆圆分分成成n等份了。等份了。定理定理7.5.15 5第5页分圆多项式例：分圆多项式例：n=1时时，生生成成元元=1，(1)=1，故故1(x)=(x-1)。n=2时时，生生成成元元=-1，(2)=1，故故2(x)=(x+1)。n=3时时，生生成成元元=，(3)=2,另另一个生成元为：一个生成元为：2=，故故3(x)=(x-)(x-2)=x2+x+1。n=4时时，生生成成元元=i，(4)=2，另另一一个个生成元为：生成元为：3=-i，故，故4(x)=(x-)(x-3)=(x-i)(x+i)=x2+16 6第6页分圆多项式性质分圆多项式性质定理定理7.5.2 xn-1=证实：证实：设设1,2,n是全部是全部n次单位根，于次单位根，于是是xn-1=(x-1)(x-2)(x-n)任取一个任取一个d n，1)往证往证|xn-1。任任取取d(x)根根，则则是是一一个个本本原原d次次单单位位根根.于于是是，d=1，因因而而n=1，可可见见(x-)必必出出现现在在(x-1)(x-2)(x-n)中中。可可见见，全全部部(d)个个本本原原d次次单单位位根根都都出出现现在在(x-1)(x-2)(x-n)中中。因因之之，d(x)xn-1。7 7第7页若若d和和d不不一一样样，则则d(x)和和d(x)没没有有公公共共一一次次式式。因因为为，前前者者根根是是本本原原d次次单单位位根根，后后 者者 根根 是是 本本 原原 d次次 单单 位位 根根，由由 此此 可可 见见，xn-1。2)往证往证 xn-1|。任取任取xn-1根根，设，设周期为周期为d，d n，因而是，因而是本原本原d次单位根。这就是说，次单位根。这就是说，(x-1)(x-2)(x-n)中任意一次式必出现中任意一次式必出现在某个在某个d(x)之内，其中之内，其中d n，所以，所以xn-1|。证毕。证毕。8 8第8页例：例：因因为为x-1=1(x)，所所以以，1(x)=x-1。因因为为x2-1=2(x)1(x)，所所以以，2(x)=x+1。因因为为x3-1=3(x)1(x)，所所以以，3(x)=x2+x+1。因因为为x4-1=4(x)2(x)1(x)，所以，所以，4(x)=x2+1。9 9第9页分圆多项式性质分圆多项式性质定理定理7.5.3 n(x)是整系数多项式是整系数多项式。证证实实：用用数数学学归归纳纳法法。1(x)=x-1是是整整系系数数多多项项式。式。假定已知假定已知kn时，时，k(x)是整系数多项式，是整系数多项式，试试证证n(x)亦亦然然。因因xn-1=n(x)，由由归归纳纳法法假假定定，此此式式右右边边每每个个d(x)都都是是整整系系数数多多项项式式，故故其其积积为为整整系系数数多多项项式式，且且首首系系数数为为1。所所以以是是本本原原多多项项式式，而而xn-1是是整整系系数数多多项项式式，故故，n(x)必为整系数多项式。必为整系数多项式。1010第10页例：例：求求12(x)。解：解：因为因为 x12-1=1264321，x6-1=6321相除得相除得x6+1=124因之，因之，12(x)=x4-x2+1。1111第11页7.5.2 任意域上分圆多项式任意域上分圆多项式F为为任任意意域域，设设n不不是是特特征征倍倍数数，方方程程xn-1=0在在F中根称为中根称为n次单位根次单位根。若若n不不是是特特征征倍倍数数，则则xn-1导导数数nxn-1不不是是多多项项式式0，因因而而除除0外外没没有有另另外外根根，但但0显显然然不不是是xn-1根根，所所以以，xn-1及及其其导导数数没没有有公公共共根根，因因而而方方程程xn-1没有重根没有重根。若若n是是特特征征p倍倍数数，设设n=kpm，其其中中k不不是是p倍倍数数，则则 xn-1=。这时这时xn-1根即是根即是k次单位根，且次单位根，且xn-1每个根都是每个根都是pm重根重根。1212第12页例：例：在在R7=0，1，2，3，4，5，6上分别计算上分别计算n次单次单位根，位根，n=1，2，3，4，5，6。可见，可见，xn-1=0在任意域上不一定恰有在任意域上不一定恰有n个个n次单次单位根。位根。x x 0 01 12 23 34 45 56 6x x2 2 0 01 14 42 22 24 41 1x x3 3 0 01 11 16 61 16 66 6x x4 4 0 01 12 24 44 42 21 1x x5 5 0 01 14 45 52 23 36 6x x6 6 0 01 11 11 11 11 11 11313第13页R2=0，1上上4个矩阵：个矩阵：0=，1=，a=，b=，作作成成集集合合F=0，1，a，b在在矩矩阵阵加加法法、乘乘法法下下作作成成一一个个域域。则则在在F上上求求4次次单单位位根根就就是求方程是求方程x4-1=0，即，即 根。根。由分圆多项式性质可求出：由分圆多项式性质可求出：4(x)=x2+1=x2+。例：例：1414第14页设设n不不是是F特特征征倍倍数数，并并设设n(x)在在F中中有有根根。于于是是，F中中恰恰有有n个个n次次单单位位根根，它它们们在在乘乘法法下下作作成成一一个个n元元循循环环群群，其其(n)个个生生成成元元素素恰恰是是n(x)全全部根。部根。证实：证实：设设是是n(x)在在F中任意根，中任意根，往证往证周期为周期为n。设设周周期期为为k。因因为为n(x)xn-1，是是xn-1根根，故故n=1。因而。因而周期周期k n。反反证证。假假定定kn。因因为为k=1，所所以以应应是是xk-1根根，但但xk-1=，乘乘积积中中没没有有n(x)。既既是是n(x)根根又又是是xk-1根根，因因而而是是xn-1重重根根，此此不不可可能。能。定理定理7.5.41515第15页因因之之，1,2,n-1是是n个个不不一一样样n次次单单位位根根，但但xn-1最最多多只只能能有有n个个根根，所所以以F中中恰有恰有n个个n次单位根。次单位根。全全部部n次次单单位位根根既既然然都都是是若若干干方方，所所以以在在乘乘法法下下作作成成一一个个n元元循循环环群群，n(x)任任意意根根是是此此群群一一个个生生成成元元素素。今今n元元循循环环群群只只有有(n)个个生生成成元元素素，所所以以n(x)根根恰恰是是全全部部生生成元素。证毕。成元素。证毕。此此n元循环群生成元素也叫元循环群生成元素也叫本原本原n次单位根次单位根。1616第16页例：例：考查考查R5=0，1，2，3，4上情形：上情形：1)对对x2-1=0，分圆多项式，分圆多项式2(x)=x+1。因因为为2(x)在在R5中中有有根根4，所所以以2个个二二次次单单位位根根全全在在R5中中，且且4为为其其(2)=1个个生生成成元元，由它生成由它生成1，4就是全部二次单位根。就是全部二次单位根。1717第17页例：例：2)对对x3-1=0，分圆多项式，分圆多项式3(x)=x2+x+1。3(x)在在R5中无根，中无根，3个三次单位根不全在个三次单位根不全在R5中，在中，在R5中只有一个根中只有一个根1。x 01234x2 01441x2+x+1 13231x3 013241818第18页例：例：扩展扩展R5 至至 R7 3(x)在在R7 中有根中有根2，4，所，所以以3个三次单位根全在个三次单位根全在R5 中，且中，且2，4为其为其(3)=2个生成元，由它们任意一个可生成全个生成元，由它们任意一个可生成全部部3个三次单位根：个三次单位根：1，2，4x 0123456x2 0142241x2+x+1 1306031x3 01161661919第19页例：例：考查考查R5=0，1，2，3，4上情形对上情形对x4-1=0，分，分圆多项式圆多项式4(x)=x2+1。因为因为4(x)在在R5中有根中有根2,3，所以，所以4个四次单位根个四次单位根全在全在R5中，且中，且2,3为其为其(4)=2个生成元，由任意个生成元，由任意一个可生成全部一个可生成全部4个四次单位根。个四次单位根。x x 0 01 12 23 34 4x x2 2 0 01 14 44 41 1x x2 2+1+1 1 12 20 00 02 2x x4 4 0 01 11 11 11 12020第20页