十多元函数积分学市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、mathsoft第十三章 多元函数积分学第一节第一节 二重积分概念及性质二重积分概念及性质第二节第二节 二重积分计算方法(二重积分计算方法(1)第二节第二节 二重积分计算方法(二重积分计算方法(2)高等数学电子教案 西电第1页mathsoft第三节第三节 二重积分应用二重积分应用第四节第四节 三重积分概念及计算方法三重积分概念及计算方法第五节第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分三重积分高等数学电子教案 西电教师:任春丽第2页mathsoft第一节第一节 二重积分概念及性质二重积分概念及性质一、二重积分概念1、引例、引例(1)计算曲顶柱体体积(如图)设曲面且在D上
2、连续第一节 二重积分概念及性质第3页mathsoft解解:step1 分割:任意划分D为n个小区域step2 近似:step3 求和:定义域第一节 二重积分概念及性质第4页mathsoftV=step4 取极限(2)计算平面薄板质量第一节 二重积分概念及性质第5页mathsoft设有一平面薄板占有xoy面上闭区域D,在点P(x,y)面密度为且在D上连续解解:step1 分割:DXYO第一节 二重积分概念及性质第6页mathsoftstep 2 近似:step3 求和:step4 取极限:上面引例能够看到:两个引例实际意义第一节 二重积分概念及性质第7页mathsoft不一样,但都归结为同一形式
3、和式极限。我们把这种和式极限抽象为二元函数在平面 闭区域D上二重积分定义。2、定义:、定义:设f(x,y)是有界闭区域D上有界函数。假如和式极限从在,则称此极限值为f(x,y)在区域D上二重积分,记作,即第一节 二重积分概念及性质第8页mathsoft积分区域被积函数积分变量面积元素积分符号因而,引例(1)体积被积表示式第一节 二重积分概念及性质第9页mathsoft引例(2)质量注 (1)极限存在指:任意分割、任意取点、和式极限值相等(2)在直角坐标系下,若用平行与x轴,y轴直线族划分D,则XYO第一节 二重积分概念及性质第10页mathsoft从而(3)二重积分为数,与变量符号无关即故记第
4、一节 二重积分概念及性质第11页mathsoft 3、二重积分存在充要条件假如f(x,y)在闭区域D上连续,则4、二重积分几何意义(以D为底,f(x,y)未定曲顶柱体体积)(曲顶柱体体积负值)第一节 二重积分概念及性质第12页mathsoft普通曲顶柱体体积代数和例例1、计算解:解:由几何意义(上半球体体积)第一节 二重积分概念及性质第13页mathsoft二、二重积分性质假设以下各积分存在性质性质1k为常数性质性质2性质性质3 (可加性)第一节 二重积分概念及性质第14页mathsoft(除分界限)性质性质4 假如性质性质5 (不等式性)假如在D上第一节 二重积分概念及性质第15页maths
5、oft尤其:性质性质6 (估值性)设第一节 二重积分概念及性质第16页mathsoft性质性质7 (积分中值定理)设f(x,y)在闭区域D上连续,则最少存在一点证实:证实:第一节 二重积分概念及性质第17页mathsoft由闭区域连续函数介值定理,最少存在一点第一节 二重积分概念及性质第18页mathsoft三、举例例例2、设区域D:是变量y奇函数XYO解:解:第一节 二重积分概念及性质第19页mathsoft是变量x偶函数注:注:上述性质,称为二重积分奇偶对称性对于普通函数也成立例例3、预计以下积分值第一节 二重积分概念及性质第20页mathsoft(2)求D上最大最小值XY o D解:解:
6、第一节 二重积分概念及性质第21页mathsoftEp4:第一节 二重积分概念及性质第22页mathsoft其中D由x=0,y=0及x+y=1围成解:解:Ep5:解:解:第一节 二重积分概念及性质第23页mathsoft第一节 二重积分概念及性质第24页mathsoft第二节第二节 二重积分计算方法(二重积分计算方法(1)一、区域类型及表示1、X-型区域:型区域:穿过区域D内部且平行于 D 边界相交至多两点aaaxxxbbbxxxyyyooo第二节 二重积分计算方法第25页mathsoft2、Y-型区域:型区域:穿过区域D内部且平行于x轴直线与D边界相交至多两点3、其它类型、其它类型 如图非X
7、-型,非Y-型区域xyycdooxy第二节 二重积分计算方法第26页mathsoft例例1、闭区域D由所围成,使用联立不等式表示区域D解:解:法一、法一、D是X型区域 则法二、法二、D是Y-型区域且第二节 二重积分计算方法第27页mathsoft二、利用直角坐标计算二重积分解:解:首先首先:曲顶柱体体积其次:利用平行截面为已知立体体积计算设:区域D为X-型得截面面积第二节 二重积分计算方法第28页mathsoft普通综上:第二节 二重积分计算方法第29页mathsoft类似,若D为Y-型区域称为先x后y二次积分情形仍成立关键,步骤以下:第二节 二重积分计算方法第30页mathsoft第一步:第
8、一步:画区域D图形第二步:第二步:确定类型,求投影曲间,穿入、穿出线方程,并用联立不等式表示区域第三步:第三步:将二重积分写成二次积分例例2、计算其中区域D是由解:解:画图 求出交点(-1,1)及(4,2)(4,2)(-1,1)第二节 二重积分计算方法第31页mathsoft法一法一 D是X-型区域,且法二法二 D是Y-型区域,且(4,2)(-1,1)第二节 二重积分计算方法第32页mathsoft例例3、计算,其中D由所围成解:解:D是X-型区域第二节 二重积分计算方法第33页mathsoft又 D是Y-型区域无法积分这说明此积分先x后y次序方法失效注:注:上述两例说明,在化二重积分为二次积
9、分时,为了计算简便,需要恰当选择二次积分次序。这时,既要考虑积分区域D形状,又要考虑被积函数f(x,y)特征。第二节 二重积分计算方法第34页mathsoft例例4、改变二次积分积分次序均为X-型,画出区域D如图视为Y-型区域解:解:第二节 二重积分计算方法第35页mathsoft则原式=例例5、计算由曲面所围立体体积解:解:立体如图,且在xoy面上投影区域第二节 二重积分计算方法第36页mathsoft第二节 二重积分计算方法第37页mathsoft第二节第二节 二重积分计算方法(二重积分计算方法(2)三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分对于一些二重积分,利用直角坐标计算往往
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