十多元函数积分学市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

mathsoft第十三章 多元函数积分学第一节第一节 二重积分概念及性质二重积分概念及性质第二节第二节 二重积分计算方法（二重积分计算方法（1）第二节第二节 二重积分计算方法（二重积分计算方法（2）高等数学电子教案 西电第1页mathsoft第三节第三节 二重积分应用二重积分应用第四节第四节 三重积分概念及计算方法三重积分概念及计算方法第五节第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分三重积分高等数学电子教案 西电教师：任春丽第2页mathsoft第一节第一节 二重积分概念及性质二重积分概念及性质一、二重积分概念1、引例、引例（1）计算曲顶柱体体积（如图）设曲面且在D上连续第一节 二重积分概念及性质第3页mathsoft解解:step1 分割：任意划分D为n个小区域step2 近似：step3 求和:定义域第一节 二重积分概念及性质第4页mathsoftV=step4 取极限（2）计算平面薄板质量第一节 二重积分概念及性质第5页mathsoft设有一平面薄板占有xoy面上闭区域D,在点P(x,y)面密度为且在D上连续解解：step1 分割：DXYO第一节 二重积分概念及性质第6页mathsoftstep 2 近似：step3 求和：step4 取极限：上面引例能够看到：两个引例实际意义第一节 二重积分概念及性质第7页mathsoft不一样，但都归结为同一形式和式极限。我们把这种和式极限抽象为二元函数在平面 闭区域D上二重积分定义。2、定义：、定义：设f(x,y)是有界闭区域D上有界函数。假如和式极限从在，则称此极限值为f(x,y）在区域D上二重积分，记作，即第一节 二重积分概念及性质第8页mathsoft积分区域被积函数积分变量面积元素积分符号因而，引例（1）体积被积表示式第一节 二重积分概念及性质第9页mathsoft引例（2）质量注 (1）极限存在指：任意分割、任意取点、和式极限值相等(2)在直角坐标系下，若用平行与x轴，y轴直线族划分D,则XYO第一节 二重积分概念及性质第10页mathsoft从而（3）二重积分为数，与变量符号无关即故记第一节 二重积分概念及性质第11页mathsoft 3、二重积分存在充要条件假如f(x,y)在闭区域D上连续，则4、二重积分几何意义（以D为底，f(x,y)未定曲顶柱体体积）（曲顶柱体体积负值）第一节 二重积分概念及性质第12页mathsoft普通曲顶柱体体积代数和例例1、计算解：解：由几何意义（上半球体体积）第一节 二重积分概念及性质第13页mathsoft二、二重积分性质假设以下各积分存在性质性质1k为常数性质性质2性质性质3 （可加性）第一节 二重积分概念及性质第14页mathsoft（除分界限）性质性质4 假如性质性质5 (不等式性)假如在D上第一节 二重积分概念及性质第15页mathsoft尤其:性质性质6 (估值性)设第一节 二重积分概念及性质第16页mathsoft性质性质7 (积分中值定理)设f(x,y)在闭区域D上连续,则最少存在一点证实：证实：第一节 二重积分概念及性质第17页mathsoft由闭区域连续函数介值定理,最少存在一点第一节 二重积分概念及性质第18页mathsoft三、举例例例2、设区域D:是变量y奇函数XYO解：解：第一节 二重积分概念及性质第19页mathsoft是变量x偶函数注：注：上述性质，称为二重积分奇偶对称性对于普通函数也成立例例3、预计以下积分值第一节 二重积分概念及性质第20页mathsoft（2）求D上最大最小值XY o D解：解：第一节 二重积分概念及性质第21页mathsoftEp4:第一节 二重积分概念及性质第22页mathsoft其中D由x=0,y=0及x+y=1围成解：解：Ep5：解：解：第一节 二重积分概念及性质第23页mathsoft第一节 二重积分概念及性质第24页mathsoft第二节第二节 二重积分计算方法（二重积分计算方法（1）一、区域类型及表示1、X-型区域：型区域：穿过区域D内部且平行于 D 边界相交至多两点aaaxxxbbbxxxyyyooo第二节 二重积分计算方法第25页mathsoft2、Y-型区域：型区域：穿过区域D内部且平行于x轴直线与D边界相交至多两点3、其它类型、其它类型 如图非X-型，非Y-型区域xyycdooxy第二节 二重积分计算方法第26页mathsoft例例1、闭区域D由所围成，使用联立不等式表示区域D解：解：法一、法一、D是X型区域 则法二、法二、D是Y-型区域且第二节 二重积分计算方法第27页mathsoft二、利用直角坐标计算二重积分解：解：首先首先：曲顶柱体体积其次：利用平行截面为已知立体体积计算设：区域D为X-型得截面面积第二节 二重积分计算方法第28页mathsoft普通综上：第二节 二重积分计算方法第29页mathsoft类似，若D为Y-型区域称为先x后y二次积分情形仍成立关键，步骤以下：第二节 二重积分计算方法第30页mathsoft第一步：第一步：画区域D图形第二步：第二步：确定类型，求投影曲间，穿入、穿出线方程，并用联立不等式表示区域第三步：第三步：将二重积分写成二次积分例例2、计算其中区域D是由解：解：画图 求出交点（-1，1）及（4，2）(4,2)(-1,1)第二节 二重积分计算方法第31页mathsoft法一法一 D是X-型区域，且法二法二 D是Y-型区域，且(4,2)(-1,1)第二节 二重积分计算方法第32页mathsoft例例3、计算，其中D由所围成解：解：D是X-型区域第二节 二重积分计算方法第33页mathsoft又 D是Y-型区域无法积分这说明此积分先x后y次序方法失效注：注：上述两例说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要恰当选择二次积分次序。这时，既要考虑积分区域D形状，又要考虑被积函数f(x,y)特征。第二节 二重积分计算方法第34页mathsoft例例4、改变二次积分积分次序均为X-型，画出区域D如图视为Y-型区域解：解：第二节 二重积分计算方法第35页mathsoft则原式=例例5、计算由曲面所围立体体积解：解：立体如图，且在xoy面上投影区域第二节 二重积分计算方法第36页mathsoft第二节 二重积分计算方法第37页mathsoft第二节第二节 二重积分计算方法（二重积分计算方法（2）三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分对于一些二重积分，利用直角坐标计算往往是很困难，而在极坐标系下计算则比较简单。如：积分区域为圆形，被积函数为时，可考虑极坐标系下计算。方法以下1、化为极坐标系下二重积分，由定义且将区域D第二节 二重积分计算方法第38页mathsoft放在极坐标系中第一步第一步 分割:用两族曲线r=常数同心圆=常数射线任意分割区域D为n个小区域除含边界小区域外，其它小闭区域面积第二节 二重积分计算方法第39页mathsoft第二步第二步 取且对应直角坐标系为则从而其中为极坐标系下面积元素 注注:相当于二重积分作了变量代换,因而换元就要换限第二节 二重积分计算方法第40页mathsoft2、化为二次积分情形（情形（1）极点在D外部情形（情形（2）极点在D边界上D第二节 二重积分计算方法第41页mathsoft 情形（情形（3）极点在D内D第二节 二重积分计算方法第42页mathsoft例例1：计算D是由曲线解：解：第二节 二重积分计算方法第43页mathsoft例例2、将化为极坐标系下二次积分解：解：在极坐标系下第二节 二重积分计算方法第44页mathsoft例例3、求球体被圆柱面所截得（含在圆柱面内部）立体体积。解：解：由对称性体积在极坐标系下故第二节 二重积分计算方法第45页mathsoft第二节 二重积分计算方法第46页mathsoft一、几何应用一、几何应用1、立体体积、立体体积:2、平面图形面积、平面图形面积:3、曲面面积、曲面面积:第三节第三节 二重积分应用二重积分应用第三节 二重积分应用第47页mathsoft解解:（方法:小元素法,即微分法）第三节 二重积分应用第48页mathsoft第三节 二重积分应用第49页mathsoft第三节 二重积分应用第50页mathsoft例例1:求半径为a球面面积。解解:第三节 二重积分应用第51页mathsoft第三节 二重积分应用第52页mathsoft例例2:解解:第三节 二重积分应用第53页mathsoft第三节 二重积分应用第54页mathsoft1、平面薄片重心、平面薄片重心二、物理应用二、物理应用第三节 二重积分应用第55页mathsoft质点系对y轴静力矩质点系对x轴静力矩质点系质量第三节 二重积分应用第56页mathsoft(2)设有一平面薄片，区域为D，面密度P(x,y)(在D(3)上连续)求:解解:第三节 二重积分应用第57页mathsoft第三节 二重积分应用第58页mathsoft例例3:解解:第三节 二重积分应用第59页mathsoft第三节 二重积分应用第60页mathsoft第三节 二重积分应用第61页mathsoft2、平面薄片转动惯量、平面薄片转动惯量第三节 二重积分应用第62页mathsoft解解:第三节 二重积分应用第63页mathsoft例例4:解解:第三节 二重积分应用第64页mathsoft3、平面薄片对质点引力、平面薄片对质点引力例例5:解解:面积微元第三节 二重积分应用第65页mathsoft第三节 二重积分应用第66页mathsoft第三节 二重积分应用第67页mathsoft例例6:解解:第三节 二重积分应用第68页mathsoft第三节 二重积分应用第69页mathsoft一、概念一、概念引例引例:解解:第四节第四节 三重积分概念及计算方法三重积分概念及计算方法第四节 三重积分概念及计算方法第70页mathsoft抽去其物理意义,引入三重积分定义。定义定义:记作:第四节 三重积分概念及计算方法第71页mathsoft注注:第四节 三重积分概念及计算方法第72页mathsoft1、先一后二法、先一后二法:二、直角坐标系下二、直角坐标系下,计算方法计算方法第四节 三重积分概念及计算方法第73页mathsoft先一后二积分法为z-x-y积分次序三次积分类似,有其它五种几分次序第四节 三重积分概念及计算方法第74页mathsoft例例1:解解:第四节 三重积分概念及计算方法第75页mathsoft第四节 三重积分概念及计算方法第76页mathsoft例例2:解解:第四节 三重积分概念及计算方法第77页mathsoft2、先二后一法、先二后一法先二后一法先二后一法第四节 三重积分概念及计算方法第78页mathsoft第四节 三重积分概念及计算方法第79页mathsoft例例3:解解:方法一:先一后二法第四节 三重积分概念及计算方法第80页mathsoft方法二:先二后一法第四节 三重积分概念及计算方法第81页mathsoft例例4:解解:第四节 三重积分概念及计算方法第82页mathsoft练习练习:解解:先一后二法第四节 三重积分概念及计算方法第83页mathsoft第四节 三重积分概念及计算方法第84页mathsoft解解:第四节 三重积分概念及计算方法第85页mathsoft先二后一法:第四节 三重积分概念及计算方法第86页mathsoft第四节 三重积分概念及计算方法第87页mathsoft一、柱面坐标计算三重积分一、柱面坐标计算三重积分1、柱面坐标:第五节第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分利用柱面和球面坐标计算三重积分第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第88页mathsoft柱面坐标系下三组坐标面:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第89页mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第90页mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第91页mathsoft例例1:解解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第92页mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第93页mathsoft例例2:解解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第94页mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第95页mathsoft 二、球面坐标计算三重积分二、球面坐标计算三重积分1、球面坐标第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第96页mathsoft球面坐标系下三组坐标面:以o为心球面以o为顶点圆锥面过z轴半平面第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第97页mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第98页mathsoft3、化为三次积分第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第99页mathsoft如如:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第100页mathsoft例例3:解解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第101页mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第102页mathsoft例例4:解解:利用球面坐标计算第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第103页mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第104页mathsoft三、三重积分应用三、三重积分应用第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第105页mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第106页mathsoft例例5:解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第107页mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第108页mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第109页mathsoft例例6:解解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第110页mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分教师：任春丽第111页