圆的对称性垂径定理省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

3.2.3.2.圆对称性圆对称性(1)(1)第1页圆对称性圆对称性圆对称性圆对称性（1）圆是轴对称图形吗？假如是，它对称轴是什）圆是轴对称图形吗？假如是，它对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？么？你能找到多少条对称轴？（2）你是怎么得出结论？与同伴进行交流。）你是怎么得出结论？与同伴进行交流。圆基本性质圆基本性质 圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过其对称轴是任意一条过圆心直线圆心直线.第2页几个主要概念几个主要概念圆弧圆弧 圆上任意两点间部分叫做圆弧，简称弧（圆上任意两点间部分叫做圆弧，简称弧（arc）.ABCD弦弦 连接圆上任意两点线段叫做弦（连接圆上任意两点线段叫做弦（chord）.直径直径 经过圆心弦叫做直径（经过圆心弦叫做直径（diameter）.注注注注 弧包含弧包含优弧优弧和和劣弧劣弧，大于，大于半圆弧称为优弧，小于半圆半圆弧称为优弧，小于半圆弧称为劣弧弧称为劣弧.比如比如 优弧优弧ACD（记作（记作 ）劣弧劣弧ABD（记作（记作 ）ACDAD第3页CD 如图，如图，AB是是 O一条弦，作直径一条弦，作直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为M.MOABBAABABAB第4页ABCD 如图，如图，AB是是 O一条弦，作直径一条弦，作直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为M.（1）右图是轴对称图形）右图是轴对称图形吗？假如是，其对称轴是吗？假如是，其对称轴是什么？什么？（2）你能发觉图中有）你能发觉图中有哪些等量关系？说一说哪些等量关系？说一说你理由。你理由。MOAM=BM,n小明发觉图中有小明发觉图中有:n由由 CD是直是直径径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.第5页n如图如图,小明理由是小明理由是:n连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称.O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.(HL)第6页ABCD 如图，如图，AB是是 O一条弦，作直径一条弦，作直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为M.MO垂径定理垂径定理 垂直于弦垂直于弦直径平分这条弦，而直径平分这条弦，而且平分弦所正确弧且平分弦所正确弧.第7页垂径定理垂径定理三种语言三种语言定理定理 垂直于弦直径平分这条弦垂直于弦直径平分这条弦,而且平分弦所正确弧而且平分弦所正确弧.n老师提醒老师提醒:n垂径定理是垂径定理是圆中一个主圆中一个主要结论要结论,三种三种语言要相互语言要相互转化转化,形成整形成整体体,才能利用才能利用自如自如.想一想想一想 P906 6OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.第8页看以下图形，能否使用垂径定理看以下图形，能否使用垂径定理?为何为何?EEE不能够不能够不能够不能够能够能够能够能够第9页ABCD 如图，如图，AB是是 O弦（不是直径），作一条平分弦（不是直径），作一条平分AB直径直径CD，交，交AB于点于点M.MO（1）右图是轴对称图形）右图是轴对称图形吗？假如是，其对称轴是吗？假如是，其对称轴是什么？什么？（2）你能发觉图中有）你能发觉图中有哪些等量关系？说一说哪些等量关系？说一说你理由。你理由。CDAB,n小明发觉图中有小明发觉图中有:n由由 CD是直是直径径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.第10页ABCD 如图，如图，AB是是 O弦弦（不是直径不是直径），作一条平），作一条平分分AB直径直径CD，交，交AB于点于点M.MO逆定理逆定理 平分弦平分弦（不是直不是直径径）直径垂直于弦，而且直径垂直于弦，而且平分弦所正确弧平分弦所正确弧.第11页ABCDMO垂径定理垂径定理 垂直于弦直垂直于弦直径平分这条弦，而且平径平分这条弦，而且平分弦所正确弧分弦所正确弧.逆定理逆定理 平分弦平分弦（不是直径不是直径）直径垂直于弦，而且平分直径垂直于弦，而且平分弦所正确弧弦所正确弧.CD是直径是直径,CDAB,AM=BM,AC=BC,AD=BD.第12页n你能够写出对应命题吗你能够写出对应命题吗?垂径定理逆定理垂径定理逆定理n如图如图,在以下五个条件中在以下五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.第13页OABCDM垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理条件条件结论结论命题命题垂直于弦直径平分弦垂直于弦直径平分弦,而且平分弦所正确两条弧而且平分弦所正确两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)直径垂直于弦直径垂直于弦,而且平而且平 分弦所正确两条弧分弦所正确两条弧.平分弦所正确一条弧直径平分弦所正确一条弧直径,垂直平分弦垂直平分弦,而且平分弦所正确而且平分弦所正确另一条弧另一条弧.弦垂直平分线经过圆心弦垂直平分线经过圆心,而且平分这条弦所正确两条弧而且平分这条弦所正确两条弧.垂直于弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心垂直于弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心,而且平而且平分弦和它所正确另一条弧分弦和它所正确另一条弧.平分弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心平分弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,而且平分弦所正确另一条弧而且平分弦所正确另一条弧.平分弦所正确两条弧直线经过圆心平分弦所正确两条弧直线经过圆心,而且垂直平分弦而且垂直平分弦.第14页 课时课时P61-62第15页2.2.圆对称性圆对称性(2)(2)垂径定理应用垂径定理应用第16页ABCDMO垂径定理垂径定理 垂直于弦直垂直于弦直径平分这条弦，而且平径平分这条弦，而且平分弦所正确弧分弦所正确弧.逆定理逆定理 平分弦平分弦（不是直径不是直径）直径垂直于弦，而且平分直径垂直于弦，而且平分弦所正确弧弦所正确弧.CD是直径是直径,CDAB,AM=BM,AC=BC,AD=BD.第17页n你能够写出对应命题吗你能够写出对应命题吗?垂径定理逆定理垂径定理逆定理n如图如图,在以下五个条件中在以下五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.第18页OABCDM垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理条件条件结论结论命题命题垂直于弦直径平分弦垂直于弦直径平分弦,而且平分弦所正确两条弧而且平分弦所正确两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)直径垂直于弦直径垂直于弦,而且平而且平 分弦所正确两条弧分弦所正确两条弧.平分弦所正确一条弧直径平分弦所正确一条弧直径,垂直平分弦垂直平分弦,而且平分弦所正确而且平分弦所正确另一条弧另一条弧.弦垂直平分线经过圆心弦垂直平分线经过圆心,而且平分这条弦所正确两条弧而且平分这条弦所正确两条弧.垂直于弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心垂直于弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心,而且平而且平分弦和它所正确另一条弧分弦和它所正确另一条弧.平分弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心平分弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,而且平分弦所正确另一条弧而且平分弦所正确另一条弧.平分弦所正确两条弧直线经过圆心平分弦所正确两条弧直线经过圆心,而且垂直平分弦而且垂直平分弦.第19页OABCDM按图填空按图填空:(1)若若CDAB，CD为直径，则为直径，则_，_，_；(2)若若AM=BM，CD为直径，则为直径，则_，_，_；(3)若若CDAB，AM=BM，则，则_，_，_；(4)若若AC=BC，CD为直径，则为直径，则_，_，_；第20页挑战自我挑战自我填一填填一填n1、判断：、判断：n 垂直于弦直线平分这条弦垂直于弦直线平分这条弦,而且平分弦所正确两条而且平分弦所正确两条弧弧.（）n平分弦所正确一条弧直径一定平分这条弦所正确另平分弦所正确一条弧直径一定平分这条弦所正确另一条弧一条弧.（）n经过弦中点直径一定垂直于弦经过弦中点直径一定垂直于弦.（）n圆两条弦所夹弧相等，则这两条弦平行圆两条弦所夹弧相等，则这两条弦平行.（）n弦垂直平分线一定平分这条弦所正确弧弦垂直平分线一定平分这条弦所正确弧.（）第21页挑战自我挑战自我垂径定理推论垂径定理推论 n假如圆两条弦相互平行假如圆两条弦相互平行,那么这两条弦所夹弧相等吗那么这两条弦所夹弧相等吗?n提醒提醒:这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心同侧两条弦在圆心同侧OABCD2.两条弦在圆心两侧两条弦在圆心两侧垂径定理推论垂径定理推论 圆两条平行弦所夹弧相等圆两条平行弦所夹弧相等.第22页例例1 1、如如图图，已已知知在在OO中中，弦弦ABAB长长为为8 8厘厘米米，圆圆心心O O到到ABAB距离为距离为3 3厘米，求厘米，求OO半径半径.ABMO垂径定理应用垂径定理应用第23页弓形定义：弓形定义：由弦及其所正确弧组成图形由弦及其所正确弧组成图形叫做弓形。叫做弓形。弓形高：弓形高：弧中点到弦距离叫做弓形高。弧中点到弦距离叫做弓形高。第24页垂径定理垂径定理三角形三角形已知：如图，直径已知：如图，直径CDAB，垂足为，垂足为E.若半径若半径 r=2，AB=,求求OE、DE 长长.若半径若半径 r=2，OE=1，求，求AB、DE 长长.d rh第25页d rh垂径定理垂径定理三角形三角形弦长弦长a，弦心距，弦心距d，半径，半径r，及弓形高，及弓形高h 四者之间关系四者之间关系知知2求求2（1）已知）已知r,d（2）已知）已知r,h（3）已知）已知r,a（4）已知）已知d,h（5）已知）已知a,d（6）已知）已知a,h在在a,d,r,ha,d,r,h中，已知其中任意两个量中，已知其中任意两个量,能够求出其能够求出其它两个量它两个量.d+h=rd+h=r第26页垂径定理应用垂径定理应用(测公路弯道半径测公路弯道半径测公路弯道半径测公路弯道半径)解：连接解：连接OC.设弯路半径为设弯路半径为Rm，则，则0F=（R-90）m.OECD，CF=1/2CD=1/2600=300（m）.依据勾股定理，得依据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，即即 R2=3002+（R-90）2解这个方程，得解这个方程，得R=545.所以，这段弯路半径为所以，这段弯路半径为545m.RmF0CDE例例2.如图，一条公路转弯处是一段圆弧（即图中如图，一条公路转弯处是一段圆弧（即图中 ，点，点O是是 圆心），其中圆心），其中CD=600m，E为为 上一点，且上一点，且OECD，垂足为，垂足为F，EF=90m.求这求这段弯路半径段弯路半径.CDCDCD第27页例：例：1300多年前多年前,我国隋朝建造赵州石拱桥我国隋朝建造赵州石拱桥(如图如图)桥拱是圆弧形桥拱是圆弧形,它跨度它跨度(弧所对是弦长弧所对是弦长)为为 37.4 m,拱高为拱高为7.2m,求桥拱半径求桥拱半径(准确到准确到0.1m).第28页解：如图，用解：如图，用 表示桥拱，表示桥拱，所在圆圆心为所在圆圆心为O，半径为，半径为Rm，经过圆心经过圆心O作弦作弦AB垂线垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理，据垂径定理，D是是AB中点，中点，C是是 中点，中点，CD就是拱高就是拱高.由题设由题设在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥桥拱半径约为答：赵州石拱桥桥拱半径约为27.9m.RD37.47.2第29页例：例：在半径为在半径为5 5圆内，有两条相互平行弦，圆内，有两条相互平行弦，长度分别为长度分别为6 6和和8 8，求这两条平行弦之间，求这两条平行弦之间距离。距离。练：练：在半径为在半径为5 5圆内，有一个等腰梯形，圆内，有一个等腰梯形，它两底长度分别为它两底长度分别为6 6和和8 8，求这个等腰梯，求这个等腰梯形面积。形面积。第30页垂径定理应用垂径定理应用2、在直径为、在直径为650mm圆柱形油槽内装入一些油后，圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所表示截面如图所表示.若油面宽若油面宽AB=600mm，求，求油最大深度油最大深度.ED 600BAO600 650DC第31页2.如图，某地有一圆弧形拱桥如图，某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米，拱顶高出水面米，拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽米。现有一艘宽3米、船舱米、船舱顶部为长方形并高出水面顶部为长方形并高出水面2米货船要经过这里，此米货船要经过这里，此货船能顺利经过这座拱桥吗？货船能顺利经过这座拱桥吗？第32页此货船能顺利经过这座拱桥此货船能顺利经过这座拱桥.解解:如图，用如图，用 表示桥拱，表示桥拱，所在圆圆心为所在圆圆心为O,半径为半径为Rm，经过圆心经过圆心O作弦作弦AB垂线垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C。依据垂径定理，依据垂径定理，D是是AB中点，中点，C是是 中点，中点，CD就是拱高就是拱高由题设得由题设得在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R=3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得第33页n3、已知：如图，、已知：如图，O 中，中，AB为为 弦，弦，C 为为 中点，中点，OC交交AB 于于D，AB=6cm，CD=1cm.求求 O 半径半径OA.第34页n如如图图,M,M为为OO内内一一点点,利利用用尺尺规规作作一一条条弦弦AB,AB,使使ABAB过点过点M.M.而且而且AM=BM.AM=BM.OM第35页n4.如图如图,圆圆O与矩形与矩形ABCD交于交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE长长.ABCD0EFGH第36页结束寄语形整天才决定原因应该是形整天才决定原因应该是勤奋勤奋.第37页 这节课我们学习了哪些主要内容这节课我们学习了哪些主要内容?学学习了哪些基本观点和方法习了哪些基本观点和方法?应用垂径定理应用垂径定理要注意哪些问题要注意哪些问题?第38页1 1 1 1、本节课主要学习了、本节课主要学习了、本节课主要学习了、本节课主要学习了(1)(1)(1)(1)圆轴对称性；圆轴对称性；圆轴对称性；圆轴对称性；(2)(2)(2)(2)垂径定理及推论垂径定理及推论垂径定理及推论垂径定理及推论.2 2 2 2、相关弦问题，经常需要过圆心作弦垂线段，这是一条非、相关弦问题，经常需要过圆心作弦垂线段，这是一条非、相关弦问题，经常需要过圆心作弦垂线段，这是一条非、相关弦问题，经常需要过圆心作弦垂线段，这是一条非 常主要辅助线常主要辅助线常主要辅助线常主要辅助线.圆心到弦距离、半径、弦长组成直角三圆心到弦距离、半径、弦长组成直角三圆心到弦距离、半径、弦长组成直角三圆心到弦距离、半径、弦长组成直角三 角形，便将问题转化为解直角三角形问题角形，便将问题转化为解直角三角形问题角形，便将问题转化为解直角三角形问题角形，便将问题转化为解直角三角形问题.3 3 3 3、垂径定理证实，是经过、垂径定理证实，是经过、垂径定理证实，是经过、垂径定理证实，是经过“试验试验试验试验观察观察观察观察猜测猜测猜测猜测证实证实证实证实”实现，表达了实践观点、运动改变观点和先猜测后证实观点，实现，表达了实践观点、运动改变观点和先猜测后证实观点，实现，表达了实践观点、运动改变观点和先猜测后证实观点，实现，表达了实践观点、运动改变观点和先猜测后证实观点，定理引入还应用了从特殊到普通思想方法定理引入还应用了从特殊到普通思想方法定理引入还应用了从特殊到普通思想方法定理引入还应用了从特殊到普通思想方法.知识结构知识结构知识结构知识结构第39页 赵州桥又名赵州桥又名“安济桥安济桥”，位于河北省赵县城，位于河北省赵县城南交河上，是我国现存著名古代大石拱桥、南交河上，是我国现存著名古代大石拱桥、隋开皇大业年间隋开皇大业年间(590(590608)608)由李春创建由李春创建.桥单孔，全长桥单孔，全长50.8250.82米，桥面宽约米，桥面宽约1010米，跨径米，跨径约为约为3737米，弧形平缓，拱圈为米，弧形平缓，拱圈为2828条并列石条条并列石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，节约材组成，上设四个小拱，既减轻重量，节约材料，又便于排洪，且增美观料，又便于排洪，且增美观在世界桥梁在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥卓越典范，史上，其设计与工艺之新为石拱桥卓越典范，跨度之大在当初亦属首创，反应了我国古代跨度之大在当初亦属首创，反应了我国古代劳感人民智慧与才能劳感人民智慧与才能.关于赵州桥说明：关于赵州桥说明：关于赵州桥说明：关于赵州桥说明：第40页 课时课时P61-62第41页