均值不等式省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第1页1.了解均值不等式证实过程了解均值不等式证实过程2会用均值不等式处理简单最大会用均值不等式处理简单最大(小小)值问题值问题 第2页第3页1均值定理均值定理 均均值值不等式不等式不等式成立条件 等号成立条件a，b 当且当且仅仅当当“ab”时时取等号取等号R第4页2.惯用几个主要不等式惯用几个主要不等式(1)a2b2(a，b R)；(2)ab()2(a，b R)；(3)()2(a，b R)；(4)(a，b同号且不为零同号且不为零)2ab2第5页3算术平均值与几何平均值算术平均值与几何平均值设设a0，b0，则，则a，b算术平均值为算术平均值为，几何平均，几何平均值为值为，基本不等式可叙述为：两个正实数算术平，基本不等式可叙述为：两个正实数算术平均值均值它几何平均值它几何平均值 大于大于第6页4利用均值定理求最大、最小值利用均值定理求最大、最小值(1)两个正数积为两个正数积为时，它们和有时，它们和有；(2)两个正数和为两个正数和为时，它们积有时，它们积有(简记为：简记为：和定积最大，积定和最小和定积最大，积定和最小)常数常数最小值最小值常数常数最大值最大值第7页思索探究思索探究在利用均值不等式求最值时，应注意哪些方面？在利用均值不等式求最值时，应注意哪些方面？提醒：提醒：利用均值不等式求最值时，一定要注意利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正、二一正、二定、三相等定、三相等”“一正一正”即公式中即公式中a、b必须是正数，必须是正数，“二二定定”即必须有定值即必须有定值(和为定值或积为定值和为定值或积为定值)，“三相等三相等”即公即公式中等号必须成立，必要时要合理拆分项或配凑因式，以式中等号必须成立，必要时要合理拆分项或配凑因式，以满足上述三个条件满足上述三个条件 第8页1设设a，b为实数，且为实数，且ab0，以下不等式中一定成立，以下不等式中一定成立个数是个数是()2ab2；ab.A1B2C3D4 第9页解析：解析：2，成立；成立；ab1时，时，不成立；不成立；，成立；成立；当当a1，b2时，时，不成立不成立答案：答案：B 第10页2.已知已知f(x)x2(x0)，则，则f(x)有有()A.最大值为最大值为0B.最小值为最小值为0C.最大值为最大值为2D.最小值为最小值为2解析：解析：x0，f(x)x2220，当且仅当当且仅当x，即，即x1时，时，“”成立成立.答案：答案：B第11页3.以下函数中，以下函数中，y最小值为最小值为4是是()A.yxB.y(xR)C.yex4exD.ysinx(0 x)第12页解析：解析：对于对于A，当，当x0时，最小值不存在且时，最小值不存在且y0；B中中y24，当且仅当，当且仅当x221时等号成立，这么实数时等号成立，这么实数x不存在，故不存在，故y(xR)取不到最小值取不到最小值4；同理对于同理对于D，等号成立条件为，等号成立条件为sin2x4，这也是不可能；，这也是不可能；只有只有C，yex4ex4，当且仅当，当且仅当ex2，即，即xln2时等号成时等号成立，函数有最小值立，函数有最小值4.答案：答案：C第13页4.若若ab1，P，Q(lgalgb)，Rlg()，则，则P，Q，R大小关系为大小关系为.解析：解析：ab1，lg(lgalgb)，又，又(lgalgb)，RQP.答案：答案：RQP第14页5已知已知2(x0，y0)，则，则xy最小值是最小值是_解析：解析：22，所以，所以xy15，当且仅当，当且仅当时等号成立所以时等号成立所以xy最小值是最小值是15.答案：答案：15 第15页第16页1.创设应用均值不等式条件创设应用均值不等式条件(1)合理拆分项或配凑因式是惯用技巧，而拆与凑目合理拆分项或配凑因式是惯用技巧，而拆与凑目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值为定值或和为定值(2)列出等号成立条件，它不但是解题必要步骤，而列出等号成立条件，它不但是解题必要步骤，而且也是检验转换是否有误一个方法且也是检验转换是否有误一个方法 第17页2利用均值不等式求最值需注意问题利用均值不等式求最值需注意问题求最值时应注意：求最值时应注意：(1)各数各数(或式或式)均为正；均为正；(2)和或积为和或积为定值；定值；(3)等号能否成立，即等号能否成立，即“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可这三个条件缺一不可 尤其警示尤其警示利用均值不等式求最值时，一定要注意等号利用均值不等式求最值时，一定要注意等号成立条件，若等号取不到，则可用函数单调性求解成立条件，若等号取不到，则可用函数单调性求解 第18页3均值不等式几个变形公式均值不等式几个变形公式对于均值不等式，不但要记住原始形式，而且还要掌对于均值不等式，不但要记住原始形式，而且还要掌握它几个常见变形形式及公式逆利用等，如：握它几个常见变形形式及公式逆利用等，如：第19页(1)设设0 x2，求函数，求函数y最大值；最大值；(2)求求a取值范围；取值范围；(3)已知已知x0，y0，且，且xy1，求，求最小值最小值.第20页思绪点拨思绪点拨(1)题可直接利用均值不等式，题可直接利用均值不等式，(2)、(3)题先配凑利用均值题先配凑利用均值不等式条件不等式条件 第21页课堂笔记课堂笔记(1)0 x2，03x6,83x20，y4，当且仅当当且仅当3x83x，即，即x时，取等号时，取等号.当当x，y最大值是最大值是4.第22页(2)显然显然a4，当当a4时，时，a40，a(a4)42424，当且仅当当且仅当a4，即，即a4时，取等号；时，取等号；当当a4时，时，a40，第23页a(a4)4(4a)42424，当且仅当当且仅当(4a)，即，即a4时，取等号时，取等号.a取值范围是取值范围是(，2424，).第24页(3)x0，y0，且，且xy1，()(xy)1010218.当且仅当当且仅当，即，即x2y时等号成立，时等号成立，当当x，y时，时，有最小值有最小值18.第25页若若x 0,1，求函数，求函数y最大值最大值.解：解：由例由例1(1)解答知，当解答知，当x 0,1时，函数最大值不能时，函数最大值不能用基本不等式用基本不等式.y(x 0,1)，函数在函数在0,1上单调递增上单调递增.ymax.第26页利用均值不等式证实不等式是综正当证实不等式一个利用均值不等式证实不等式是综正当证实不等式一个情况，其实质就是从已知不等式入手，借助不等式性质和情况，其实质就是从已知不等式入手，借助不等式性质和均值不等式，经过逐步逻辑推理，最终推得所证问题，其均值不等式，经过逐步逻辑推理，最终推得所证问题，其特征是特征是“由因导果由因导果”第27页尤其警示尤其警示证实不等式时要注意灵活变形，屡次利用基证实不等式时要注意灵活变形，屡次利用基本不等式时，要注意每次等号是否都成立，同时也要注意本不等式时，要注意每次等号是否都成立，同时也要注意基本不等式变形形式应用基本不等式变形形式应用.第28页已知已知a0，b0且且ab1.求证：求证：(1)4；(2)2.思绪点拨思绪点拨第29页课堂笔记课堂笔记(1)a0，b0，且，且ab1.224.当且仅当当且仅当，即，即ab时，等号成立时，等号成立.原不等式成立原不等式成立.第30页(2)a0，b0，且，且ab1.原不等式原不等式4ab1242241第31页1ab(ab)1ab11ab.a0，b0，1ab2(当且仅当当且仅当ab时取时取等号等号).ab.故原不等式成立故原不等式成立.第32页应用均值不等式处理实际问题步骤是：应用均值不等式处理实际问题步骤是：(1)仔细阅读题目，透彻了解题意；仔细阅读题目，透彻了解题意；(2)分析实际问题中数量关系，引入未知数，并用它分析实际问题中数量关系，引入未知数，并用它表示其它变量，把要求最值变量设为函数；表示其它变量，把要求最值变量设为函数；(3)应用均值不等式求出函数最值；应用均值不等式求出函数最值；(4)还原实际问题，作出解答还原实际问题，作出解答 第33页尤其警示尤其警示(1)解应用题时，一定要注意变量实际意义，解应用题时，一定要注意变量实际意义，即其取值范围即其取值范围(2)在求函数最值时，除应用均值不等式外，有时会出现基在求函数最值时，除应用均值不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号，此时可利用函数单调性处理本不等式取不到等号，此时可利用函数单调性处理 第34页(湖北高考湖北高考)围建一个面积为围建一个面积为360m2矩形场地，要求矩形场地，要求矩形场地一面利用旧墙矩形场地一面利用旧墙(利用旧墙需维修利用旧墙需维修)，其它三面围墙，其它三面围墙要新建，在旧墙对面新墙上要留一个宽度为要新建，在旧墙对面新墙上要留一个宽度为2m进出口，进出口，如图所表示如图所表示.已知旧墙维修费用为已知旧墙维修费用为45元元/m，新墙造价为，新墙造价为180元元/m.设利用旧墙长度为设利用旧墙长度为x(单位：单位：m)，修建此矩形场地围，修建此矩形场地围墙总费用为墙总费用为y(单位：元单位：元).第35页(1)将将y表示为表示为x函数；函数；(2)试确定试确定x，使修建此矩形场地围墙总费用最小，使修建此矩形场地围墙总费用最小，并求出最小总费用并求出最小总费用.思绪点拨思绪点拨第36页课堂笔记课堂笔记(1)如图，设矩形另一边长为如图，设矩形另一边长为am，则则y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知由已知xa360，得，得a，所以所以y225x360(x0).第37页(2)x0，225x210800.y225x36010440.当且仅当当且仅当225x时，等号成立时，等号成立.即当即当x24m时，修建围墙总费用最小，最小总费时，修建围墙总费用最小，最小总费用是用是10440元元.第38页 以选择题或填空题形式考查均值不等式在求最值中应用，是高考对本节内容常规考法近几年高考中屡次出现应用均值不等式求最值应用题，如湖北、江苏高考，符合新课标对学生应用所学知识分析处理实际问题能力要求，仍是今后高考对本节内容一个考查方向 第39页考题印证考题印证(江苏高考江苏高考)(12分分)按照某学者理论，假设一个人生产某按照某学者理论，假设一个人生产某产品单件成本为产品单件成本为a元，假如他卖出该产品单价为元，假如他卖出该产品单价为m元，则他元，则他满意度为满意度为假如他买进该产品单价为假如他买进该产品单价为n元，则他满意度元，则他满意度为为.假如一个人对两种交易假如一个人对两种交易(卖出或买进卖出或买进)满意度分别为满意度分别为h1和和h2，则他对这两种交易综合满意度为，则他对这两种交易综合满意度为第40页现假设甲生产现假设甲生产A、B两种产品单件成本分别为两种产品单件成本分别为12元和元和5元，乙生产元，乙生产A、B两种产品单件成本分别为两种产品单件成本分别为3元和元和20元，设元，设产品产品A、B单价分别为单价分别为mA元和元和mB元，甲买进元，甲买进A与卖出与卖出B综合综合满意度为满意度为h甲甲，乙卖出，乙卖出A与买进与买进B综合满意度为综合满意度为h乙乙.第41页(1)求求h甲甲和和h乙乙关于关于mA、mB表示式；当表示式；当mAmB时，时，求证：求证：h甲甲h乙乙；(2)设设mAmB，当，当mA、mB分别为多少时，甲、分别为多少时，甲、乙两人综合满意度均最大？最大综合满意度为多少？乙两人综合满意度均最大？最大综合满意度为多少？(3)记记(2)中最大综合满意度为中最大综合满意度为h0，试问能否适当选，试问能否适当选取取mA、mB值，使得值，使得h甲甲h0和和h乙乙h0同时成立，但等号不同时成立，但等号不一样时成立？试说明理由一样时成立？试说明理由.第42页【解解】设设mAx，mBy.(1)甲买进产品甲买进产品A满意度：满意度：h1甲甲；甲卖出产品；甲卖出产品B满意满意度：度：h2甲甲；甲买进产品；甲买进产品A和卖出产品和卖出产品B综合满意度：综合满意度：h甲甲；3分分同理，乙卖出产品同理，乙卖出产品A和买进产品和买进产品B综合满意度：综合满意度：h乙乙4分分当当xy时，时，第43页故故h甲甲h乙乙.6分分第44页(2)当当xy时，时，由由(1)知知h甲甲h乙乙，因为因为，且等号成立当且仅当且等号成立当且仅当y10时成立时成立.当当y10时，时，x6.所以，当所以，当mA6，mB10时，甲、乙两人综合满意度均时，甲、乙两人综合满意度均最大，且最大综合满意度为最大，且最大综合满意度为.8分分第45页(3)由由(2)知知h0.因为因为h甲甲h乙乙10分分所以，当所以，当h甲甲，h乙乙时，有时，有h甲甲h乙乙.所以，不能取到所以，不能取到mA，mB值，使得值，使得h甲甲h0和和h乙乙h0同时成立，同时成立，但等号不一样时成立但等号不一样时成立.12分分第46页自主体验自主体验某养殖厂需定时购置饲料，已知该厂天天需要饲料某养殖厂需定时购置饲料，已知该厂天天需要饲料200千克，每千克饲料价格为千克，每千克饲料价格为1.8元，饲料保管与其它费元，饲料保管与其它费用为平均每千克天天用为平均每千克天天0.03元，购置饲料每次支付运费元，购置饲料每次支付运费300元元.(1)求该厂多少天购置一次饲料才能使平均天天支付求该厂多少天购置一次饲料才能使平均天天支付总费用最少？总费用最少？(2)若提供饲料企业要求，当一次购置饲料不少于若提供饲料企业要求，当一次购置饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价即为原价85%).问该厂是否问该厂是否能够考虑利用此优惠条件？请说明理由能够考虑利用此优惠条件？请说明理由.第47页解：解：(1)设该厂应隔设该厂应隔x(xN)天购置一次饲料，平均天天购置一次饲料，平均天天支付总费用为天支付总费用为y1.饲料保管与其它费用天天比前一天少饲料保管与其它费用天天比前一天少2000.036(元元)，x天饲料保管与其它费用共是天饲料保管与其它费用共是6(x1)6(x2)63x23x(元元).第48页从而有从而有1y(3x23x300)2001.83x357417.当且仅当当且仅当3x，即，即x10时，时，y1有最小值有最小值.即每隔即每隔10天购置一次饲料才能使平均天天支付总费用最天购置一次饲料才能使平均天天支付总费用最少少.第49页(2)若厂家利用此优惠条件，则最少若厂家利用此优惠条件，则最少25天购置一次天购置一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天天(x25)购置一购置一次饲料，平均天天支付总费用为次饲料，平均天天支付总费用为y2，则，则 y2(3x23x300)2001.80.853x303(x25).y23，第50页当当x25时，时，y20，即函数，即函数y2在在25，)上是上是增函数，增函数，当当x25时，时，y2取得最小值为取得最小值为390.而而390417，该厂能够接收此优惠条件该厂能够接收此优惠条件.第51页第52页1.以下结论正确是以下结论正确是()A.当当x0且且x1时，时，lgx2B.当当x0时，时，2C.当当x2时，时，x最小值为最小值为2D.当当00，22，当且仅当当且仅当，即，即x1时，等号成立时，等号成立.答案：答案：B第54页2设设a，b R，已知命题，已知命题p：ab；命题；命题q：()2，则，则p是是q成立成立()A必要不充分条件必要不充分条件B充分无须要条件充分无须要条件C充分必要条件充分必要条件D既不充分也无须要条件既不充分也无须要条件解析：解析：命题命题p：ab是命题是命题q：()2等号成立等号成立充分条件充分条件答案：答案：B 第55页3.(天津高考天津高考)设设x，yR，a1，b1.若若axby3，ab2，则，则最大值为最大值为()A.2B.C.1D.第56页解析：解析：axby3，xloga3，ylogb3，log3alog3blog3ablog3log331.答案：答案：C第57页4.已知已知0 x，则函数，则函数y5x(34x)最大值为最大值为.解析：解析：因为因为0 x，所以，所以x0，所以所以y5x(34x)20 x(x)20当且仅当当且仅当xx，即即x时等号成立时等号成立.答案：答案：第58页5.设设x，y，z为正实数，满足为正实数，满足x2y3z0，则则最小值是最小值是.解析：解析：由由x2y3z0得得y，代入代入得得3，当且仅当当且仅当x3z时取时取“”.答案：答案：3第59页6.某学校拟建一块周长为某学校拟建一块周长为400m操场如图所表示，操场两操场如图所表示，操场两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操普通安排在矩头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操普通安排在矩形区域，为了能让学生做操区域尽可能大，试问怎样形区域，为了能让学生做操区域尽可能大，试问怎样设计矩形长和宽？设计矩形长和宽？第60页解：解：设矩形长为设矩形长为xm，半圆直径是，半圆直径是d，中间矩形，中间矩形区域面积为区域面积为Sm2.由题知：由题知：Sdx，且，且2xd400.S(d)(2x)当且仅当当且仅当d2x200，即，即x100时等号成立时等号成立.此时，此时，d故设计矩形长为故设计矩形长为100m，宽约为，宽约为63.7m时，矩形面积最大时，矩形面积最大 第61页