大学概率论总复习.市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

概率论概率论 总复习总复习第1页第一章第一章 随机事件随机事件第一节第一节 样本空间和随机事件样本空间和随机事件第二节第二节 事件关系和运算事件关系和运算第2页第一章第一章 基本知识点基本知识点1.概率论概率论概率论就是研究随机现象统计规律性数学学科概率论就是研究随机现象统计规律性数学学科2.确定性现象与随机现象确定性现象与随机现象3.随机试验随机试验(1)试验在相同条件下可重复进行试验在相同条件下可重复进行(2)每次试验结果含有各种可能性，而且在试验之前每次试验结果含有各种可能性，而且在试验之前 能够确定试验全部可能结果能够确定试验全部可能结果(3)每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果 第3页 在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大 量重复试验中含有某种规律性事件叫做随机量重复试验中含有某种规律性事件叫做随机 事件，简称事件事件，简称事件 4.随机事件随机事件5.样本点样本点6.样本空间样本空间随机试验中每一个可能出现试验结果称为随机试验中每一个可能出现试验结果称为这个试验一个样本点，记作这个试验一个样本点，记作 全体样本点组成集合称为这个试验样本空间，全体样本点组成集合称为这个试验样本空间，记作记作即即第4页仅含一个样本点随机事件称为基本事件仅含一个样本点随机事件称为基本事件 7.随机事件随机事件 含有多个样本点随机事件称为复合事件含有多个样本点随机事件称为复合事件 8.必定事件必定事件一次随机试验中，必定会发生随机事件一次随机试验中，必定会发生随机事件.9.不可能事件不可能事件一次随机试验中，不可能会发生随机事件一次随机试验中，不可能会发生随机事件.第5页给定一个随机试验，设给定一个随机试验，设为其样本空间，则：为其样本空间，则：事件事件事件之间关系事件之间关系集合集合集合之间关系集合之间关系10.事件关系和运算事件关系和运算事件运算事件运算集合运算集合运算概率论概率论集合论集合论随机事件随机事件A，B，.子集子集A，B，.随机事件随机事件间关系间关系各种集合各种集合间关系间关系第6页概率论与集合论之间关系概率论与集合论之间关系概率论概率论集合论集合论样本空间样本空间全集全集必定事件必定事件全集全集不可能事件不可能事件空集空集子事件子事件子集子集并事件并事件并集并集交事件交事件交集交集差事件差事件差集差集对立事件对立事件补集补集第7页第二章第二章 事件概率事件概率第一节第一节 概率概念概率概念第二节第二节 古典概型古典概型第三节第三节 几何概型几何概型第四节第四节 概率公理化定义概率公理化定义第8页第二章第二章 基本知识点基本知识点1.随机事件频率随机事件频率 设随机事件设随机事件A在在n次随机试验中出现了次随机试验中出现了r次，次，则称这则称这n次试验中事件次试验中事件A出现频率为：出现频率为：随机事件随机事件A在相同条件下重复屡次时，事件在相同条件下重复屡次时，事件 A 发生频率在一个固定数值发生频率在一个固定数值p附近摆动，附近摆动，伴随试验次数增加愈加显著伴随试验次数增加愈加显著.2.频率稳定性频率稳定性第9页对任意事件对任意事件A，在相同条件下重复进行，在相同条件下重复进行n 次试验，事件次试验，事件A 发生频率伴随试验次数发生频率伴随试验次数增大而稳定地在某个常数增大而稳定地在某个常数p附近摆动附近摆动,那么那么称称p为事件为事件A概率，记为概率，记为事件事件A频率频率3.概率统计定义概率统计定义事件事件A概率概率当试验次数足够大时当试验次数足够大时近似地代替近似地代替事件事件A概率概率准确数值准确数值频率稳定值频率稳定值概率概率事件事件A第10页(1)有限性：有限性：各个可能结果出现是等可能各个可能结果出现是等可能.试验可能结果只有有限个；试验可能结果只有有限个；(2)等可能性：等可能性：4.古典概型：古典概型：古典概型基本特征：古典概型基本特征：样本空间样本空间是个有限集是个有限集基本事件概率均相同基本事件概率均相同第11页 5.概率古典定义概率古典定义对于古典概型：对于古典概型：(1)设全部可能试验结果组成样本空间为：设全部可能试验结果组成样本空间为：(2)事件事件其中其中 为为1,2,n中中r个不一样数个不一样数则定义事件则定义事件A概率为：概率为：第12页6.几何概型几何概型古典概型中有限性推广到古典概型中有限性推广到无限性无限性，而保留，而保留等可能性等可能性事件事件A“随机点落在随机点落在中子区域中子区域SA中中”长度、面积或体积长度、面积或体积 1.基本特征：基本特征：(1)有一个可度量几何图形有一个可度量几何图形(2)试验试验E看成在看成在中随机一点中随机一点第13页设随机试验样本空间为设随机试验样本空间为，若对任一，若对任一事件事件A，有且只有一个实数，有且只有一个实数P(A)与之对应，与之对应，满足以下公理：满足以下公理：(1)非负性非负性：(2)规范性：规范性：(3)完全可加性完全可加性：7.概率公理化定义概率公理化定义对任意一列两两互斥事件对任意一列两两互斥事件A1，A2，有：，有：则称则称P(A)为事件为事件A概率概率第14页8.概率性质概率性质 不可能事件概率为零不可能事件概率为零性质性质1性质性质2逆事件概率逆事件概率性质性质3对任意有限个互斥事件对任意有限个互斥事件A1，A2，An，有：有：互不相容事件概率有限可加性互不相容事件概率有限可加性性质性质4加法定理加法定理性质性质5 若若 ，则：，则：且且差事件概率差事件概率第15页BCA性质性质6加法定理推广形式加法定理推广形式第16页第三章第三章 条件概率与事件独立性条件概率与事件独立性第一节第一节 条件概率条件概率第二节第二节 全概率公式全概率公式第三节第三节 贝叶斯公式贝叶斯公式第四节第四节 事件独立性事件独立性第五节第五节 伯努利试验和二项概率伯努利试验和二项概率第六节第六节 主观概率主观概率第17页第三章第三章 基本知识点基本知识点设设A，B为同一随机试验中两个随机事件为同一随机试验中两个随机事件,且且 P(A)0，则称已知则称已知A发生条件下发生条件下B发生发生概率为概率为B条件概率，记为条件概率，记为 1.条件概率定义条件概率定义2.乘法定理乘法定理第18页设设A1，A2，.，An 组成一个完备事件组，组成一个完备事件组，且且P(Ai)0(i1，2，.，n)，则对任一随机，则对任一随机事件事件B，有，有:3.全概率公式全概率公式第19页 设设A1，A2，,An组成完备事件组，且每个组成完备事件组，且每个 P(Ai)0，B为样本空间任意事件且为样本空间任意事件且P(B)0,则有：则有：4.贝叶斯公式贝叶斯公式P(BA)=P(B)5.事件独立定义事件独立定义A与与B相互独立相互独立充要条件充要条件第20页假如事件假如事件A，B，C满足满足:(a)P(AB)=P(A)P(B)(b)P(AC)=P(A)P(C)(c)P(BC)=P(B)P(C)则称事件则称事件A，B，C两两独立两两独立.6.事件独立性推广事件独立性推广(1)事件事件A，B，C两两独立两两独立：假如事件假如事件A，B，C满足满足:(a)P(AB)=P(A)P(B)(b)P(AC)=P(A)P(C)(c)P(BC)=P(B)P(C)(d)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件则称事件A，B，C相互独立相互独立.(2)事件事件A，B，C相互独立相互独立：第21页在在n重独立重复试验中，若每次试验只有两种可重独立重复试验中，若每次试验只有两种可能结果：能结果：A及及 ，且，且A在每次试验中发生概在每次试验中发生概率为率为p，则称其为，则称其为n重贝努利试验重贝努利试验，简称贝努利，简称贝努利试验试验.7.贝努利试验贝努利试验8.二项概率：二项概率：设在一次试验中事件设在一次试验中事件A发生概率为发生概率为 p(0p 0,则在条件则在条件Y=yj下下X=xi条条件概率为：件概率为：10.离散型随机变量条件分布律离散型随机变量条件分布律:称这个分布为称这个分布为在给定在给定Y=yj条件下条件下X条件分布律条件分布律.表格形式：表格形式：概率概率第39页(2)设设(X,Y)为二维离散型随机变量，其分布律已知为二维离散型随机变量，其分布律已知.假设假设P(X=xi)0,则在条件则在条件X=xi下下Y=yj 条件概率为：条件概率为：称这个分布为称这个分布为在给定在给定X=xi条件下条件下Y条件分布律条件分布律.表格形式：表格形式：概率概率第40页(1)对于二维连续型随机变量对于二维连续型随机变量(X,Y)，其分布已知，其分布已知.要求要求在给定在给定Y=y条件下条件下X条件分布条件分布为一个为一个 连续型分布，它条件密度函数为：连续型分布，它条件密度函数为：11.连续型随机变量条件分布律连续型随机变量条件分布律:(2)对于二维连续型随机变量对于二维连续型随机变量(X,Y)，其分布已知，其分布已知.要求要求在给定在给定X=x条件下条件下Y条件分布条件分布为一个为一个 连续型分布，它条件密度函数为：连续型分布，它条件密度函数为：第41页第六章第六章 随机变量函数及其分布随机变量函数及其分布第一节第一节 一维随机变量函数及其分布一维随机变量函数及其分布第二节第二节 二维随机变量函数分布二维随机变量函数分布第42页第六章第六章 基本知识点基本知识点若若X为离散型随机变量为离散型随机变量,其分布律为其分布律为则随机变量则随机变量X函数函数Y=g(X)分布律为分布律为1.离散型随机变量函数分布离散型随机变量函数分布概率概率概率概率第43页设设X为连续型随机变量，其概率密度函数为为连续型随机变量，其概率密度函数为f(x).y=g(x)是是一个连续函数，则：一个连续函数，则：(1)求随机变量求随机变量Y=g(X)分布函数分布函数 FY(y)为：为：(2)随机变量随机变量Y=g(X)概率密度函数概率密度函数 fY(y)为：为：2.连续型随机变量函数分布连续型随机变量函数分布第44页3.二维离散型随机变量函数分布二维离散型随机变量函数分布设设(X,Y)是二维离散型随机变量，其联合是二维离散型随机变量，其联合分布律为分布律为 g(x,y)是一个二元函数，是一个二元函数，Z=g(X,Y)是二是二维随机变量维随机变量(X,Y)函数，则随机变量函数，则随机变量Z分布律为：分布律为：第45页4.二维连续型随机变量函数分布二维连续型随机变量函数分布Z分布密度函数为：分布密度函数为：(1)(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量Z分布函数为：分布函数为：假设：假设：(2)(X,Y)联合分布函数为联合分布函数为F(x,y)(3)Z=g(X,Y)是随机变量是随机变量X,Y二元函数二元函数第46页第七章第七章 随机变量数字特征随机变量数字特征第一节第一节 数学期望数学期望第二节第二节 方差和标准差方差和标准差第三节第三节 协方差和相关系数协方差和相关系数第四节第四节 切比雪夫不等式及大数律切比雪夫不等式及大数律第五节第五节 中心极限定理中心极限定理第47页第七章第七章 基本知识点基本知识点设离散型随机变量概率分布律为设离散型随机变量概率分布律为 1.离散型随机变量数学期望离散型随机变量数学期望则随机变量则随机变量X数学期望为：数学期望为：定义：定义：即即概率概率2.连续型随机变量数学期望连续型随机变量数学期望E(X)第48页3.二维随机变量数学期望及边缘分布数学期望二维随机变量数学期望及边缘分布数学期望(1)(X,Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量(2)(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量第49页4.随机变量函数数学期望随机变量函数数学期望定理定理1：设设Y=g(X)是随机变量是随机变量X函数，函数，离散型离散型连续型连续型 概率密度为概率密度为一维情形一维情形第50页定理定理2：联合概率密度为联合概率密度为 设设Z=g(X,Y)是随机变量是随机变量 X,Y函数，函数，连续型连续型离散型离散型 二维情形二维情形第51页5.方差方差6.标准差标准差(均方差均方差)注：注：方差计算方法方差计算方法(1)(2)惯用简便方法惯用简便方法描述数据分散程度指标描述数据分散程度指标第52页7.一维随机变量方差一维随机变量方差设离散型随机变量设离散型随机变量X概率分布为概率分布为(1)离散型离散型(2)连续型连续型设连续型随机变量设连续型随机变量X分布密度为分布密度为 f(x)第53页0-1分布分布3.常见分布及其期望和方差常见分布及其期望和方差方差方差D(X)数学期望数学期望E(X)常见分布常见分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布正态分布正态分布指数分布指数分布第54页8.二维随机变量方差二维随机变量方差9.随机变量随机变量X和和Y协方差定义：协方差定义：第55页