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线性代数线性代数第第1页页第一章第一章 行列式行列式第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算第三章第三章 矩阵初等变换及线性方程组矩阵初等变换及线性方程组第四章第四章 向量组线性相关性向量组线性相关性第五章第五章 相同矩阵及二次型相同矩阵及二次型第第2页页一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式用消元法解二元用消元法解二元(一次一次)线性方程组线性方程组:第一章第一章 行列式行列式(1)(2)(1)a22:a11a22x1+a12a22x2=b1a22,(2)a12:a12a21x1+a12a22x2=b2a12,两式相减消去两式相减消去x2,得得(a11a22 a12a21)x1=b1a22 b2a12;1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式第第3页页方程组解为方程组解为由方程组四个系数确定由方程组四个系数确定.第第4页页 由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）数表数表定义定义定义定义即即第第5页页主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式计算二阶行列式计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式第第6页页第第7页页第第8页页第第9页页则二元线性方程组解为则二元线性方程组解为第第10页页例例例例1 1 1 1解解第第11页页二、三阶行列式定义定义定义定义记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定）所确定三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.第第12页页(1)(1)沙路法沙路法三阶行列式计算三阶行列式计算.列标列标行标行标第第13页页(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素乘积冠以正号，蓝线上三元素乘积冠以负号元素乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适合用于二阶与三阶行列式对角线法则只适合用于二阶与三阶行列式第第14页页 假如三元线性方程组假如三元线性方程组系数行列式系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2.三阶行列式包含三阶行列式包含3!3!项项,每一项都是位于不一样行每一项都是位于不一样行,不一样列三个元素乘积不一样列三个元素乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为负负.第第15页页若记若记或或第第16页页记记即即第第17页页第第18页页得得第第19页页得得第第20页页则三元线性方程组解为则三元线性方程组解为:第第21页页例例例例 解解解解按对角线法则，有按对角线法则，有第第22页页例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端第第23页页例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解因为方程组系数行列式因为方程组系数行列式第第24页页同理可得同理可得故方程组解为故方程组解为:第第25页页 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入程组引入.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式计算二阶与三阶行列式计算三、小结第第26页页思索题思索题第第27页页思索题解答思索题解答解解设所求二次多项式为设所求二次多项式为由题意得由题意得得一个关于未知数得一个关于未知数 线性方程组线性方程组,又又得得第第28页页故所求多项式为故所求多项式为第第29页页1.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 引例引例:用用1,2,3三个数字三个数字,能够组成多少个没有重能够组成多少个没有重复数字三位数？复数字三位数？这是一个大家熟知问题这是一个大家熟知问题,答案是答案是:3!=6.将此问题将此问题推广推广:把把n个不一样元素按先后次序排成个不一样元素按先后次序排成一列一列,共有多少种不一样排法共有多少种不一样排法.定义定义:把把 n 个不一样元素排成一列个不一样元素排成一列,叫做这叫做这 n 个元个元素素全排列全排列(或或排列排列).n 个不一样元素全部排列种数个不一样元素全部排列种数,通惯用通惯用 Pn 表示表示,称为称为排列数排列数.Pn=n (n1)(n2)2 1=n!一、全排列一、全排列第第30页页二、排列逆序数二、排列逆序数 定义定义:在一个排列在一个排列 i1 i2 is it in 中中,若数若数 isit,则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序.比如比如:排列排列32514 中中,我们要求各元素之间有一个标准次序我们要求各元素之间有一个标准次序.以以 n 个不个不一样自然数为例一样自然数为例,要求要求由小到大为标准次序由小到大为标准次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序 定义定义:一个排列中全部一个排列中全部逆序逆序总数称为此总数称为此排列排列逆序逆序数数.前面数比后前面数比后面数大面数大第第31页页3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31故此排列逆序数为故此排列逆序数为:3+1+0+1+0=0+1+0+3+1=5.比如比如:排列排列32514 中中,计算排列逆序数方法计算排列逆序数方法逆序数为奇数排列称为逆序数为奇数排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数排列称为逆序数为偶数排列称为偶排列偶排列.方法方法1:分别计算出排在分别计算出排在1,2,n 前面比它大数码前面比它大数码个数并求和个数并求和,即先分别算出即先分别算出 1,2,n 这这 n 个元素逆序个元素逆序数数,则全部元素逆序数总和即为所求排列逆序数则全部元素逆序数总和即为所求排列逆序数.第第32页页 方法方法2:依次计算出排列中每个元素依次计算出排列中每个元素前面比它大前面比它大数数码个数并求和码个数并求和,即算出排列中每个元素逆序数即算出排列中每个元素逆序数,则全部则全部元素逆序数之总和即为所求排列逆序数元素逆序数之总和即为所求排列逆序数.方法方法3:依次计算出排列中每个元素依次计算出排列中每个元素后面比它小后面比它小数数码个数并求和码个数并求和,即算出排列中每个元素逆序数即算出排列中每个元素逆序数,则全部则全部元素逆序数之总和即为所求排列逆序数元素逆序数之总和即为所求排列逆序数.第第33页页例例1:求排列求排列32514逆序数逆序数.解解:在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,则则3逆序为逆序为0;2前面比前面比2大数只有一个大数只有一个3,故故2逆序为逆序为1;3 2 5 1 4没有比没有比5大数大数,故其逆序为故其逆序为0;个个,故其逆序为故其逆序为3;4前面比前面比4大数有大数有1个个,故逆序为故逆序为1.5前面前面1前面比前面比1大数有大数有3即即于是排列于是排列32514逆序数为逆序数为 t=0+1+0+3+1=5.第第34页页解解:此排列为此排列为偶排列偶排列.例例2:计算以下排列逆序数计算以下排列逆序数,并讨论其奇偶性并讨论其奇偶性.(1)217986354.2 1 7 9 8 6 3 5 40 1 0 0 1 3 4 4 5于是排列于是排列217986354逆序数为逆序数为:t=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18.(2)n(n1)(n2)21解解:n(n1)(n2)2 1012(n1)(n2)t=0+1+2+(n2)+(n1)于是排列于是排列n(n1)(n2)21逆序数为逆序数为:第第35页页 此排列当此排列当 n=4k,4k+1 时为偶排列时为偶排列;当当 n=4k+2,4k+3 时为奇排列时为奇排列.(3)(2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3)(k1)(k+1)k.(2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3)(k1)(k+1)k解解:0121233(k1)(k1)kt=0+1+1+2+2+(k1)+(k1)+k于是排列于是排列(2k)1(2k1)2(2k2)(k1)(k+1)k逆序数为逆序数为:此排列当此排列当 k 为偶数时为偶排列为偶数时为偶排列,当当 k为奇数时为奇为奇数时为奇排列排列.第第36页页1.n个不一样元素全部排列种数为个不一样元素全部排列种数为n!个个;2.排列含有奇偶性排列含有奇偶性;3.计算排列逆序数惯用方法计算排列逆序数惯用方法.三、小结三、小结第第37页页1.3 n 阶行列式定义阶行列式定义一、概念引入一、概念引入三阶行列式三阶行列式说明说明(1)三阶行列式共有三阶行列式共有6项项,即即3!项项.说明说明(2)每项都是位于不一样行不一样列三个元每项都是位于不一样行不一样列三个元素乘积素乘积.说明说明(3)每项正负号都取决于位于不一样行不一每项正负号都取决于位于不一样行不一样列三个元素列标排列逆序数样列三个元素列标排列逆序数(行标为标准排列行标为标准排列).第第38页页 比如比如 a13a21a32,将行下标标准排列将行下标标准排列,列下标排列列下标排列312逆序数为逆序数为t(312)=1+1=2,偶排列偶排列.a13a21a32 前面取前面取+号号.比如比如 a11a23a32,将行下标标准排列将行下标标准排列,列下标排列列下标排列132逆序数为逆序数为t(132)=0+1=1,奇排列奇排列.a11a23a32前面取前面取号号.其中其中是对列下标全部排列求和是对列下标全部排列求和(3!项项),t 是列下标排列是列下标排列 p1p2p3 逆序数逆序数.第第39页页二、二、n 阶行列式定义阶行列式定义定义定义:设由设由 n2 个数排成一个个数排成一个 n 行行 n 列数表列数表作出表中位于不一样行不一样列作出表中位于不一样行不一样列 n 个数乘积个数乘积,并冠以并冠以符号符号(1)t,得到形如得到形如 其中其中 p1p2 pn 为自然数为自然数1,2,n 一个排列一个排列,t为为排列排列p1p2 pn逆序数逆序数.项项,第第40页页全部这全部这 n!项代数和项代数和称为称为(由上述数表组成由上述数表组成)n 阶行列式阶行列式.记作记作简记作简记作 det(aij).数数 aij 称为行列式称为行列式 det(aij)(第第 i 行第行第 j 列列)元素元素.即即第第41页页 说明说明1.行列式是一个特定算式行列式是一个特定算式,它是依据求解方它是依据求解方程个数和未知量个数相同线性方程组需要而定义程个数和未知量个数相同线性方程组需要而定义;说明说明2.n 阶行列式是阶行列式是 n!项代数和项代数和;说明说明3.n 阶行列式每项都是位于不一样行阶行列式每项都是位于不一样行,不一不一样列样列 n 个元素乘积个元素乘积,符号为符号为(1)t;说明说明4.一阶行列式符号一阶行列式符号|a|=a,不要与绝对值符不要与绝对值符号相混同号相混同,普通不使用此符号普通不使用此符号.第第42页页例例1:计算对角行列式计算对角行列式解解:分析分析.展开式中项普通形式是展开式中项普通形式是从而这个项为零从而这个项为零,同理可得同理可得:p2=3,p3=2,p4=1.所以只能所以只能 p1=4;若若p1 4,则则即行列式中非零项为即行列式中非零项为:(1)t(4321)a14 a23 a32 a41即即第第43页页例例2:计算计算上三角行列式上三角行列式解解:分析分析展开式中项普通形式是展开式中项普通形式是所以非零项只可能是所以非零项只可能是:a11 a22 ann.从最终一行开始讨论非零项从最终一行开始讨论非零项.显然显然pn=n,pn1=n1,pn2=n2,p2=2,p1=1,即即第第44页页显然显然=1 4 5 8同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式第第45页页对角行列式对角行列式第第46页页例例5:设设证实证实:D1=D2.中中b指数恰好是指数恰好是a行标与列标差行标与列标差第第47页页证证:由行列式定义有由行列式定义有第第48页页第第49页页因为因为 p1+p2+pn=1+2+n,所以所以故故第第50页页 行列式是一个依据特殊需要而定义行列式是一个依据特殊需要而定义特定算式特定算式.n 阶行列式共有阶行列式共有n!项项,每项都是位于不一样行每项都是位于不一样行,不一样列不一样列 n 个元素乘积个元素乘积,正负号由下标排列逆序数决定正负号由下标排列逆序数决定.三、小结三、小结第第51页页思索题思索题已知多项式已知多项式求求 x3 系数系数.思索题解答思索题解答含含 x3 项有仅两项项有仅两项,即即对应于对应于=x3+(2x3)故故 x3 系数为系数为(1).(1)t(1234)a11a22a33a44+(1)t(1243)a11a22a34a43第第52页页一、对换定义一、对换定义1.4 对对 换换 定义定义:在排列中在排列中,将任意两个元素对调将任意两个元素对调,其余元素其余元素不动不动,这种作出新排列手续叫做这种作出新排列手续叫做对换对换 将相邻两个元素对调将相邻两个元素对调,叫做叫做相邻对换相邻对换.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bma1 a2 al a b1 bm b c1 cna1 a2 al b b1 bm a c1 cn比如比如第第53页页二、对换与排列奇偶性关系二、对换与排列奇偶性关系 定理定理1:一个排列中任意两个元素对换一个排列中任意两个元素对换,排列改变排列改变奇偶性奇偶性.对换对换 a与与b即除即除 a,b 外外,其它元素逆序数不改变其它元素逆序数不改变.证实证实:先考虑相邻对换情形先考虑相邻对换情形.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bm比如比如所以所以,相邻对换排列改变奇偶性相邻对换排列改变奇偶性.当当 ab 时时,对换后对换后 a 逆序数不变逆序数不变,b 逆序数增加逆序数增加1;第第54页页次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性奇偶性奇偶性.对普通对换情形对普通对换情形,比如比如a1a2alab1bmbc1cna1a2albb1bmac1cn对换对换 a与与b第第56页页 推论推论:奇排列调成标准排列对换次数为奇数奇排列调成标准排列对换次数为奇数,偶排偶排列调成标准排列对换次数为偶数列调成标准排列对换次数为偶数.证实证实:由定理由定理1知知,对换次数就是排列奇偶性对换次数就是排列奇偶性改变次数改变次数,而标准排列是偶排列而标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0),论成立论成立.所以所以,推推第第57页页下面讨论下面讨论行列式另一个定义行列式另一个定义形式形式.对于行列式任一项对于行列式任一项其中其中12ijn为自然排列为自然排列,其逆序数其逆序数0,t 为列标排列为列标排列p1p2pipjpn逆序数逆序数,对换元素对换元素第第58页页 此时此时,行标排列行标排列12jin逆序为奇数逆序为奇数,而列标排而列标排列列p1p2pjpipn逆序也改变了一次奇偶性逆序也改变了一次奇偶性.换后换后行标排列逆序与列标排列逆序之和行标排列逆序与列标排列逆序之和奇偶性不变奇偶性不变,即即t(1jin)+t(p1pjpipn)与与t(p1pipjpn)含含有相同奇偶性有相同奇偶性.所以所以,对对故故第第59页页 普通地普通地,经过若干次对换行列式任一项乘积元素经过若干次对换行列式任一项乘积元素位置后得到符号仍为位置后得到符号仍为(1)t.所以所以,总能够经过总能够经过若干次对换行列式任一项若干次对换行列式任一项,得得其中其中 s 为行下标排列为行下标排列 q1q2 qn 逆序数逆序数.第第60页页定理定理2:n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中s为行标排列为行标排列q1q2qn逆序数逆序数,并按行标排列求和并按行标排列求和.定理定理3:n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 t 为行标排列为行标排列 p1p2pn与列标排列与列标排列 q1q2qn逆序逆序数之和数之和.并按行标排列并按行标排列(或列标排列或列标排列)求和求和.所以所以,我们能够得到行列式另一个定义形式我们能够得到行列式另一个定义形式:依据以上讨论依据以上讨论,还能够以下定义还能够以下定义第第61页页 例例1:试判断试判断 a14a23a31a42a56a65 和和a32a43a14a51a25a66是否六阶行列式中项是否六阶行列式中项.解解:a14a23a31a42a56a65行标为次序排列行标为次序排列,列标排列逆列标排列逆序数为序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数偶数)所以所以 a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中项是六阶行列式中项.将将a32a43a14a51a25a66行标按标准次序排列行标按标准次序排列,则其列则其列标排列逆序数为标排列逆序数为:t(452316)=0+0+2+2+4+0=8(偶数偶数)所以所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中项不是六阶行列式中项.第第62页页 解解:将将a23a31a42a56a14a65行标按标准次序排列行标按标准次序排列,则其则其列标排列逆序数为列标排列逆序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数偶数)所以所以 a23a31a42a56a14a65 前边应带正号前边应带正号.例例2:在六阶行列式中在六阶行列式中,以下两项各应带什么符号以下两项各应带什么符号.(1)a23a31a42a56a14a65;(2)a32a43a14a51a66a25.第第63页页 项项a32a43a14a51a66a25行下标与列下标逆序数之和为行下标与列下标逆序数之和为 t(341562)+t(234165)=(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)=6+4=10(偶数偶数)所以所以 a32a43a14a51a66a25前边应带正号前边应带正号.第第64页页例例3:用行列式定义计算用行列式定义计算解解:因为行列式因为行列式Dn每行每列中仅有一个非零元素每行每列中仅有一个非零元素,所以所以Dn=(1)t a1 n-1 a2 n-2 an-1 1 an nDn=(1)t 12(n1)n=(1)t n!即即而而t=t(n1)(n2)21 n =0+1+2+(n3)+(n2)+0=(n1)(n2)/2所以所以第第65页页三、小结三、小结1.对换排列中任意两个元素对换排列中任意两个元素,排列改变奇偶性排列改变奇偶性.2.行列式三种定义方法行列式三种定义方法:其中其中 r 为行标排列为行标排列 p1p2pn与列标排列与列标排列 q1q2qn逆序逆序数之和数之和.并按行标排列并按行标排列(或列标排列或列标排列)求和求和.第第66页页思索题思索题证实在全部证实在全部 n 阶排列中阶排列中(n 2),奇偶排列各占二分之一奇偶排列各占二分之一.思索题解答思索题解答 证证:设在全部设在全部 n阶排列中有阶排列中有s个奇排列个奇排列,t 个偶排列个偶排列,则则 s+t=n！现来证！现来证 s=t.若若将全部将全部 s个奇排列前两个数作对换个奇排列前两个数作对换,则这则这 s 个奇个奇排列全变成偶排列排列全变成偶排列,故必有故必有s=t=若若将全部将全部 t 个偶排列前两个数作对换个偶排列前两个数作对换,则这则这 t 个偶个偶排列全变成奇排列排列全变成奇排列,如此产生如此产生 s 个偶排列不会超个偶排列不会超过全部过全部 s 个奇排列个奇排列,所以所以 t s.过全部过全部 t 个偶排列个偶排列,所以所以 s t.如此产生如此产生 t 个奇排列不会超个奇排列不会超第第67页页1.5 行列式性质行列式性质 一、行列式性质一、行列式性质行列式行列式DT称为行列式称为行列式D转置行列式转置行列式.记记将将D行列交换就得到行列交换就得到第第68页页证实证实:记行列式记行列式 D=det(aij)转置行列式为转置行列式为:性质性质性质性质1:1:行列式与它转置行列式相等行列式与它转置行列式相等,即即DT=D.按定义按定义即即 bij=aji(i,j=1,2,n),第第69页页又由行列式另一个表示得又由行列式另一个表示得,所以所以,DT=D,结论成立结论成立 说明说明:性质性质1行列式中行与列含有同等地位行列式中行与列含有同等地位,所以行所以行列式性质凡是对行成立结论列式性质凡是对行成立结论,对列也一样成立对列也一样成立.第第70页页性质性质性质性质2:2:交换行列式两行交换行列式两行(列列),行列式变号行列式变号.证实证实证实证实:设行列式设行列式第第71页页是由行列式是由行列式交换交换 i,j(i j)两列得到两列得到.即即,当当 k i,j 时时,bpk=apk;当当 k=i,j 时时,bpi=apj,bpj=api;第第72页页于是于是其中其中 t 为排列为排列 p1 pi pj pn逆序数逆序数,设设 s 为排列为排列p1 pj pi pn逆序数逆序数.显然显然 t 与与 s 奇偶性不一样奇偶性不一样,即即(1)t=(1)s,所以所以,第第73页页比如比如第第74页页 推论推论:假如行列式有两行假如行列式有两行(列列)完全相同完全相同,则此行列则此行列式为零式为零.证实证实:交换交换相同两行相同两行,则有则有D=D,所以所以D=0.性质性质性质性质3:3:行列式某一行行列式某一行(列列)中全部元素都乘以同一中全部元素都乘以同一数数k,等于用数等于用数k乘此行列式乘此行列式.即即第第75页页 推论推论推论推论:行列式某一行行列式某一行(列列)中全部元素公因子能够中全部元素公因子能够提到行列式符号外面提到行列式符号外面.性质性质4:行列式中假如有两行行列式中假如有两行(列列)元素成百分比元素成百分比,则此行列式为零则此行列式为零证实证实:第第76页页 性质性质5:若行列式某一列若行列式某一列(行行)元素都是两数之和元素都是两数之和,比如比如则则D等于以下两个行列式之和等于以下两个行列式之和:第第77页页证实证实:故结论成立故结论成立.第第78页页 性质性质6:把行列式某一列把行列式某一列(行行)各元素乘以同一数然各元素乘以同一数然后加到另一列后加到另一列(行行)对应元素上去对应元素上去,行列式不变行列式不变.比如比如第第79页页 引入记号引入记号:用用 ri 表示第表示第 i 行行,ci 表示第表示第 i 列列.在计算行列式时在计算行列式时,我们经常利用我们经常利用性质性质2,3,6对行列对行列式进行变换式进行变换.利用利用性质性质2交换行列式第交换行列式第 i,j 两行两行(列列),记作记作ri rj (ci cj);利用利用性质性质6把行列式第把行列式第 j 行行(列列)各元素乘以同一数各元素乘以同一数 k 然后加到第然后加到第 i 行行(列列)对应元素上去对应元素上去,记作记作ri+rj k(ci+cj k);利用利用性质性质3行列式第行列式第 i 行行(列列)乘以数乘以数k,记作记作ri k(ci k);第第80页页二、行列式计算二、行列式计算 计算行列式惯用方法计算行列式惯用方法:利用性质利用性质2,3,6,尤其是性质尤其是性质6把行列式化为把行列式化为上上(下下)三角形行列式三角形行列式,从而从而,得到行列式得到行列式值值结论：上（下）三角行列式、主对角线行列式值结论：上（下）三角行列式、主对角线行列式值 等于其主对角元乘积等于其主对角元乘积.第第81页页例例1:计算计算5阶行列式阶行列式解解:Dr2+3r1第第82页页r3 2r1r4 3r1第第83页页r5 4r1r2 r3第第84页页r4+r2r4+r3第第85页页r5+2r3r5+2r4第第86页页例例2 计算计算解：解：第第87页页第第88页页解解:将第将第2,3,n 列都加到第一列得列都加到第一列得:例例3:计算计算 n 阶行列式阶行列式第第89页页第第2,3,n 行都减去第一行得行都减去第一行得:第第90页页例例4:设设证实证实:D=D1D2.证实证实:对对D1作行运算作行运算 ri+t rj,把把D1化为下三角形行化为下三角形行列式列式:第第91页页对对D2作列运算作列运算 ci+kcj,把把D2化为下三角形行列式化为下三角形行列式:先对先对D前前k行作行运算行作行运算 ri+trj,然后对然后对D后后n列作列列作列运算运算 ci+kcj,把把D化为下三角形行列式化为下三角形行列式:故故,D=p11 pkk q11 qnn=D1D2.第第92页页例例5 计算计算2n阶行列式阶行列式其中未写出元素为其中未写出元素为0.解：解：将将D2n中第中第2n行依次与前面行对换，行依次与前面行对换，换至换至第二行；第二行；再将再将D2n中第中第2n列依次与前面列对换，列依次与前面列对换，换至第二列，共做换至第二列，共做2(2n-2)次对换，得次对换，得第第93页页第第94页页例例6 在在n阶行列式阶行列式中，中，若若则称则称D为为对称行列式；对称行列式；若若则称则称D为为反对称行列式；反对称行列式；证实：证实：奇数阶反对称行列式值为奇数阶反对称行列式值为0.反对称行列式主对角元全为反对称行列式主对角元全为0 0第第95页页证实：证实：设设 n 阶反对称行列式为：阶反对称行列式为：由行列式性质由行列式性质1可知：可知：第第96页页每行提取（每行提取（1 1）n为奇数为奇数所以所以D0.第第97页页 行列式行列式6个性质个性质.行列式中行与列含有同等地位行列式中行与列含有同等地位,行行列式性质凡是对行成立对列也一样成立列式性质凡是对行成立对列也一样成立.计算行列式惯用方法计算行列式惯用方法:(1)利用定义利用定义;(2)利用性质把利用性质把行列式化为上行列式化为上(下下)三角形行列式三角形行列式,从而算得行列式值从而算得行列式值.三、小结三、小结思索题思索题其中已知其中已知 abcd=1.计算行列式计算行列式,第第98页页思索题解答思索题解答第第99页页第第100页页1.6 行列式按行行列式按行(列列)展开展开 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式引例引例,考查三阶行列式考查三阶行列式第第101页页 在在 n 阶行列式阶行列式D中中,把元素把元素 aij 所在第所在第 i 行和第行和第 j 列列元素划去后元素划去后,留下来留下来 n1 阶行列式叫做阶行列式叫做(行列式行列式D关于关于)元素元素aij 余子式余子式,记作记作 Mij.即即第第102页页记记 Aij=(1)i+j Mij,称称 Aij 为元素为元素 aij 代数余子式代数余子式.第第103页页比如比如第第104页页 行列式每一个元素都分别对应着唯一一个余子式行列式每一个元素都分别对应着唯一一个余子式和唯一一个代数余子式和唯一一个代数余子式.第第105页页 引理引理:假如一个假如一个 n 阶行列式阶行列式D第第 i 行元素除行元素除 aij 外外都为零都为零,那么那么,行列式行列式 D 等于等于 aij 与它代数余子式与它代数余子式 Aij乘乘积积,即即 D=aij Aij.=aij Aij.第第106页页证证:当当 aij 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,又因为又因为 A11=(1)1+1M11=M11,由上节例由上节例4,即教材中例即教材中例10得得:D=a11M11.从而从而 D=a11A11,即结论成立即结论成立.第第107页页再证普通情形再证普通情形,此时此时 把把D第第 i 行依次与第行依次与第 i 1行行,第第 i 2行行,第第1行交行交换换,得得第第108页页 再再 把把D第第 j 列依次与第列依次与第 j 1列列,第第 j 2列列,第第1列列交换交换,得得第第109页页=(1)i+j aij M 11,显然显然,M 11恰好是恰好是aij在在D中余子式中余子式Mij,即即M 11=Mij,所以所以,D=(1)i+j aij Mij=aij Aij,故引理结论成立故引理结论成立.第第110页页 定理定理3:行列式等于它任一行行列式等于它任一行(列列)各元素与其对应各元素与其对应代数余子式乘积之和代数余子式乘积之和,即即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1,2,n);D=a1iA1i+a2iA2i+aniAni (i=1,2,n).二、行列式按行二、行列式按行(列列)展开法则展开法则第第111页页证证:第第112页页D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1,2,n).由引理得由引理得:引理结论惯用以下表示式引理结论惯用以下表示式:(i=1,2,n)第第113页页 推论推论:行列式任一行行列式任一行(列列)元素与另一行元素与另一行(列列)对应元对应元素代数余子式乘积之和等于零素代数余子式乘积之和等于零,即即ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0,i j;a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0,i j.证证:把行列式把行列式D=det(aij)按第按第 j 行展开行展开,得得把把 ajk 换成换成 aik(k=1,2,n),当当 i j 时时,可得可得第第114页页第第 j 行行第第 i 行行相同相同同理同理 a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0,i j 所以所以,ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0,i j 第第115页页关于代数余子式主要性质关于代数余子式主要性质其中其中第第116页页说明：说明：由证实过程可知由证实过程可知第第117页页第第118页页例例1:计算行列式计算行列式解解:第第119页页例例2:计算行列式计算行列式解解:D第第121页页例例3:证实范德蒙德证实范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式说明：（说明：（1）范德蒙德）范德蒙德(Vandermonde)行列式特点是：行列式特点是：每列（行）元素都是分别是同一个数不一样每列（行）元素都是分别是同一个数不一样方幂，方幂次数从上到下（自左至右）按方幂，方幂次数从上到下（自左至右）按递升次序排列递升次序排列,从从0到到 n1次次.第第122页页（2）范德蒙德）范德蒙德(Vandermonde)行列式结果是行列式结果是满足条件满足条件全部因子全部因子连乘积，共有连乘积，共有个因子个因子.第第123页页证证:用数学归纳法用数学归纳法所以所以,当当 n=2 时时,(1)式成立式成立.假设对假设对 n-1 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式,(1)式成立式成立.对对 n 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式,作以下变换作以下变换,ri x1ri-1 (i=n,n1,2,1).得得第第124页页按第一列展开按第一列展开,并把每列公因子并把每列公因子(xi x1)提出提出,就就有有:n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式则依据归纳假设得证则依据归纳假设得证:第第125页页例例4:计算计算 解解:Dn中各行元素分别是同一个数不一样方幂中各行元素分别是同一个数不一样方幂,方方幂次数自左至右按递升次序排列幂次数自左至右按递升次序排列,但不是从但不是从0到到 n1,而是从而是从1递升至递升至 n.若提出各行公因子若提出各行公因子,则方幂次数便则方幂次数便是从是从0升到升到 n1,于是得于是得:第第126页页上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为 n 阶范德蒙行列式转置阶范德蒙行列式转置,由范德蒙行列式知由范德蒙行列式知评注评注:本题所给行列式各行本题所给行列式各行(列列)都是某元素不一样都是某元素不一样方幂方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同相同,需要利用行列式性质需要利用行列式性质(如提取公因子如提取公因子,调换各行调换各行(列列)次序等次序等)将此行列式化成范德蒙行列式将此行列式化成范德蒙行列式.第第127页页例例5:计算计算第第128页页解：考虑行列式解：考虑行列式是是中元素中元素余子式余子式.第第129页页首先，首先，这是一个关于这是一个关于 y n 次多项式，其中次多项式，其中系数是系数是第第130页页其次，将其次，将按最终一列展开：按最终一列展开：其中其中是是系数系数.第第131页页比较可得：比较可得：这种方法称为：加边法（升阶法）这种方法称为：加边法（升阶法）.第第132页页例例6.计算行列式计算行列式分析：元素特点是除主对角元外，第分析：元素特点是除主对角元外，第 i 列元素列元素为为第第133页页解：解：第第134页页第第135页页例例4.已知已知求求第第136页页解解：第第137页页第第138页页第第139页页 1.行列式按行行列式按行(列列)展开法则是把高阶行列式计算展开法则是把高阶行列式计算化为低阶行列式计算主要工具化为低阶行列式计算主要工具.三、小结三、小结2.第第140页页思索题思索题求第一行各元素代数余子式之和求第一行各元素代数余子式之和:A11+A12+A1n.设设 n 阶行列式阶行列式思索题解答思索题解答解解:第一行各元素代数余子式之和能够表示成第一行各元素代数余子式之和能够表示成A11+A12+A1n第第141页页1.7 克拉默克拉默(Cramer)法则法则 设线性方程组设线性方程组 若常数项若常数项b1,b2,bn不全为零不全为零,则称此方程组为则称此方程组为非齐次线性方程组非齐次线性方程组;若常数项若常数项b1,b2,bn全为零全为零,则称则称此方程组为此方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组;(1)第第142页页齐次线性方程组齐次线性方程组易知，易知，一定是一定是(2)解，解，称为称为零解零解。若有一组不全为零数是若有一组不全为零数是(2)解，称为解，称为非零解非零解。第第143页页 定理定理1:(克拉默克拉默(Cramer)法则法则)假如线性方程组假如线性方程组(1)系数行列式不等于零系数行列式不等于零,即即那么那么,线性方程组线性方程组(1)有解有解,且解是唯一且解是唯一,解能够表为解能够表为第第144页页其中其中Dj 是把系数行列式是把系数行列式D中第中第 j 列元素用方程组右端列元素用方程组右端常数项代替后所得到常数项代替后所得到 n 阶行列式阶行列式,即即第第145页页 证实证实:用系数行列式用系数行列式D第第 j 列元素代数余子式列元素代数余子式A1j,A2j,Anj依次乘方程组依次乘方程组(1)n个方程个方程,得得 再把再把 n 个方程相加个方程相加,得得D第第146页页 由行列式代数余子式性质可知由行列式代数余子式性质可知,上式中上式中xj 系数等系数等于于D,而而 xi(i j)系数均等于系数均等于0,等式右端为等式右端为Dj.于是于是所以所以,当当 D 0 时时,方程组方程组(2)有唯一解有唯一解:Dxj=Dj (j=1,2,n)(2)因为方程组因为方程组(2)与方程组与方程组(1)等价等价,故故也是方程组也是方程组(1)唯一解唯一解.第第147页页 定理定理2:假如线性方程组假如线性方程组(1)无解或有解但不唯一无解或有解但不唯一,则它系数行列式必为零则它系数行列式必为零.定理定理3:假如齐次线性方程组假如齐次线性方程组(3)系数行列式系数行列式 D 0,则齐次线性方程组则齐次线性方程组(3)没有非零解没有非零解.(3)定理定理4:假如齐次线性方程组假如齐次线性方程组(3)有非零解有非零解,则它系则它系数行列式数行列式 D 必为零必为零.在后面我们将证实在后面我们将证实:齐次线性方程组齐次线性方程组(3)有非零解有非零解充分必要条件为充分必要条件为(3)系数行列式系数行列式 D 必为零必为零.第第148页页例例1:用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组解解:第第149页页所以所以第第150页页例例2:问问 取何值时取何值时,齐次方程组齐次方程组有非零解有非零解?因为齐次方程组有非零解充分必要条件为因为齐次方程组有非零解充分必要条件为D=0,解解:则则 =0,=2或或=3时时,齐次方程组有非零解齐次方程组有非零解.第第153页页例例3.求使得求使得 3 点点共线充分必要条件共线充分必要条件.解：解：假设这假设这3点位于直线点位于直线上，其中上，其中a,b,c 不一样时为不一样时为 0,即有即有3点共线等价于上述关于点共线等价于上述关于a,b,c 齐次线性方程组有非零齐次线性方程组有非零解，其充要条件是解，其充要条件是第第154页页例例4.证实证实 n 次多项式至多有次多项式至多有 n 个互异根个互异根.证实：证实：