定积分概念及应用市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、mathsoft第六章第六章 定积分概念及应用定积分概念及应用第一节第一节 定积分概念定积分概念第二节第二节 平面图形面积平面图形面积第三节第三节 体积体积数学分析电子教案 西电科大第1页mathsoft第四节第四节 平面曲线弧长平面曲线弧长第五节第五节 功、水压力和引力功、水压力和引力第六节第六节 平均值平均值习题课习题课数学分析电子教案 西电科大第2页mathsoft例例1 1 求曲边梯形面积求曲边梯形面积一、问题提出(引例)一、问题提出(引例)中学学习过:三角形,圆形,矩形,平行四边形,梯形等规则图形面积计算。那么不规则图形面积怎么来求呢?下面将介绍任一图形面积计算方法,比如:比如:第一
2、节 定积分概念第3页mathsoftXAababA2ab曲边梯形(三条直边,一条曲边)曲边梯形(三条直边,一条曲边)0y面积面积 A=A1-A2故问题为求出两个曲边梯形面积故问题为求出两个曲边梯形面积怎样去求曲边梯形面积呢?下面将展开讨论:怎样去求曲边梯形面积呢?下面将展开讨论:1第一节 定积分概念第4页mathsoft 设一曲边梯形由直线x=a,x=b,y=0及曲线解:解:step1:分割 在a,b中任意插入n-1个分点把a,b分成n个小区间xi-1,xi(i=1n)区间长度为(i=1n)所围成,求面积A,其中f(x)在a,b上连续。step2:近似step3:求和第一节 定积分概念第5页m
3、athsoftstep4:取极限第一节 定积分概念第6页mathsoft用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然,小矩形越多,矩形总面积越靠近显然,小矩形越多,矩形总面积越靠近曲边梯形面积曲边梯形面积第一节 定积分概念第7页mathsoft例例2 2 (求变速直线运动旅程)(求变速直线运动旅程)思绪:把整段时间分割成若干小段,每小段上思绪:把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段旅程再相加,便得速度看作不变,求出各小段旅程再相加,便得到旅程近似值,最终经过对时间无限细分过程到旅程近似值,最终经过对时间无限细分过程求得旅程准确值求得旅程准确值第一节 定积
4、分概念第8页mathsoft(1)分割)分割部分旅程值部分旅程值某时刻速度某时刻速度(2)求和)求和(3)取极限)取极限旅程准确值旅程准确值第一节 定积分概念第9页mathsoft上面两例能够看出上面两例能够看出:两个不一样问题所求量,采取了一样计算方法,最终都归结为含有相同结构和式极限。抛开这些问题详细意义,在数学上就抽象出定积分概念。第一节 定积分概念第10页mathsoft二、定积分定义二、定积分定义定义定义第一节 定积分概念第11页mathsoft被积函数被积函数被积表示式被积表示式 积分变量积分变量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和积分符号积分符号第一节 定积分概念
5、第12页mathsoft注意:注意:由定积分定义,例1,例2分别为:1。极限存在指:任意分割,任一取点,和式极限存在且相等。2。定积分是个数,与积分变量符号无关,即3。要求:4。错误!为何?错误!为何?第一节 定积分概念第13页mathsoft定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理三、存在定理且只有有限个间断点且只有有限个间断点(第一类间断点),(第一类间断点),第一节 定积分概念第14页mathsoft曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积负曲边梯形面积负值值四、定积分几何意义四、定积分几何意义曲边梯形面积代数和曲边梯形面积代数和如图:如图:第一节 定积分概念第15页mathsoft五、小结
6、练习五、小结练习定积分实质定积分实质:特殊和式极限:特殊和式极限定积分思想和方法:定积分思想和方法:分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限准确值准确值定积分定积分求乘积求乘积近似代替近似代替第一节 定积分概念第16页mathsoft练习练习例例1解:由几何意义例例2计算:计算:解:如图第一节 定积分概念第17页mathsoft例例3 利用定义计算解:解:1。将0,1n等分,2。3。求和4。即第一节 定积分概念第18页mathsoft例例4解:解:第一节 定积分概念第19页mathsoft一一.直角坐标系情况直角坐标系情况所围图形面积,如图:解解:1。画图,求出交点;2。选
7、积分变量,3。4。尤其尤其:曲边梯形面积曲边梯形面积第二节第二节 平面图形面积平面图形面积第二节 平面图形面积第20页mathsoft例例1.解解:画图,求得交点(-1,1)及(3,9)例例2.解解:画图,求得交点(2,-2)及(8,4)选为积分变量,则问问:若选若选x为积分变量怎样?为积分变量怎样?第二节 平面图形面积第21页mathsoft二二.参数方程情况参数方程情况例例3.解解:由对称性普通,普通,第二节 平面图形面积第22页mathsoft例例4.解解:第二节 平面图形面积第23页mathsoft三三.极坐标情况极坐标情况解解:1。2。3。第二节 平面图形面积第24页mathsoft
8、例例5.解解:另解另解:第二节 平面图形面积第25页mathsoft一一.旋转体体积旋转体体积 定义定义:由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成立体,叫旋转体。而成立体,叫旋转体。第三节第三节 体积体积第三节 体积第26页mathsoft 以上旋转体体积在中学已经会计算,下面讨论普通旋转体体积。例例1.解解:1。2。3。下面将结论推广下面将结论推广:第三节 体积第27页mathsoft如图:类似,类似,若旋转体是曲边梯形绕y轴旋转而成y=f(x)y=g(x)第三节 体积第28页mathsoft例例2.解解:(1)绕x轴(2)绕y轴第三节 体积第29页m
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