平面点集与多元函数市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1 平面点集与多元函数 多元函数是一元函数推广,它保留着一元函数许多性质,同时又因自变量增多而产生了许多新性质,读者对这些新性质尤其要加以注意.下面着重讨论二元函数,由二元函数能够方便地推广到普通多元函数中去.返回返回返回返回一、平面点集 二、R2 上完备性定理 三、二元函数 第1页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、平 面 点 集 平面点集一些基本概念平面点集一些基本概念 因为二元函数定因为二元函数定坐标平面上满足某种条件坐标平面上满足某种条件 P 点集合点集合,称为平称为平对对 与平面上全部点之间建立起了一一对应与平面上全部点
2、之间建立起了一一对应.在平面上确立了直角坐标系之后在平面上确立了直角坐标系之后,全部有序实数全部有序实数 义域是坐标平面上点集义域是坐标平面上点集,所以在讨论二元函数所以在讨论二元函数之前,有必要先了解平面点集一些基本概念之前,有必要先了解平面点集一些基本概念.面点集面点集,记作记作第2页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页比如:比如:(2)(3)第3页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页图图 16 1 (a)圆圆 C (b)矩形矩形 S 图图 16 2 (a)圆邻域圆邻域 (b)方邻域方邻域 第4页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因为点因为点 A 任意
3、圆邻域能够包含在点任意圆邻域能够包含在点 A 某一某一方邻域之内方邻域之内(反之亦然反之亦然),所以通惯用所以通惯用“点点 A 邻邻用记号用记号 或或 来表示来表示.点点 A 空心邻域空心邻域是指是指:或或并用并用记记号号 来表示来表示.域域”或或“点点 A 邻域邻域”泛指这两种形状邻域泛指这两种形状邻域,并并第5页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注意注意:不要把上面空心方不要把上面空心方邻邻域域错错写成写成:(请请指指出出 点和点集之间关系点和点集之间关系以下三种关系之一以下三种关系之一:任意一点任意一点 与任意一个点集与任意一个点集 之间必有之间必有 是是 E 内点内点;由
4、由 E 全体内点所全体内点所组组成集合称成集合称为为(i)内点内点若若则称点则称点 A E 内部内部,记作记作 int E.错在何处错在何处?)第6页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(ii)外点外点若若 则则称称 点点 A 是是 E 外点;由外点;由 E 全体外点所组成集合全体外点所组成集合(iii)界点界点 若若 恒有恒有 (其中其中 ),则称点则称点 A 是是 E 界点界点;由由 E 全体界点所组成集合称为全体界点所组成集合称为 E 边界边界;记作记作注注 E 内点必定属于内点必定属于 E;E 外点必定不属于外点必定不属于 E;E 界点可能属于界点可能属于 E,也可能不属于
5、也可能不属于 E.并请注意并请注意:称为称为 E 外部外部.第7页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页只有当只有当时时,E 外部与外部与 才是两才是两个相同个相同集合集合.图图 16 3例例1 设平面点集(见图设平面点集(见图 16 3)于于D;满足满足 一切点也一切点也是是 D 内点内点;满足满足 一切点是一切点是 D 界点界点,它们都属它们都属满足满足 一切点都一切点都是是 D 界点界点,但它们都不属于但它们都不属于 D.第8页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页点点 A 与点集与点集 E 上述关系是按上述关系是按“内内-外外”来区分来区分.另外,还可按另外,还可按
6、“疏疏-密密”来区分,即在点来区分,即在点 A 近旁近旁是否密集着是否密集着 E 中无穷多个点而组成另一类关系中无穷多个点而组成另一类关系:(i)聚点聚点 若在点若在点 A 任何空心任何空心邻邻域域内都内都 含有含有 E 中点,则称点中点,则称点 A 是点集是点集 E 聚点聚点注注1 聚点本身可能属于聚点本身可能属于E,也可能不属于,也可能不属于E.注注2 聚点上述定义等同于聚点上述定义等同于:“在点在点 A 任何邻域任何邻域 内都含有内都含有 E 中无穷多个点中无穷多个点”.注注3 E 全体聚点所组成集合称为全体聚点所组成集合称为 E 导集导集,记记 第9页返回返回返回返回后页后页后页后页前
7、页前页前页前页作作 又称又称 为为 E 闭包闭包,记作记作 比如比如,对于例对于例1 中点集中点集 D,它导集与闭包同为它导集与闭包同为其中其中满满足足 那些聚点不属于那些聚点不属于D,而其余而其余 全部聚点都属于全部聚点都属于 D.(ii)孤立点孤立点 若若点点,但不是但不是 E 聚点(即聚点(即 有有某某 0,使得使得 则则称点称点 A 是是 E 孤立点孤立点.注注 孤立点必为界点孤立点必为界点;内点和不是孤立点界点必内点和不是孤立点界点必 第10页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为聚点为聚点;既非聚点既非聚点,又非孤立点又非孤立点,则必为外点则必为外点.例例2 设设点集点
8、集 显显然然,E 中全部点中全部点(p,q)全为全为 E 孤立点孤立点;并有并有 一些主要平面点集一些主要平面点集 依据点集所属点所含有特殊性质依据点集所属点所含有特殊性质,可来定义一可来定义一 些主要点集些主要点集.开集开集 若若 E 所属每一点都是所属每一点都是 E 内点内点(即即E=int E),则称则称 E 为开集为开集.第11页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页E 为闭集为闭集.比如前面列举点集中比如前面列举点集中,(2)式所表示式所表示 C 是开集是开集;(3)式所表示式所表示 S 是闭集是闭集;(4)式所表示式所表示 D 既非开集既非开集,又又 非闭集非闭集;而而(
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