建立数学模型省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、第第一一章章 建立数学模型建立数学模型1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型1.2 数学建模主要意义数学建模主要意义1.3 数学建模示例数学建模示例1.4 数学建模方法和步骤数学建模方法和步骤1.5 数学模型特点和分类数学模型特点和分类1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模第1页玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中舰艇、风洞中飞机水箱中舰艇、风洞中飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目标,对客观事物一部分是为了一定目标,对客观事物一部分进行简缩、抽象、提炼出来进行简缩、抽象
2、、提炼出来原型原型替换物替换物模型模型集中反应了集中反应了原型原型中人们需要那一部分特征中人们需要那一部分特征1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我们常见模型我们常见模型第2页你碰到过数学模型你碰到过数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速,表示船速,y 表示水速,列出方程:表示水速,列出方程:答:船速每小时答:船速每小时20千米千米/小时小时.甲乙两地相距甲乙两地相距750千米,船从甲到乙顺水航行需千米,船从甲到乙顺水航行需30小时,小时,从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时,问船速度是多少小时,问船速度是多少?x=20y=5求解求解第3页航行问题航行问题建立数学模
3、型基本步骤建立数学模型基本步骤 作出简化假设(船速、水速为常数);作出简化假设(船速、水速为常数);用符号表示相关量(用符号表示相关量(x,y表示船速和水速);表示船速和水速);用物理定律(匀速运动距离等于速度乘以用物理定律(匀速运动距离等于速度乘以 时间)列出数学式子(二元一次方程);时间)列出数学式子(二元一次方程);求解得到数学解答(求解得到数学解答(x=20,y=5););回答原问题(船速每小时回答原问题(船速每小时20千米千米/小时)。小时)。第4页数学模型数学模型(Mathematical Model)和和数学建模(数学建模(Mathematical Modeling)对于一个对于
4、一个现实对象现实对象,为了一个,为了一个特定目标特定目标,依据其依据其内在规律内在规律,作出必要,作出必要简化假设简化假设,利用适当利用适当数学工具数学工具,得到一个,得到一个数学结构数学结构。建立数学模型全过程建立数学模型全过程(包含表述、求解、解释、检验等)(包含表述、求解、解释、检验等)数学模型数学模型数学数学建模建模第5页1.2 数学建模主要意义数学建模主要意义 电子计算机出现及飞速发展;电子计算机出现及飞速发展;数学以空前广度和深度向一切领域渗透。数学以空前广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法处理实际问题第一步,数学建模作为用数学方法处理实际问题第一步,越来越受到人们重视
5、。越来越受到人们重视。在普通工程技术领域数学建模依然大有用武之地;在普通工程技术领域数学建模依然大有用武之地;在高新技术领域数学建模几乎是必不可少工具;在高新技术领域数学建模几乎是必不可少工具;数学进入一些新领域,为数学建模开辟了许多处女地。数学进入一些新领域,为数学建模开辟了许多处女地。第6页数学建模详细应用数学建模详细应用 分析与设计分析与设计 预报与决议预报与决议 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼第7页1.3 数学建模示例数学建模示例1.3.1 椅子能在不平地面上放稳吗椅子能在不平地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常
6、通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形连线呈正方形;地面高度连续改变,可视为数学上连续曲地面高度连续改变,可视为数学上连续曲面面;地面相对平坦,使椅子在任意位置最少三地面相对平坦,使椅子在任意位置最少三只脚同时着地。只脚同时着地。第8页模型组成模型组成用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)对称性对称性xBADCODC B A 用用(对角线与对角线与x轴夹角轴夹角)表示椅子位置表示椅子位
7、置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 函数函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g()两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性第9页用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来f(),g()是是连续连续函数函数对任意对任意,f(),g()最少一个为最少一个为0数学数学问题问题已知:已知:f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意,f()g()=0;且且 g(0)=0,f(0)
8、0.证实:存在证实:存在 0,使,使f(0)=g(0)=0.模型组成模型组成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置最少三只脚着地最少三只脚着地第10页模型求解模型求解给出一个简单、粗糙证实方法给出一个简单、粗糙证实方法将椅子将椅子旋转旋转900,对角线,对角线AC和和BD交换。交换。由由g(0)=0,f(0)0,知,知f(/2)=0,g(/2)0.令令h()=f()g(),则则h(0)0和和h(/2)0.由由 f,g连续性知连续性知 h为连续函数为连续函数,据连续函数基本性质据连续函数基本性质,必存在必存在 0,使使h(0)=0,即即f(0)=g(0).因为因为f()g()
9、=0,所以所以f(0)=g(0)=0.评注和思索评注和思索建模关键建模关键 假设条件本质与非本质假设条件本质与非本质 考查四脚呈长方形椅子考查四脚呈长方形椅子和 f(),g()确定第11页1.3.2 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题问题(智力游戏智力游戏)3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约,在河任一岸在河任一岸,一旦随从人数比商人多一旦随从人数比商人多,就杀人越货就杀人越货.不过乘船渡河方案由商人决定不过乘船渡河方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多步决议过程多步决议过程决议决议 每一步每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或
10、彼岸到此岸)船上人员船上人员要求要求在安全前提下在安全前提下(两岸随从数不比商人多两岸随从数不比商人多),),经有限步经有限步使全体人员过河使全体人员过河.河河小船小船(至多至多2人人)第12页模型组成模型组成(1)xk第第k次渡河前此岸商人数次渡河前此岸商人数yk第第k次渡河前此岸随从数次渡河前此岸随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)状态变量状态变量S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合(2)uk第第k次渡船上商人数次渡船上商人数vk第第k次渡船上随从数次渡船上随从数dk=(uk,vk)决
11、议决议D=(u,v)u+v=1,2 允许决议集合允许决议集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,第13页(3 3)因为)因为k k为奇数时船从此岸驶向彼岸,为奇数时船从此岸驶向彼岸,k k为偶数时船为偶数时船从彼岸驶回此岸,从彼岸驶回此岸,所以状态随决议改变规律是所以状态随决议改变规律是 sk+1=sk dk+(-1)k状态转移律状态转移律多步决议多步决议问题问题求求dk D(k=1,2,n),使使sk S,并按并按转移律由转移律由 s1=(3,3)抵达抵达 sn+1=(0,0).第14页模型求解模型求解xy3322110 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法状态状态s=(x,y)16
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