廿一世纪的数学展望Mathematicsinthe2Century市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、廿一世紀數學展望廿一世紀數學展望Mathematics in the 21 Century丘成桐丘成桐哈佛大哈佛大學學1/9,1/9,於台灣中央大學於台灣中央大學第1页 在新世紀開始,全世界科學家對這個新在新世紀開始,全世界科學家對這個新時代來臨,有着無比興奮,期待着人類有史時代來臨,有着無比興奮,期待着人類有史以來最新以來最新發現。數學是全部推理學問基礎,發現。數學是全部推理學問基礎,我希望在這個演講裏能夠指出今後數學發展我希望在這個演講裏能夠指出今後數學發展一些綫索。一些綫索。由希臘數學家發展歐式幾何公理系統開由希臘數學家發展歐式幾何公理系統開始,人類對嚴謹三段論証方法才有實體認識,始,人
2、類對嚴謹三段論証方法才有實體認識,影響所及,凡是需要推理學問都與數學有關,影響所及,凡是需要推理學問都與數學有關,推理學問可分物理科學,工程科學和社會科推理學問可分物理科學,工程科學和社會科學。學。第2页數學數學社會科學社會科學工程科學工程科學物理科學物理科學第3页社會科學社會科學經濟經濟金融金融保險保險估值估值病病歷歷調調查查生生物統計調查物統計調查城市規劃城市規劃人口流動人口流動人口調查人口調查民意調查民意調查文文獻獻整整理理歷歷史史研究研究訊訊息息科科學學網網絡絡科學科學第4页工程科學工程科學計算機科學,圖像識別,密碼問題計算機科學,圖像識別,密碼問題半導体,量子工程學,分子結構半導体,
3、量子工程學,分子結構固体科學固体科學軟体結構軟体結構材料力學材料力學結構理論結構理論地質結構地質結構流体科學流体科學血液流問題血液流問題氣象科學氣象科學Fusion熱力學熱力學油管科學油管科學航空,航天航空,航天湍流問題湍流問題海洋海洋大氣大氣太空太空第5页物理科學物理科學弦理論弦理論量子多体問題量子多体問題多体問題多体問題古典力學古典力學電磁理論電磁理論廣義相對論廣義相對論量子力學量子力學量子場論量子場論基本粒子基本粒子統一場論統一場論第6页n n數學和工程科學乃是社會科學基礎數學和工程科學乃是社會科學基礎n n理論物理乃是工程科學基礎理論物理乃是工程科學基礎n n數學乃是理論物理基礎數學乃
4、是理論物理基礎第7页 人類科技愈進步愈有能力去發現新現人類科技愈進步愈有能力去發現新現人類科技愈進步愈有能力去發現新現人類科技愈進步愈有能力去發現新現象。種種繁複現象使我們愈加迷惘,而亦象。種種繁複現象使我們愈加迷惘,而亦象。種種繁複現象使我們愈加迷惘,而亦象。種種繁複現象使我們愈加迷惘,而亦所以而愈加興奮。所以而愈加興奮。所以而愈加興奮。所以而愈加興奮。(比如:湍流問題、黑洞問題比如:湍流問題、黑洞問題比如:湍流問題、黑洞問題比如:湍流問題、黑洞問題)不过主宰全部現象變化只是幾個小數不过主宰全部現象變化只是幾個小數不过主宰全部現象變化只是幾個小數不过主宰全部現象變化只是幾個小數基本定律。在高
5、能物理裏有所謂基本定律。在高能物理裏有所謂基本定律。在高能物理裏有所謂基本定律。在高能物理裏有所謂Standard model(Standard model(Standard model(Standard model(標準模型標準模型標準模型標準模型),這個理論,這個理論,這個理論,這個理論統一而統一而統一而統一而解釋了三個基本場:電磁場、弱力、強力。解釋了三個基本場:電磁場、弱力、強力。解釋了三個基本場:電磁場、弱力、強力。解釋了三個基本場:電磁場、弱力、強力。不过重力場和這三個力場還未得到統一,主要不过重力場和這三個力場還未得到統一,主要不过重力場和這三個力場還未得到統一,主要不过重力場和
6、這三個力場還未得到統一,主要是因為與量子力學未能融合。是因為與量子力學未能融合。是因為與量子力學未能融合。是因為與量子力學未能融合。第8页重力場由廣義相對論描述,是狹義相對論和重力場由廣義相對論描述,是狹義相對論和牛頓力學統一後而形成理論。牛頓力學統一後而形成理論。這是愛因斯坦最富有想像力偉大創作。這是愛因斯坦最富有想像力偉大創作。愛因斯坦方程是愛因斯坦方程是 其中其中 g gij ij ij ij 是測度張量(引力場)是測度張量(引力場)T Tij ij ij ij 是物質張量是物質張量 R Rij ij ij ij 是是RicciRicci曲率張量曲率張量第9页弦理論企圖統一重力場和其它全
7、部力場。這是一個弦理論企圖統一重力場和其它全部力場。這是一個弦理論企圖統一重力場和其它全部力場。這是一個弦理論企圖統一重力場和其它全部力場。這是一個宏大搆想。宏大搆想。宏大搆想。宏大搆想。在廿一世紀,我相信基本數學會碰到同樣挑戰:在廿一世紀,我相信基本數學會碰到同樣挑戰:在廿一世紀,我相信基本數學會碰到同樣挑戰:在廿一世紀,我相信基本數學會碰到同樣挑戰:基本數學也將會來個大統一,也只有在數學各門分基本數學也將會來個大統一,也只有在數學各門分基本數學也將會來個大統一,也只有在數學各門分基本數學也將會來個大統一,也只有在數學各門分支大統一後,這些分支才會放出燦爛火花。因為支大統一後,這些分支才會放
8、出燦爛火花。因為支大統一後,這些分支才會放出燦爛火花。因為支大統一後,這些分支才會放出燦爛火花。因為只有經過統一後,這些學問才會得到本質上瞭只有經過統一後,這些學問才會得到本質上瞭只有經過統一後,這些學問才會得到本質上瞭只有經過統一後,這些學問才會得到本質上瞭解。解。解。解。第10页數學大統一將會比物理大統一來得基數學大統一將會比物理大統一來得基本,也很可能由物理學統一場論孕育而本,也很可能由物理學統一場論孕育而出。近代弦論發展已經成功將出。近代弦論發展已經成功將 微分幾何微分幾何 代數幾何代數幾何 群表示理論群表示理論 數論數論 拓樸學拓樸學相當主要部份統一起來。而這二十年來數相當主要部份統
9、一起來。而這二十年來數學已經由弦論得到豐富果實。學已經由弦論得到豐富果實。第11页 大自然提供了最為主要數學模型,以大自然提供了最為主要數學模型,以上很多模型都是從物理直覺或從實驗觀察出上很多模型都是從物理直覺或從實驗觀察出來,不过數學家卻能够用自己想像,在來,不过數學家卻能够用自己想像,在觀察基礎上創造出新結構。觀察基礎上創造出新結構。成功數學結構往往是幾代數學家共成功數學結構往往是幾代數學家共同努力得出结果,也往往是數學中幾個不同努力得出结果,也往往是數學中幾個不同分支合併出來火花。同分支合併出來火花。第12页 幾何和數字幾何和數字(尤其是整數尤其是整數)可說是數學裏最可說是數學裏最直觀對
10、象,所以在數學大統一中會起着最直觀對象,所以在數學大統一中會起着最要緊作用。要緊作用。廿世紀數論學家通過代數幾何方法廿世紀數論學家通過代數幾何方法已經將整數方程一部份與幾何結合,群表已經將整數方程一部份與幾何結合,群表示理論是數論和幾何學結合一個橋樑。示理論是數論和幾何學結合一個橋樑。每次數學分支結合都有結構性變化每次數學分支結合都有結構性變化,比如算術幾何產生,將數論和幾何都帶入新比如算術幾何產生,將數論和幾何都帶入新境界,解決了一系列古典問題。境界,解決了一系列古典問題。第13页n n 在過去廿年,拓樸學和幾何已經融合。n n 三維空間和四維空間研究不能缺乏幾n n何工具。n n Thur
11、ston 猜測和 Hamilton 工作是n n在三維空間上引進幾何結構,這些創作新結n n構理論含有劃時代主要性,正等如十九n n世紀數學家創造 Riemann surface 概念一n n主要。n n 第14页 分析和幾何已經逐漸融合,這三十年來,微分分析和幾何已經逐漸融合,這三十年來,微分分析和幾何已經逐漸融合,這三十年來,微分分析和幾何已經逐漸融合,這三十年來,微分方程在複幾何和拓撲學上有極為傑出貢獻。通過方程在複幾何和拓撲學上有極為傑出貢獻。通過方程在複幾何和拓撲學上有極為傑出貢獻。通過方程在複幾何和拓撲學上有極為傑出貢獻。通過分析方法,陳氏類,分析方法,陳氏類,分析方法,陳氏類,分
12、析方法,陳氏類,HodgeHodge 理論,理論,理論,理論,Atiyah-SingerAtiyah-Singer 指指指指標定理和我在標定理和我在標定理和我在標定理和我在複流形上搆造複流形上搆造複流形上搆造複流形上搆造 Kahler-EinsteinKahler-Einstein 度度度度量,在代數幾何中解決了很多極為主要問題。量,在代數幾何中解決了很多極為主要問題。量,在代數幾何中解決了很多極為主要問題。量,在代數幾何中解決了很多極為主要問題。最近最近最近最近 HamiltonHamilton Ricci FlowRicci Flow 通過通過通過通過 PerelmanPerelman 工
13、工工工作可能解決了作可能解決了作可能解決了作可能解決了 ThurstonThurston 猜测,這些都是數學上百猜测,這些都是數學上百猜测,這些都是數學上百猜测,這些都是數學上百年年年年來大事。來大事。來大事。來大事。第15页 在四維空間上,在四維空間上,在四維空間上,在四維空間上,DonaldsonDonaldson 利用利用利用利用 TaubesTaubes,UhlenbeckUhlenbeck 在規範場上存在性定理得到四維在規範場上存在性定理得到四維在規範場上存在性定理得到四維在規範場上存在性定理得到四維拓撲突破。拓撲突破。拓撲突破。拓撲突破。上述工作和上述工作和上述工作和上述工作和 D
14、onaldson-Uhlenbeck-YauDonaldson-Uhlenbeck-Yau在在在在複幾何中規範場工作都與代數幾何和弦理論複幾何中規範場工作都與代數幾何和弦理論複幾何中規範場工作都與代數幾何和弦理論複幾何中規範場工作都與代數幾何和弦理論息息相關。息息相關。息息相關。息息相關。事實上弦理論提供了極為主要訊息,使事實上弦理論提供了極為主要訊息,使事實上弦理論提供了極為主要訊息,使事實上弦理論提供了極為主要訊息,使得古典代數幾何得到新突破。我們期望弦理得古典代數幾何得到新突破。我們期望弦理得古典代數幾何得到新突破。我們期望弦理得古典代數幾何得到新突破。我們期望弦理論、代數幾何、幾何分析
15、將會對四維拓撲有更深論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深入暸解。入暸解。入暸解。入暸解。第16页 在二十一世纪在二十一世纪在二十一世纪在二十一世纪數學裡,三维双曲空間和四維代數數學裡,三维双曲空間和四維代數數學裡,三维双曲空間和四維代數數學裡,三维双曲空間和四維代數曲面理論會變得如黎曼曲面一樣主要,數學會進入曲面理論會變得如黎曼曲面一樣主要,數學會進入曲面理論會變得如黎曼曲面一樣主要,數學會進入曲面理論會變得如黎曼曲面一樣主要,數學會進入一個盡情享受低维空間特殊性质局面,代數幾一個盡情享受低维空間特殊性质
16、局面,代數幾一個盡情享受低维空間特殊性质局面,代數幾一個盡情享受低维空間特殊性质局面,代數幾何裏何裏何裏何裏二维、三维和四维流形會有更二维、三维和四维流形會有更二维、三维和四维流形會有更二维、三维和四维流形會有更徹底了解。徹底了解。徹底了解。徹底了解。我們我們我們我們希望希望希望希望 HodgeHodge 猜测猜测猜测猜测會得到圆满处理,從而得會得到圆满处理,從而得會得到圆满处理,從而得會得到圆满处理,從而得知一個拓樸知一個拓樸知一個拓樸知一個拓樸子流型什子流型什子流型什子流型什麼時候能够由代數麼時候能够由代數麼時候能够由代數麼時候能够由代數子流子流子流子流形來表形來表形來表形來表示。同樣問题
17、也適用於示。同樣問题也適用於示。同樣問题也適用於示。同樣問题也適用於 Vector bundleVector bundle 上。由弦理上。由弦理上。由弦理上。由弦理論論論論得到啟示,有些特殊子流形或可代替换數得到啟示,有些特殊子流形或可代替换數得到啟示,有些特殊子流形或可代替换數得到啟示,有些特殊子流形或可代替换數流流流流形形形形。第17页 現在舉一個理論物理,數學和應用科學現在舉一個理論物理,數學和應用科學上共同而主要問題:上共同而主要問題:基本物理上基本物理上Hierachy 問題,是一個問題,是一個 Scale 問題。問題。引力場和其它力場引力場和其它力場 Scale 相差極遠,相差極遠
18、,怎样統一,怎样解釋?怎样統一,怎样解釋?在古典物理,微分方程,微分幾何和各在古典物理,微分方程,微分幾何和各類分析中亦有不一样類分析中亦有不一样 Scale 怎样融合問題。怎样融合問題。在統計物理和高能物理中,用到所謂在統計物理和高能物理中,用到所謂renormalization group 方法,是非穩定方法,是非穩定系統一個主要工具。系統一個主要工具。第18页 怎样用基本數學怎样用基本數學怎样用基本數學怎样用基本數學發展出發展出發展出發展出來方法去處理來方法去處理來方法去處理來方法去處理不一样不一样不一样不一样 Scale 是應用數學中一個主要問題。而事是應用數學中一個主要問題。而事是應
19、用數學中一個主要問題。而事是應用數學中一個主要問題。而事實上,純數學本身亦有不一样度量問題。實上,純數學本身亦有不一样度量問題。實上,純數學本身亦有不一样度量問題。實上,純數學本身亦有不一样度量問題。在微分方程,或微分幾何碰到奇異點或在微分方程,或微分幾何碰到奇異點或在微分方程,或微分幾何碰到奇異點或在微分方程,或微分幾何碰到奇異點或在研究漸近分析時,在研究漸近分析時,在研究漸近分析時,在研究漸近分析時,Blowing upBlowing up 分析是一個分析是一個分析是一個分析是一個很主要工具,而這種很主要工具,而這種很主要工具,而這種很主要工具,而這種 Blowing upBlowing
20、up 工具亦工具亦工具亦工具亦是代數幾何中最有效工具。是代數幾何中最有效工具。是代數幾何中最有效工具。是代數幾何中最有效工具。第19页 在非綫性微分方程中,我們需要更進一步做定在非綫性微分方程中,我們需要更進一步做定在非綫性微分方程中,我們需要更進一步做定在非綫性微分方程中,我們需要更進一步做定性和定量分析來研究由性和定量分析來研究由性和定量分析來研究由性和定量分析來研究由 Blowing upBlowing up 得出来結得出来結得出来結得出来結果,所以對不一样果,所以對不一样果,所以對不一样果,所以對不一样 scalescale 量得到進一步認識。量得到進一步認識。量得到進一步認識。量得到
21、進一步認識。微分幾何張量分析微分幾何張量分析微分幾何張量分析微分幾何張量分析 (曲率張量曲率張量曲率張量曲率張量)在在在在multiscalemultiscale分析中應該會有主要應用,因為即使在同一點上,分析中應該會有主要應用,因為即使在同一點上,分析中應該會有主要應用,因為即使在同一點上,分析中應該會有主要應用,因為即使在同一點上,物理現象會有不一样方向變化,而此種變化亦應當受物理現象會有不一样方向變化,而此種變化亦應當受物理現象會有不一样方向變化,而此種變化亦應當受物理現象會有不一样方向變化,而此種變化亦應當受到到到到 scalescale 影影影影響,而張量是研究它們主要工具。響,而張
22、量是研究它們主要工具。響,而張量是研究它們主要工具。響,而張量是研究它們主要工具。當一個圖當一個圖當一個圖當一個圖 (graphgraph)迫近一個幾何圖形或微分方程迫近一個幾何圖形或微分方程迫近一個幾何圖形或微分方程迫近一個幾何圖形或微分方程解時,解時,解時,解時,multiscalemultiscale 分析極為主要,怎样使圖本身有分析極為主要,怎样使圖本身有分析極為主要,怎样使圖本身有分析極為主要,怎样使圖本身有一個自然一個自然一個自然一個自然 scaling scaling 結搆結搆結搆結搆無論在純數學和應用數學無論在純數學和應用數學無論在純數學和應用數學無論在純數學和應用數學都是主要
23、問題,我希望研究離散數學學者亦注意都是主要問題,我希望研究離散數學學者亦注意都是主要問題,我希望研究離散數學學者亦注意都是主要問題,我希望研究離散數學學者亦注意到這一點。到這一點。到這一點。到這一點。第20页近代弦論發現有不一样量子場論能够相互近代弦論發現有不一样量子場論能够相互同構同構 (isomorphic)然而然而scale 剛好相反剛好相反所以找到一些強所以找到一些強 Coupling Constant 理理論能够同另一些弱論能够同另一些弱 Coupling Constant 理論同構。理論同構。第21页 由於由於R R 這種奇妙對稱能够保持量子這種奇妙對稱能够保持量子場論結構,使得我
24、們能够用擾動性場論結構,使得我們能够用擾動性(perturbation analysis)方法去計算非擾動場方法去計算非擾動場論,在數學上得到驚人結果。論,在數學上得到驚人結果。更要注意到一點是時空結構可能所以有基本更要注意到一點是時空結構可能所以有基本上觀念改變。極小空間不再有意義。時空量子上觀念改變。極小空間不再有意義。時空量子化描述需要更進一步探討。物理學家和幾何學化描述需要更進一步探討。物理學家和幾何學家都希望能夠找尋一個幾何結構來描述這個量家都希望能夠找尋一個幾何結構來描述這個量子化空間。有不少學者建議用矩陣模式來解釋子化空間。有不少學者建議用矩陣模式來解釋這種現象,雖然未能達到目標
25、但已得到美妙數這種現象,雖然未能達到目標但已得到美妙數學現象。學現象。第22页 約在兩百年前,約在兩百年前,Gauss 發現發現 Gauss 曲率曲率觀念而創造內蘊幾何時,就感歎到空間觀念與觀念而創造內蘊幾何時,就感歎到空間觀念與時而變,和人類對大自然瞭解有亲密關係。時而變,和人類對大自然瞭解有亲密關係。這二十年來,超對稱觀念深深地影響著基這二十年來,超對稱觀念深深地影響著基本物理和數學發展,在實驗上雖然还未發現超本物理和數學發展,在實驗上雖然还未發現超對稱,但在數學上卻起著凝聚各門分枝能力,對稱,但在數學上卻起著凝聚各門分枝能力,我們寧可相信在極高能量時,超對稱確實存在,我們寧可相信在極高能
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