微分方程建模市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、第四章第四章 微分方程建模微分方程建模 在许多实际问题中,当直接导出变量之间函数关系较在许多实际问题中,当直接导出变量之间函数关系较为困难,但导出包含未知函数导数或微分关系式较为轻易为困难,但导出包含未知函数导数或微分关系式较为轻易时,可用建立微分方程模型方法来研究该问题,时,可用建立微分方程模型方法来研究该问题,本节将经过一些最简单实例来说明微分方程建模普通本节将经过一些最简单实例来说明微分方程建模普通方法。在连续变量问题研究中,微分方程是十分惯用数学方法。在连续变量问题研究中,微分方程是十分惯用数学工具之一。工具之一。4.1 微分方程几个简单实例微分方程几个简单实例第1页例例1 (理想单摆
2、运动)建立理想单摆运动满足微分(理想单摆运动)建立理想单摆运动满足微分方程,并得出理想单摆运动周期公式。方程,并得出理想单摆运动周期公式。从图从图3-1中不难看出,小球所受协力为中不难看出,小球所受协力为mgsin,依,依据据牛顿第二定律牛顿第二定律可得:可得:从而得出两阶微分方程:从而得出两阶微分方程:(3.1)这是理想单摆应这是理想单摆应满足运动方程满足运动方程 (3.13.1)是一个两阶非线性方程,不是一个两阶非线性方程,不易求解。当易求解。当很小时,很小时,sin,此时,此时,可考查(可考查(3.13.1)近似线性方程:)近似线性方程:(4.2)由此即可得出由此即可得出 (3.23.2
3、)解为)解为:(t)=0cost 其中其中 当当 时时,(t)=0故有故有MQPmg图图4-1(4.14.1)近)近似方程似方程第2页例例2 一个半径为一个半径为Rcm半球形容器内开始时盛满了水,半球形容器内开始时盛满了水,但因为其底部一个面积为但因为其底部一个面积为Scm2小孔在小孔在t=0时刻被打开,时刻被打开,水被不停放出。问:容器中水被放完总共需要多少时水被不停放出。问:容器中水被放完总共需要多少时间?间?解解:以容器底部以容器底部O点为点为 原点,取坐标系如图原点,取坐标系如图3.3所表示。所表示。令令h(t)为为t时刻容器中水高度,现建立时刻容器中水高度,现建立h(t)满足微分方程
4、。满足微分方程。设水从小孔流出速度为设水从小孔流出速度为v(t),由力学定律,在不计水内,由力学定律,在不计水内部磨擦力和表面张力假定下,有:部磨擦力和表面张力假定下,有:因体积守衡,又可得:因体积守衡,又可得:易见:易见:故有:故有:即:即:这是可分离变量一阶微分方程,得这是可分离变量一阶微分方程,得 RxySO图图4-3hr第3页 为了保持自然资料合理开发与利用,人类必须保持并控为了保持自然资料合理开发与利用,人类必须保持并控制生态平衡,甚至必须控制人类本身增加。制生态平衡,甚至必须控制人类本身增加。本节将建立几个简单单种群增加模型,以简略分析一下本节将建立几个简单单种群增加模型,以简略分
5、析一下这方面问题。普通生态系统分析能够经过一些简单模型复合这方面问题。普通生态系统分析能够经过一些简单模型复合来研究,大家若有兴趣能够依据生态系统特征自行建立对应来研究,大家若有兴趣能够依据生态系统特征自行建立对应模型。模型。漂亮大自然 种群数量本应取离散值,但因为种群数量种群数量本应取离散值,但因为种群数量普通较大,为建立微分方程模型,可将种群数普通较大,为建立微分方程模型,可将种群数量看作连续变量,甚至允许它为可微变量,由量看作连续变量,甚至允许它为可微变量,由此引发误差将是十分微小。此引发误差将是十分微小。离散化为连续,方离散化为连续,方便研究便研究4.24.2 MalthusMalth
6、us模型与模型与LogisticLogistic模型模型第4页模型模型1 1 马尔萨斯(马尔萨斯(MalthusMalthus)模型)模型 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况资料后发觉,马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况资料后发觉,人口净增加率人口净增加率r r基本上是一常数,(基本上是一常数,(r r=b b-d d,b b为出生率,为出生率,d d为死亡率),为死亡率),既:既:或或(4.5)(4.6)(4.1)解为:解为:其中其中N0=N(t0)为初始时刻为初始时刻t0时种群数。时种群数。马尔萨斯模型一个显著特点马尔萨斯模型一个显著特点:种群数量翻一番所需时种群数量翻一番所需时间是固定间是固
7、定。令种群数量翻一番所需时间为令种群数量翻一番所需时间为T,则有:,则有:故故第5页模型检验模型检验 比较历年人口统计资料,可发觉人口增加实际情况与马尔萨斯模型预报结果基本相符,比如,1961年世界人口数为30.6(即3.06109),人口增加率约为2%,人口数大约每35年增加一倍。检验17至1961260年人口实际数量,发觉二者几乎完全一致,且按马氏模型计算,人口数量每34.6年增加一倍,二者也几乎相同。模型预测模型预测 假如人口数真能保持每34.6年增加一倍,那么人口数将以几何级数方式增加。比如,到25,人口达21014个,即使海洋全部变成陆地,每人也只有9.3平方英尺活动范围,而到267
8、0年,人口达361015个,只好一个人站在另一人肩上排成二层了。故马尔萨斯模型是不完善。几何级数增加MalthusMalthus模型模型实际上只有在群体总数实际上只有在群体总数不太大时才合理,到总数增大时,不太大时才合理,到总数增大时,生物群体各组员之间因为有限生存生物群体各组员之间因为有限生存空间,有限自然资源及食物等原因,空间,有限自然资源及食物等原因,就可能发生生存竞争等现象。就可能发生生存竞争等现象。所以所以MalthusMalthus模型假设人口模型假设人口净增净增加率不可能一直保持常数,它加率不可能一直保持常数,它应该与人口数量相关。应该与人口数量相关。第6页模型模型2 2 Log
9、istic Logistic模型模型 人口净增加率应该与人口数量相关,即:人口净增加率应该与人口数量相关,即:r=r(N)从而有:从而有:(3.7)r(N N)是未知函数,但依是未知函数,但依据实际背景,它无法用据实际背景,它无法用拟合方法来求拟合方法来求 。为了得出一个有实际意义模为了得出一个有实际意义模型,我们不妨采取一下工程型,我们不妨采取一下工程师标准。工程师们在建立实师标准。工程师们在建立实际问题数学模型时,总是采际问题数学模型时,总是采取尽可能简单方法。取尽可能简单方法。r(N)最简单形式是常数,此时最简单形式是常数,此时得到就是马尔萨斯模型。对马得到就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模
10、型最简单改进就是引尔萨斯模型最简单改进就是引进一次项(竞争项)进一次项(竞争项)对马尔萨斯模型引入一次项(竞争项),令对马尔萨斯模型引入一次项(竞争项),令 r(N)=r-aN 此时得到微分方程:此时得到微分方程:或或(3.8)(4.8)被称为被称为LogisticLogistic模型或生物总数增加统计筹算律,是由荷兰数学生物模型或生物总数增加统计筹算律,是由荷兰数学生物学家弗赫斯特(学家弗赫斯特(VerhulstVerhulst)首先提出。一次项系数是负,因为当种群数量很大)首先提出。一次项系数是负,因为当种群数量很大时,会对本身增大产生抑制性,故一次项又被称为竞争项。时,会对本身增大产生抑
11、制性,故一次项又被称为竞争项。(4.84.8)可改写成:可改写成:(3.9)(4.9)式还有另一解释,因为空间和资源都是有限,不可能供养无限增式还有另一解释,因为空间和资源都是有限,不可能供养无限增加种群个体,当种群数量过多时,因为人均资源拥有率下降及环境恶化、加种群个体,当种群数量过多时,因为人均资源拥有率下降及环境恶化、疾病增多等原因,出生率将降低而死亡率却会提升。设环境能供养种群数疾病增多等原因,出生率将降低而死亡率却会提升。设环境能供养种群数量上界为量上界为K(近似地将(近似地将K看成常数),看成常数),N表示当前种群数量,表示当前种群数量,K-N恰为环境恰为环境还能供养种群数量,(还
12、能供养种群数量,(4.9)指出,种群增加率与二者乘积成正比,恰好)指出,种群增加率与二者乘积成正比,恰好符合统计规律,得到了试验结果支持,这就是(符合统计规律,得到了试验结果支持,这就是(4.9)也被称为统计筹算)也被称为统计筹算律原因。律原因。第7页图图4-5对对(4.94.9)分离变量:分离变量:两边积分并整理得:两边积分并整理得:令令N(0)=N0,求得:,求得:故故(4.94.9)满足初始条件满足初始条件N(0)=N0解为:解为:(4.10)易见:易见:N(0)=N0,N(t)图形请看图图形请看图4.5 第8页模型检验模型检验 用用LogisticLogistic模型来描述种群增加规律
13、效果怎样呢?模型来描述种群增加规律效果怎样呢?19451945年年克朗皮克(克朗皮克(CrombicCrombic)做了一个人工喂养小谷虫试验,数学生)做了一个人工喂养小谷虫试验,数学生物学家高斯(物学家高斯(EFGaussEFGauss)也做了一个原生物草履虫试验,)也做了一个原生物草履虫试验,试验结果都和试验结果都和LogisticLogistic曲线十分吻合。曲线十分吻合。大量试验资料表明用大量试验资料表明用LogisticLogistic模型来描述种群增加,效果模型来描述种群增加,效果还是相当不错。比如,高斯还是相当不错。比如,高斯把把5只草履虫放进一个盛有只草履虫放进一个盛有0.5c
14、m3营营养液小试管,他发觉,开始时草履虫以天天养液小试管,他发觉,开始时草履虫以天天230.9%速率增加,速率增加,今后增加速度不停减慢,到第五天到达最大量今后增加速度不停减慢,到第五天到达最大量375个,试验数个,试验数据与据与r=2.309,a=0.006157,N(0)=5LogisticLogistic曲线:曲线:几乎完全吻合,见图几乎完全吻合,见图3.6。图图4-6第9页MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型总结模型总结 MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型模型均为对微分方程(均为对微分方程(4.7)所作模
15、拟近似方程。前一模型假设了种群增加率所作模拟近似方程。前一模型假设了种群增加率r为一常数,为一常数,(r被称为该种群内禀增加率)。后一模型则假设环境只能被称为该种群内禀增加率)。后一模型则假设环境只能供养一定数量种群,从而引入了一个竞争项。供养一定数量种群,从而引入了一个竞争项。用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得解进行检验,看其是否与实际情况相符或基本相符。求得解进行检验,看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好,不然就得找出不相符主要原因,相符性越好则模拟得越好,不然就得找出不相符主要原因,对模型进行修改。对模型进
16、行修改。Malthus Malthus模型与模型与LogisticLogistic模型即使都是为了研究种群数量增模型即使都是为了研究种群数量增加情况而建立,但它们也可用来研究其它实际问题,只要这些实加情况而建立,但它们也可用来研究其它实际问题,只要这些实际问题数学模型有相同微分方程即可,下面我们来看两个较为有际问题数学模型有相同微分方程即可,下面我们来看两个较为有趣实例。趣实例。第10页例例5 5 新产品推广新产品推广 经济学家和社会学家一直很关心新产品推销速度经济学家和社会学家一直很关心新产品推销速度问题。怎样建立一个数学模型来描述它,并由此析出问题。怎样建立一个数学模型来描述它,并由此析出
17、一些有用结果以指导生产呢?以下是第二次世界大战一些有用结果以指导生产呢?以下是第二次世界大战后日本家电业界建立电饭包销售模型。后日本家电业界建立电饭包销售模型。设需求量有一个上界,并记此上界为设需求量有一个上界,并记此上界为K,记,记t时刻已销售出电时刻已销售出电饭包数量为饭包数量为x(t),则还未使用人数大致为,则还未使用人数大致为Kx(t),于是由统计筹,于是由统计筹算律:算律:记百分比系数为记百分比系数为k k,则则x(t)满足:满足:此方程即此方程即LogisticLogistic模型,解为:模型,解为:还有两个奇解还有两个奇解:x=0和和x=K 对对x(t)求一阶、两阶导数:求一阶、
18、两阶导数:第11页轻易看出,轻易看出,x(t)0,即,即x(t)单调增加。单调增加。由由x(t0)=0,能够得出,能够得出 =1,此时,此时,。当当t0,x(t)单调增加,而当单调增加,而当tt0时,时,x(t)k k(药品未吸收完前,输入速率通常总大于分解与排泄(药品未吸收完前,输入速率通常总大于分解与排泄速率),但也有例外可能(与药品性质及机体对该药品吸收、分解能力相关)速率),但也有例外可能(与药品性质及机体对该药品吸收、分解能力相关)。当。当k k1 1 k k时,体内药品量均很小,这种情况在医学上被称为触发翻转时,体内药品量均很小,这种情况在医学上被称为触发翻转(flip-flopf
19、lip-flop)。当)。当k k1 1=k k时时,对固定,对固定t t,令,令k kk k1 1取极限(应用罗比达法则),取极限(应用罗比达法则),可得出在这种情况下血药浓度为:可得出在这种情况下血药浓度为:所以所以第17页 图图4-94-9给出了上述三种情况下体内血药浓度改变曲线。轻给出了上述三种情况下体内血药浓度改变曲线。轻易看出,快速静脉注射能使血药浓度马上到达峰值,惯用于抢易看出,快速静脉注射能使血药浓度马上到达峰值,惯用于抢救等紧急情况;口服、肌注与点滴也有一定差异,主要表现在救等紧急情况;口服、肌注与点滴也有一定差异,主要表现在血药浓度峰值出现在不一样时刻,血药有效浓度保持时间
20、也不血药浓度峰值出现在不一样时刻,血药有效浓度保持时间也不尽相同,(注:为到达治疗目标,血药浓度应到达某一有效浓尽相同,(注:为到达治疗目标,血药浓度应到达某一有效浓度,并使之维持一特定时间长度)。度,并使之维持一特定时间长度)。图4-9 我们已求得三种常见给药方式下血药浓度我们已求得三种常见给药方式下血药浓度C C(t t),当然也轻,当然也轻易求得血药浓度峰值及出现峰值时间,因而,也不难依据不一易求得血药浓度峰值及出现峰值时间,因而,也不难依据不一样疾病治疗要求找出最正确治疗方案。样疾病治疗要求找出最正确治疗方案。第18页 新药品、新疫苗在临床应用前必须经过较长时间基础研究、小量试制、中间
21、试验、专业机构评审及临床研究。当一个新药品、新疫苗研制出来后,研究人员必须用大量试验搞清它是否真有用,怎样使用才能发挥最大效用,提供给医生治病时参考。在试验中研究人员要测定模型中各种参数,搞清血药浓度改变规律,依据疾病特点找出最正确治疗方案(包含给药方式、最正确剂量、给药间隔时间及给药次数等),这些研究与试验据预计最少也需要多年时间。在春夏之交SARS(非典)流行期内,有些人希望医药部门能赶快拿出一个能治疗SARS良药或预防SARS有效疫苗来,但这只能是一个空想。SARS突如其来,形成了“外行不懂、内行陌生”情况。国内权威机构一度曾认为这是“衣原体”引发肺炎,能够用抗生素控制和治疗。但实际上,
22、抗生素类药品对SARS控制与治疗丝毫不起作用。以钟南山院士为首广东省教授并不迷信权威,坚持认为SARS是病毒感染引发肺炎,两个月后(4月16日),世界卫生组织正式确认SARS是冠状病毒一个变种引发非经典性肺炎(注:这种确认并非是由权威机构定义,而是经对猩猩屡次试验证实)。发觉病原体尚且如此不易,要攻克难关,找到治疗、预防方法当然就更困难了,企图几个月处理问题注定只能是一个不切实际幻想。第19页 上述研究是将机体看成一个均匀分布同质单元,故被上述研究是将机体看成一个均匀分布同质单元,故被称单房室模型,但机体实际上并不是这么。药品进入血液,称单房室模型,但机体实际上并不是这么。药品进入血液,经过血
23、液循环药品被带到身体各个部位,又经过交换进入经过血液循环药品被带到身体各个部位,又经过交换进入各个器官。所以,要建立更靠近实际情况数学模型就必须各个器官。所以,要建立更靠近实际情况数学模型就必须正视机体部位之间差异及相互之间关联关系,这就需要多正视机体部位之间差异及相互之间关联关系,这就需要多房室系统模型。房室系统模型。IIIk12k21两房室系统图4-10 图图4-104-10表示是一个常见两房室模型,其表示是一个常见两房室模型,其间间k k1212表示由室表示由室I I渗透到室渗透到室IIII改变率前系数,而改变率前系数,而k k2121则表示由室则表示由室IIII返回室返回室I I改变率
24、前系数,它们改变率前系数,它们刻划了两室间内在联络,其值应该用试验测刻划了两室间内在联络,其值应该用试验测定,使之尽可能地靠近实际情况。定,使之尽可能地靠近实际情况。当差异较大部分较多时,当差异较大部分较多时,能够类似建立多房室系能够类似建立多房室系统,即统,即N N房室系统房室系统第20页4.44.4 传染病模型传染病模型 传染病是人类大敌,经过疾病传输过程中若干主要原因传染病是人类大敌,经过疾病传输过程中若干主要原因之间联络建立微分方程加以讨论,研究传染病流行规律并找之间联络建立微分方程加以讨论,研究传染病流行规律并找出控制疾病流行方法显然是一件十分有意义工作。在本节中,出控制疾病流行方法
25、显然是一件十分有意义工作。在本节中,我们将主要用多房室系统观点来对待传染病流行,并建立起我们将主要用多房室系统观点来对待传染病流行,并建立起对应多房室模型。对应多房室模型。医生们发觉,在一个民族或地域,当某种传染病流传时,医生们发觉,在一个民族或地域,当某种传染病流传时,涉及到总人数大致上保持为一个常数。即既非全部些人都会涉及到总人数大致上保持为一个常数。即既非全部些人都会得病也非毫无规律,两次流行(同种疾病)涉及人数不会相得病也非毫无规律,两次流行(同种疾病)涉及人数不会相差太大。怎样解释这一现象呢?试用建模方法来加以证实。差太大。怎样解释这一现象呢?试用建模方法来加以证实。问题提出:问题提
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