数学模型MathematicalModeling专题培训市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数数 学学 模模 型型Mathematical Modeling任课老师：李银飞liyf_Tel:[phone](693509)第1页第一章 建立数学模型开设本课程目标：引发注意、激发兴趣、介绍方法、培养能力第2页数学？n数学有没有用？n数学不是没有用，而是不够用n现有数学工具不能处理全部实际问题n怎么用？n处理实际问题n数学模型 第3页数学模型与数学建模数学模型数学模型（Mathematical Model）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性抽象而又简练刻划，它或本质属性抽象而又简练刻划，它或 能解释一些客观现象，能解释一些客观现象，或能预测未来发展规律，或能为控制某一现象发展提供或能预测未来发展规律，或能为控制某一现象发展提供某种意义下最优策略或很好策略。某种意义下最优策略或很好策略。数学建模数学建模（Mathematical Modeling）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型过程。应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型过程。第4页数学模型早就知n我们从小就接触过数学模型：n应用题n“甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问航速，水速若干？”n物体n“从平静湖面小船上仍一块石头至水中，湖面是上涨还是下降？”n数学竞赛n第5页数学模型无所不在n日常生活n投资n决议n各行各业n经济n金融n专业研究领域n物理n计算机研究第6页例1.手机电话卡选择n已知：全球通电话卡每分钟0.4元，每个月25元租金；神州行卡每分钟0.6元，不用月租金n问：选择哪种卡比较省钱？第7页例2.打水问题n天天晚上5:00 至 5:30 之间开水房拥塞想必让每一个人都深有感触吧，偏偏这种时候还有一些人喜欢一个人占好几个龙头，不得不让人怒火中烧。对每个人来讲，最好方法当然是在不违反排队次序前提下尽可能早地接触龙头。实际上大家也基本上是这么做。在高峰时期霸占多个龙头人就算不遭到语言训斥也会遭到目光训斥。第8页n假设现在有 2个水龙头，10 个人来打水，每个人拎着两个壶，每打一壶要 1分钟，这是一个很常见情况。n方法 A：经验方法。这么，当有两人等候时，两个人各用一个龙头，为将10个人打满，总共等候时间是：2*(2+4+6+8+10)=60 分钟n方法 B：每次分配水龙头时都优先满足最前面人。这么，当有两人等候时，第一个人先用两个龙头，等他打完了第二个人再用。这种方法下总等候时间是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 分钟n结果后一个方法被证实是更有效率。也就是说，这个看起来有些自私方案，这个经常被我们训斥方案，实际上是一个更合理方案。第9页例3.银行问题n去中国工商银行存取钱对每个人来说都决不是一次愉快经历。我平均每次去取钱都最少要花上半个小时时间，这促使我考虑是否有方法在现有窗口情况下提升整个系统效率。n不一样任务量串行服务队列第10页例4.万有引力定律发觉n开普勒三大定律n行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆一个焦点上。n行星在单位时间内扫过面积不变。n行星运行周期平方正比于椭圆长半轴三次方，百分比系数不随行星而改变（绝对常数）。n牛顿依据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出万有引力定律。Proof第11页数学建模普通步骤n了解问题实际背景，明确建模目标，搜集掌握必要数据资料。n在明确建模目标，掌握必要资料基础上，经过对资料分析计 算，找出起主要作用原因，经必要精炼、简化，提出若干符合客观实际假设。n在所作假设基础上，利用适当数学工具去刻划各变量之间关系，建立对应数学结构 即建立数学模型。n模型求解。n模型分析与检验。实体信实体信息息(数据数据)假设假设建模建模求解求解验证验证应用应用第12页能力培养n能力上能力上 锻炼锻炼n观察能力观察能力、分析能力、归纳能力分析能力、归纳能力和和数据处理数据处理能力能力n在尽可能短时间内在尽可能短时间内查到并学会查到并学会我想应用知识本我想应用知识本事事nGooglen图书馆n创新能力创新能力第13页Course Goalsn让同学们真正能n提升发觉问题和处理问题能力n利用知识和寻找知识能力n学有所用，增强兴趣和信心n方法n多思索分析n实践第14页预备技能n数学知识n分析，代数，几何，概论，统计，优化n软件使用nMicrosoft Word,Visio,LaTeXnMatlab,Mathematica,Maple,Lindo,Lingon编程nC/C+nGUI Programming第15页Grading PoliciesnGeneral homework and Large projects(?%)nFinal exams(?%)第16页Grading Policies5+n方法新奇巧妙，非常好5模型建立求解合理，书写很好4模型建立求解合理，书写规范3n模型建立求解基本合理，但书写普通2n模型建立求解有问题，书写普通1模型建立不正确，书写糟糕，态度有问题0态度有问题，很遗憾 第17页Requirements(1)n模型汇报书写n符合规范n文字，图表清楚n数听说明第18页Requirement(3)n独立完成n相互帮助n团体合作n绝不允许剽窃！第19页Q&A第20页一些简单实例第21页例例1 某人平时下班总是按预定时间抵达某处，然某人平时下班总是按预定时间抵达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟抵达该处，于是此人就沿着妻子来接他了三十分钟抵达该处，于是此人就沿着妻子来接他方向步行回去并在途中碰到了妻子，这一天，他方向步行回去并在途中碰到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？间？1.51.5 一些简单实例一些简单实例 似乎条件不够哦似乎条件不够哦 。换一个想法，问题就迎刃而换一个想法，问题就迎刃而解了。假如他妻子碰到他后仍载解了。假如他妻子碰到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前十分他就不会提前回家了。提前十分钟时间从何而来？钟时间从何而来？显然是因为节约了从相遇点到显然是因为节约了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一会合点，又从会合点返回相遇点这一段路缘故，故由相遇点到会合点需开段路缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟抵达分钟。而此人提前了三十分钟抵达会合点，故相遇时他已步行了二十五会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。分钟。请思索一下，本题解答中隐含了哪些假设请思索一下，本题解答中隐含了哪些假设请思索一下，本题解答中隐含了哪些假设请思索一下，本题解答中隐含了哪些假设？第22页例例2 2 某人第一天由某人第一天由 A A地去地去B B地，第二天由地，第二天由 B B地沿原路返回地沿原路返回 A A 地。问：在什么条件下，地。问：在什么条件下，能够确保途中最少存在一地，此人在两天能够确保途中最少存在一地，此人在两天中同一时间抵达该地。中同一时间抵达该地。分析分析分析分析 本题多少本题多少本题多少本题多少 有点象有点象有点象有点象 数学中数学中数学中数学中 解存在解存在解存在解存在 性条件性条件性条件性条件 及证实，当及证实，当及证实，当及证实，当 然然然然 ，这里情况要简单得多。，这里情况要简单得多。，这里情况要简单得多。，这里情况要简单得多。假如我们换一个想法，把第二天返回改变成另一人在同一假如我们换一个想法，把第二天返回改变成另一人在同一天由天由B B去去A A，问题就化为在什么条件下，两人最少在途中相，问题就化为在什么条件下，两人最少在途中相遇一次，这么结论就很轻易得出了：只要任何一人抵达时遇一次，这么结论就很轻易得出了：只要任何一人抵达时间晚于另一人出发时间，两人必会在途中相遇。间晚于另一人出发时间，两人必会在途中相遇。（请自己据此给出严格证实）请自己据此给出严格证实）第23页例例3 3 交通灯在绿灯转换成红灯时，有交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态一个过渡状态亮一段时间黄灯。亮一段时间黄灯。请分析黄灯应该亮多久。请分析黄灯应该亮多久。构想一下黄灯作用是什么，不难看出，构想一下黄灯作用是什么，不难看出，黄灯起是警告作用，意思是马上要转黄灯起是警告作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请马上停车。红灯了，假如你能停住，请马上停车。停车是需要时间，在这段时间内，车停车是需要时间，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离辆仍将向前行驶一段距离 L。这就是。这就是说，在离街口距离为说，在离街口距离为 L处存在着一条处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见停车线（尽管它没被画在地上），见图图1-4。对于那些黄灯亮时已过线车辆，。对于那些黄灯亮时已过线车辆，则应该确保它们仍能穿过马路。则应该确保它们仍能穿过马路。马路宽度马路宽度 D是轻易测得是轻易测得，问题关键在，问题关键在 于于L确实定。确实定。为确定为确定 L，还应该将，还应该将 L划分为两段：划分为两段：L1和和L2，其其中中 L1是司机在发觉黄灯亮及判断应该刹车反应时是司机在发觉黄灯亮及判断应该刹车反应时间内驶过旅程间内驶过旅程 ，L2为刹车制动后车辆驶过旅程。为刹车制动后车辆驶过旅程。L1较轻易计算，交通部门对司机平均反应时间较轻易计算，交通部门对司机平均反应时间 t1早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道行驶速度此街道行驶速度 v 也是交管部门早已定好，目也是交管部门早已定好，目标是使交通流量最大，可另建模型研究，从而标是使交通流量最大，可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离。刹车距离 L2既可用曲线拟合方法得出，既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来也可利用牛顿第二定律计算出来。黄灯终究应该亮多久现在已经变得清楚多了。第黄灯终究应该亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯司机停应多大才能使看见黄灯司机停得住车。第二步，黄灯亮时间应该让已过线车顺得住车。第二步，黄灯亮时间应该让已过线车顺利穿过马路，即利穿过马路，即T 最少应该到达最少应该到达 （L+D）/v。DL第24页例例4 4 将形状质量相同砖块一一向右往外叠将形状质量相同砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远能够放，欲尽可能地延伸到远方，问最远能够延伸多大距离。延伸多大距离。设砖块是均质，长度与重量均设砖块是均质，长度与重量均 为为1 1，其，其 重心重心在中点在中点1/21/2砖优点，现用砖优点，现用归纳法归纳法推导。推导。Zn(n1)n(n1)由第由第 n块砖受到两个力力矩相等，有：块砖受到两个力力矩相等，有：1/2-Zn=(n1)Zn故故Zn=1/(2n)，从而上面，从而上面 n块砖向右推出总块砖向右推出总距离为距离为 ，故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至 任意远任意远任意远任意远 ，这一结果多少，这一结果多少，这一结果多少，这一结果多少有点出人意料。有点出人意料。有点出人意料。有点出人意料。第25页例例5 5 某人住在某公交线附近，该公交线路某人住在某公交线附近，该公交线路为在为在A A、B B两地间运行，每隔两地间运行，每隔 10 10分钟分钟A A、B B两两地各发出一班车，此人常在离家最近地各发出一班车，此人常在离家最近 C C点点等车，他发觉了一个令他感到奇怪现象：等车，他发觉了一个令他感到奇怪现象：在绝大多数情况下，先到站总是由在绝大多数情况下，先到站总是由 B B去去A A车，车，莫非由莫非由 B B去去A A车次多些吗？请你帮助他找一车次多些吗？请你帮助他找一下原因下原因ABABABAB发出车次显然是一样多，发出车次显然是一样多，发出车次显然是一样多，发出车次显然是一样多，不然一处车辆将会越积越多。不然一处车辆将会越积越多。不然一处车辆将会越积越多。不然一处车辆将会越积越多。因为距离不一样，设因为距离不一样，设 A A到到C C行驶行驶3131分钟，分钟，B B到到C C要行驶要行驶 3030分钟，考查分钟，考查一个时间长度一个时间长度 为为1010分钟区间，比分钟区间，比如，能够从如，能够从 A A方向来车驶方向来车驶 离离C C站时站时开始，在其后开始，在其后 9 9分钟内抵达乘客见分钟内抵达乘客见到先来车均为到先来车均为 B B开往开往A A，仅有最，仅有最 后后1 1分钟抵达乘客才见到分钟抵达乘客才见到 由由A A来车先来车先到。由此可见，假如此人到。由此可见，假如此人 到到C C站等站等车时间是随机，则他先遇车时间是随机，则他先遇 上上B B方向方向来车概率为来车概率为 90%90%。第26页例例6 6 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子位置，必须确定尽快找回匣子。确定黑匣子位置，必须确定其所在方向和距离，试设计一些寻找黑匣子其所在方向和距离，试设计一些寻找黑匣子方法。因为要确定两个参数，最少要用仪器方法。因为要确定两个参数，最少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线强度。强度。第27页方法一方法一点光源发出射线在各点处照度与其到点光源点光源发出射线在各点处照度与其到点光源 距离平方成距离平方成反比，即反比，即 黑匣子所在黑匣子所在 方向方向很轻易确定，关键在于确定很轻易确定，关键在于确定 距离距离。设在设在同一方向不一样位置检测了两次，测得照度分别为同一方向不一样位置检测了两次，测得照度分别为I1和和I2，两测量点间距离为两测量点间距离为 a，则有，则有第28页方法二方法二在在方法一方法一中，两检测点与黑匣子中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较轻易位于一直线上，这一点比较轻易 做到，主要缺点是结果对照度测做到，主要缺点是结果对照度测 量精度要求较高，极少误差会造成结果很大改变，量精度要求较高，极少误差会造成结果很大改变，即敏感性很强，现提出另一方法，在即敏感性很强，现提出另一方法，在 A A点测得黑点测得黑匣子方向后匣子方向后 ，到，到B B点再测方向点再测方向 ，ABAB 距离为距离为a ，BACBAC=，ABCABC=，利用正弦定理得出，利用正弦定理得出 d=asinsin/sin(/sin(+)。需要指出是，当黑匣子位。需要指出是，当黑匣子位于较远处而于较远处而 又较小时，又较小时，+可能非常靠近可能非常靠近（ACBACB靠近于靠近于0 0），而），而sinsin（+）又恰好位又恰好位于分母上，因而对结果准确性影响也会很大，为于分母上，因而对结果准确性影响也会很大，为了使结果很好，应使了使结果很好，应使a也相对较大。也相对较大。BACa第29页例7n将一张四条腿方桌放在不平地面上，不允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转，是否总能设法使其四条腿同时落地？第30页假设n地面为连续曲面n方桌四条腿长度相同 n相对于地面弯曲程度而言，方桌腿是足够长 n方桌腿只要有一点接触地面就算着地。第31页模型组成模型组成用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)对称性对称性xBADCODC B A 用用(对角线与对角线与x轴夹角轴夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 函数函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g()两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性第32页用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来f(),g()是是连续连续函数函数对任意对任意,f(),g()最少一个为最少一个为0数学数学问题问题已知：已知：f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意，f()g()=0;且且 g(0)=0，f(0)0.证实：存在证实：存在 0，使，使f(0)=g(0)=0.模型组成模型组成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置最少三只脚着地最少三只脚着地第33页给出一个简单、粗糙证实方法给出一个简单、粗糙证实方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD交换。交换。由由g(0)=0，f(0)0，知，知f(/2)=0,g(/2)0.令令h()=f()g(),则则h(0)0和和h(/2)0.由由 f,g连续性知连续性知 h为连续函数为连续函数,据连续函数基本性质据连续函数基本性质,必存在必存在 0,使使h(0)=0,即即f(0)=g(0).因为因为f()g()=0,所以所以f(0)=g(0)=0.评注和思索评注和思索建模关键建模关键 和 f(),g()确定模型求解第34页思索n若方桌改为长方形桌子，结论怎样？第35页如图，有椭圆方程如图，有椭圆方程:矢径所扫过面矢径所扫过面 积积A微分为微分为:由开普勒第二定由开普勒第二定 律律:常数常数马上得出马上得出:即即:椭圆面积椭圆面积由此得出由此得出常数常数简单推导以下：简单推导以下：行星行星r太阳太阳第36页我们还需算出行星加速度，为此需要建立我们还需算出行星加速度，为此需要建立 两种两种 不不一样坐标架。第一个是固定，以太阳为坐标原点，沿长一样坐标架。第一个是固定，以太阳为坐标原点，沿长轴方向单位向量记轴方向单位向量记 为为i,沿短轴方向单位向量记沿短轴方向单位向量记 为为j，于是：，于是：进而有进而有 加速度加速度以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交单位向量以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交单位向量分别是分别是所以得出所以得出因为因为第37页也就是说行星加速度为也就是说行星加速度为由开普勒第三定律知由开普勒第三定律知为常数。若记为常数。若记那么就导出著名那么就导出著名 万有引力定律：万有引力定律：再将椭圆方程再将椭圆方程 两边微分两次，得两边微分两次，得将前面得到结果将前面得到结果和焦参数和焦参数代入，即得代入，即得第38页