可逆矩阵判定典型例题.doc
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1、典型例题(二)方阵可逆的判定 例1 设A是n阶方阵, 试证下列各式: (1)若, 则; (2)若A、B都是n阶可逆矩阵, 则; (3); (4)若, 则; (5); (6)若, 则(l为自然数); (7). 证 (1)因为, 故A是可逆矩阵, 且两边同时取转置可得故由可逆矩阵的定义可知是AT的逆矩阵. 即 (2)利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有(2-7)另一方面(2-8)比较式(2-7)、(2-8)可知又因为A、B均可逆, 所以(AB)也可逆, 对上式两端右乘可得 (3)设n阶方阵A为于是可得A的伴随矩阵为注意到A的转置矩阵为可推出的伴随矩阵为比较与可知 (4)因为, 故A可逆, A的逆矩阵
2、为, 并且由可知由于, 可逆且可得另一方面, 由由矩阵可逆的定义知, 可逆, 并且 (5)对于(3)给出的矩阵A, 有即的代数余子式为故 (6)因为, 故A可逆, 并且l个l个 (7)对于(3)给出的矩阵A, 有类似于(5)可知的代数余子式为, 故例2 设A是n阶非零矩阵, 并且A的伴随矩阵满足, 证明A是可逆矩阵. 证 根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式, 有反证, 假设A不可逆, 故有, 由上式及条件, 有(2-6) 设矩阵A为由式(2-6)可知 比较上式两边矩阵对角线上的元素有故因此有A = O, 与A是n阶非零矩阵矛盾, 故A是可逆矩阵.例3 设A、B都是n阶可逆矩阵, 证明:的充要
3、条件是 证 必要性:因为因此即 充分性:因为, 故. 例4 设A是一个n阶方阵, n为奇数, 且, 证明不可逆. 证 因为, 故因此有 所以故是不可逆矩阵.例5 设A是n阶方阵且对某个正整数k满足, 证明是可逆矩阵, 并求. 证 由于故对于方阵A的多项式, 仍有注意到, 故有因此可逆, 并且 例6 设A是阶方阵, 是A的伴随矩阵的伴随矩阵, 证明: (1); (2). 证 (1)利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系, 有即从而有对两边取行列式, 有若A可逆, , 故, 于是有若A不可逆, 则, 的秩小于或等于1, 故, 仍有 (2)对两边取行列式, 有若A可逆, 所以, 从而有, 于是可知若A不可逆, 则例7 设A、B是同阶方阵, 已知B是可逆矩阵, 且满足, 证明A和都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵. 证 因为, 由于 所以, 因而有 可逆. 由可知 由可知.例8 设A、B均是n阶方阵, 且可逆, 则也可逆, 并且 证 考察两个矩阵的乘积因此可逆, 并且 例9 设n阶矩阵A、B和均可逆, 证明: (1)也可逆, 且 (2) 证 (1)因为两边取行列式有 因为A、B、可逆, 故所以有 故是可逆矩阵. 故 同理可证. (2)因为 故 同理可证.
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