托勒密定理及圆的其它定理.doc
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1、托勒密定理 定理图定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文:圆的内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质定理提出 定理的内容 。 摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 定理表述:圆的内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和
2、差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质 定理内容指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。证明一、(以下是推论的证明,托勒密定理可视作特殊情况。) 在任意凸四边形ABCD中(如右图),作ABE使BAE=CAD ABE= ACD,连接DE. 则ABEACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD (1) 由ABEACD得AD/AC=AE/AB,又BAC=EAD, 所以ABCAED. BC/ED=AC/AD,即EDAC=BCAD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=ABCD+ADBC 又因为BE+EDBD (仅在四边形ABCD是某圆的
3、内接四边形时,等号成立,即“托勒密定理”) 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数,则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是:(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式: (a b)(c d) + (a d)(b c) = (a c)(b d) ,两边取模,运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上,托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、 设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上,圆周角BAC =
4、BDC,而在AB上,ADB = ACB。 在AC上取一点K,使得ABK = CBD; 因为ABK + CBK = ABC = CBD + ABD,所以CBK = ABD。 因此ABK与DBC相似,同理也有ABD KBC。 因此AK/AB = CD/BD,且CK/BC = DA/BD; 因此AKBD = ABCD,且CKBD = BCDA; 两式相加,得(AK+CK)BD = ABCD + BCDA; 但AK+CK = AC,因此ACBD = ABCD + BCDA。证毕。 三、 托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与
5、另一组对边所包矩形的面积之和)已知:圆内接四边形ABCD,求证:ACBD=ABCD+ADBC 证明:如图1,过C作CP交BD于P,使1=2,又3=4,ACDBCP得AC:BC=AD:BP,ACBP=ADBC 。又ACB=DCP,5=6,ACBDCP得AC:CD=AB:DP,ACDP=ABCD 。+得 AC(BP+DP)=ABCD+ADBC即ACBD=ABCD+ADBC 四、广义托勒密定理:设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n,则有: m2*n2=a2*c2+b2*d2-2abcd*cos(A+C) 推论1.任意凸四边形ABCD,必有ACBDABCD+ADBC,当
6、且仅当ABCD四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆、 推广托勒密不等式:凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积,取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明:复数恒等式:(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),两边取模, 得不等式ACBD|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=ABCD+BCAD 运用要点1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。 欧拉定理:在一条线段上AD上,顺
7、次标有B、C两点,则ADBC+ABCD=ACBD弦切角定理1. 推论内容 2. 应用举例弦切角定义顶点在圆上,一边和圆相交,另 图示一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角) 如右图所示,直线PT切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦,TCB,TCA,PCA,PCB都为弦切角。 弦切角定理弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 弦切角定理证明: 证明一:设圆心为O,连接OC,OB,。 TCB=90-OCB BOC=180-2OCB ,BOC=2TCB(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半) BOC=2CAB(圆心角等于圆周角的两倍) TCB
8、=CAB(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角) 证明已知:AC是O的弦,AB是O的切线,A为切点,弧是弦切角BAC所夹的弧. 求证:(弦切角定理) 证明:分三种情况: (1)圆心O在BAC的一边AC上 AC为直径,AB切O于A, 弧CmA=弧CA 为半圆, CAB=90=弦CA所对的圆周角 B点应在A点左侧(2)圆心O在BAC的内部. 过A作直径AD交O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么,连接EC、ED、EA 则有:CED=CAD、DEA=DAB CEA=CAB (弦切角定理) (3)圆心O在BAC的外部, 过A作直径AD交O于D 那么 CDA+CAD=CAB+CAD=90 C
9、DA=CAB (弦切角定理) 弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等 应用举例 例1:如图,在RtABC中,C=90,以AB为弦的O与AC相切于点A,CBA=60 , AB=a 求BC长. 解:连结OA,OB. 在RtABC中, C=90 BAC=30 BC=1/2a(RT中30角所对边等于斜边的一半) 例2:如图,AD是ABC中BAC的平分线,经过点A的O与BC切于点D,与AB,AC分别相交于E,F. 求证:EFBC. 证明:连DF. AD是BAC的平分线BAD=DAC EFD=BAD EFD=DAC O切BC于D FDC=DAC EFD=FDC EFBC 例3:如图
10、,ABC内接于O,AB是O直径,CDAB于D,MN切O于C, 求证:AC平分MCD,BC平分NCD. 证明:AB是O直径 ACB=90 CDAB ACD=B, MN切O于C MCA=B, MCA=ACD, 即AC平分MCD, 同理:BC平分NCD. 相交弦定理 概念相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。(经过圆内一点引两条弦,各弦被这点所分成的两段的积相等) 相交弦说明几何语言: 若弦AB、CD交于点P 则PAPB=PCPD(相交弦定理) 推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 几何语言: 若AB是直径,CD垂直AB于点P, 则PC2=
11、PAPB(相交弦定理推论) 如何证明证明:连结AC,BD,由圆周角定理的推论,得A=D,C=B。(圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.) PACPDB,PAPD=PCPB,PAPB=PCPD 注:其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。 其逆定理也可用于证明四点共圆。 比较相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。切割线定理定理切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。 切割线定理示意图几何语言: PT切O于点T,PBA是O的割线
12、 PT的平方=PAPB(切割线定理)推论: 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言: PBA,PDC是O的割线 PDPC=PAPB(切割线定理推论)(割线定理) 由上可知:PT的平方=PAPB=PCPD 证明切割线定理证明: 设ABP是O的一条割线,PT是O的一条切线,切点为T,则PT2=PAPB 证明:连接AT, BT PTB=PAT(弦切角定理) 切割线定理的证明P=P(公共角) PBTPTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB:PT=PT:AP 即:PT2=PBPA 比较相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆
13、幂定理。一般用于求直线段长度。圆幂定理求助编辑百科名片 圆幂定理圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及它们推论统一归纳的结果。定义圆幂=PO2-R2(该结论为欧拉公式) 所以圆内的点的幂为负数,圆外的点的幂为正数,圆上的点的幂为零。 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 割线定理:从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B;C、D,则有 PAPB=PCPD。 统一归纳:过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2,L1与圆交于A、B(可重合,即切线),L
14、2与圆交于C、D(可重合),则有PAPB=PCPD。 证明圆幂定理(相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理) 问题1相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。 证明:连结AC,BD,由圆周角定理的推论,得A=D,C=B。 PACPDB PA/PD=PC/PB PAPB=PCPD 问题2割线定理:从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PAPB=PCPD,当PA=PB,即直线AB重合,即PA切线时得到切线定理PA2=PCPD 证明:(令A在P、B之间,C在P、D之间) ABCD为圆内接四边形 CAB+CDB=180 又CAB+PAC=1
15、80 PAC=CDB APC公共 APCDPB PA/PD=PC/PB PAPB=PCPD 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 几何语言:PT切O于点T,PBA是O的割线 PT2=PAPB(切割线定理) 推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言:PBA、PDC是O的割线 PDPC=PAPB(切割线定理推论) 问题3过点P任作直线交定圆于两点A、B,证明PAPB为定值(圆幂定理)。 证:以P为原点,设圆的方程为 (x-xO)2+(y-yO)2=a 过P的直线为 x=k1t y=k2t 则A、B的
16、横坐标是方程 (k1t-xO)2+(k2t-yO)2=r2 即 (k12+k22)t2-2(k1xO+k2yO)t+xO2+yO2-r2=0 的两个根t1、t2。由韦达定理 t1t2=(xO2+yO2-2)/(k12+k22) 于是 PAPB=(k1t1)2+(k2t1)2)(k1t2)2+(k2t2)2) =(k12+k22)2|t1|t2| =k12+k22|(xO2+yO2-r2)/(k12+k22)| =|(xO2+yO2-r2)| 为定值,证毕。 圆也可以写成 x2+y2-2xOx-2yOy+xO2+yO2-a=0 其中a为圆的半径的平方。所说的定值也就是(原点)与圆心O的距离的平方
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