廿一世纪的数学展望ppt课件市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、廿一世紀數學展望廿一世紀數學展望丘成桐教授丘成桐教授浙江大学浙江大学哈佛大学哈佛大学六月二十五日六月二十五日第1页數學數學社會現象社會現象工程現象工程現象物理現象物理現象第2页社會現象社會現象經濟經濟金融金融保險保險估值估值病病歷歷調調查查生生物統計調查物統計調查城市規劃城市規劃人口流動人口流動人口調查人口調查民意調查民意調查文文獻獻整整理理歷歷史史研究研究訊訊息息科科學學網網絡絡科學科學第3页工程現象工程現象計算機科學,圖像識別,密碼問題計算機科學,圖像識別,密碼問題半導体,量子工程學,分子結構半導体,量子工程學,分子結構固体科學固体科學軟体結構軟体結構材料力學材料力學結構理論結構理論地質結
2、構地質結構流体科學流体科學血液流問題血液流問題氣象科學氣象科學Fusion熱力學熱力學油管科學油管科學航空,航天航空,航天湍流問題湍流問題海洋海洋大氣大氣太空太空第4页物理現象物理現象弦理論弦理論量子多体問題量子多体問題多体問題多体問題古典力學古典力學電磁理論電磁理論廣義相對論廣義相對論量子力學量子力學量子場論量子場論基本粒子基本粒子統一場論統一場論第5页n n數學和工程科學乃是社會科學基礎數學和工程科學乃是社會科學基礎n n理論物理乃是工程科學基礎理論物理乃是工程科學基礎n n數學乃是理論物理基礎數學乃是理論物理基礎第6页人類科技愈進步愈能發現新現象人類科技愈進步愈能發現新現象種種繁複現象使
3、人極度迷惘種種繁複現象使人極度迷惘(比如:湍流問題、黑洞問題比如:湍流問題、黑洞問題)不过主宰全部現象變化只是幾個小數基不过主宰全部現象變化只是幾個小數基本定律。本定律。Standard model(標準模型標準模型)統一了三個基本場:電磁場、弱力、強力統一了三個基本場:電磁場、弱力、強力不过重力場和這三個場還未統一不过重力場和這三個場還未統一第7页重力場由廣義相對論描述,是狹義相對論和重力場由廣義相對論描述,是狹義相對論和牛頓力學統一理論而形成。牛頓力學統一理論而形成。這是愛因斯坦最富有想像力偉大創作。這是愛因斯坦最富有想像力偉大創作。愛因斯坦方程是愛因斯坦方程是 其中其中 gij ij 是
4、測度張量(引力場)是測度張量(引力場)Tij ij 是物質張量是物質張量 Rij ij 是是Ricci曲率張量曲率張量第8页弦理論企圖統一重力場和其它全部場。弦理論企圖統一重力場和其它全部場。在廿一世紀,基本數學會碰到同樣挑戰:在廿一世紀,基本數學會碰到同樣挑戰:基本數學大統一,只有在各門分支大統一基本數學大統一,只有在各門分支大統一時,全部分支才會放出燦爛火花。時,全部分支才會放出燦爛火花。每一門學問才會得到本質上瞭解。每一門學問才會得到本質上瞭解。第9页數學大統一將會比物理大統一來得基數學大統一將會比物理大統一來得基本,也將由統一場論孕育而出。本,也將由統一場論孕育而出。近代弦論發展已經成
5、功將近代弦論發展已經成功將微分幾何微分幾何代數幾何代數幾何群表示理論群表示理論數論數論拓樸學拓樸學相當主要部份統一起來。數學已經由此得相當主要部份統一起來。數學已經由此得到豐富果實。到豐富果實。第10页 大自然提供了極為主要數學模型,以大自然提供了極為主要數學模型,以上很多模型都是從物理直覺或從實驗觀察出上很多模型都是從物理直覺或從實驗觀察出來,不过數學家卻能够用自己想像,在來,不过數學家卻能够用自己想像,在觀察基礎上創造新結構。觀察基礎上創造新結構。成功新數學結構往往是幾代數學家成功新數學結構往往是幾代數學家共同努力得出结果,也往往是數學中幾共同努力得出结果,也往往是數學中幾個不一样分支合併
6、出來火花。個不一样分支合併出來火花。Andrew Wiles 工作是工作是Elliptic curve 和和Automorphic form,Representation theory 大合併。大合併。第11页 幾何和數字幾何和數字(尤其是整數尤其是整數)可說是數學裏最可說是數學裏最直觀對象,所以在大統一中起着最要緊直觀對象,所以在大統一中起着最要緊作用。作用。廿世紀數論學家通過代數幾何方法廿世紀數論學家通過代數幾何方法已經將整數方程一部份與幾何結合,群表已經將整數方程一部份與幾何結合,群表示理論亦逐漸與數論和幾何學結合。示理論亦逐漸與數論和幾何學結合。每次進步都有結構性變化每次進步都有結構性
7、變化,比如算術幾比如算術幾何產生。何產生。第12页 在這廿年間,拓樸學和幾何已經融合。在這廿年間,拓樸學和幾何已經融合。三維空間和四維空間研究非懂幾何不三維空間和四維空間研究非懂幾何不可。可。Thurston 猜測,是在三維空間上引用猜測,是在三維空間上引用幾何結構,這些創作新結構理論有劃時代幾何結構,這些創作新結構理論有劃時代主要性,正等如十九世紀引用主要性,正等如十九世紀引用Rieman surface概念一樣主要。概念一樣主要。第13页 分析和幾何亦逐漸融合,到当前為止,分析和幾何亦逐漸融合,到当前為止,微分方程在複幾何和拓撲學上有傑出貢微分方程在複幾何和拓撲學上有傑出貢獻。通過分析方法
8、,陳氏類,獻。通過分析方法,陳氏類,Hodge理論,理論,Atiyah-Singer指標定理和我們在復流型上搆指標定理和我們在復流型上搆造造Kahler-Einstein度量,在代數幾何中解決度量,在代數幾何中解決了主要問題。最近了主要問題。最近HamiltonRicci Flow通通過過Perelman工作可能解決工作可能解決Thurston猜猜想。想。第14页 在四維空間上,在四維空間上,Donaldson利用利用Taubes,Uhlenbeck規範場上存在性定理得到四維規範場上存在性定理得到四維拓撲突破。拓撲突破。上述工作和上述工作和Donaldson-Uhlenbeck-Yau在在Ya
9、ng-Mills工作都與弦理論息息相關。工作都與弦理論息息相關。事實上弦理論提供了極為主要訊息,使事實上弦理論提供了極為主要訊息,使得古典代數幾何得到新突破。我們期望弦理得古典代數幾何得到新突破。我們期望弦理論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深入暸解。入暸解。第15页 在二十一世纪数学里,三维双曲空间会变得在二十一世纪数学里,三维双曲空间会变得在二十一世纪数学里,三维双曲空间会变得在二十一世纪数学里,三维双曲空间会变得如黎曼曲面一样主要,数学会进入一个盡情享受如黎曼曲面一样主要,数学会进入一个盡情享受如黎曼曲面一样主要,数学会进入一个盡情享受如黎
10、曼曲面一样主要,数学会进入一个盡情享受低维空间特殊性质局面,在代数几何上,二维、低维空间特殊性质局面,在代数几何上,二维、低维空间特殊性质局面,在代数几何上,二维、低维空间特殊性质局面,在代数几何上,二维、三维和四维流型将会有更彻底了解。三维和四维流型将会有更彻底了解。三维和四维流型将会有更彻底了解。三维和四维流型将会有更彻底了解。我们希望我们希望我们希望我们希望HodgeHodge猜测会得到圆满处理,从而猜测会得到圆满处理,从而猜测会得到圆满处理,从而猜测会得到圆满处理,从而得知一个拓扑子流型什么时候能够由代数子流型得知一个拓扑子流型什么时候能够由代数子流型得知一个拓扑子流型什么时候能够由代
11、数子流型得知一个拓扑子流型什么时候能够由代数子流型来表示。一样问题也适合用于来表示。一样问题也适合用于来表示。一样问题也适合用于来表示。一样问题也适合用于Vector burdleVector burdle上。上。上。上。由弦理论得到启示,有些特殊子流形或可代替换由弦理论得到启示,有些特殊子流形或可代替换由弦理论得到启示,有些特殊子流形或可代替换由弦理论得到启示,有些特殊子流形或可代替换数流型。数流型。数流型。数流型。第16页 現在舉一個理論物理,數學和應用科學現在舉一個理論物理,數學和應用科學上共同而主要問題:上共同而主要問題:基本物理上基本物理上Hierachy問題,是一個問題,是一個Sc
12、ale問題。問題。引力場和其它力場引力場和其它力場Scale相差極遠,相差極遠,怎样統一,怎样解釋?怎样統一,怎样解釋?在古典物理,微分方程,微分幾何和各在古典物理,微分方程,微分幾何和各類分析中亦有不一样類分析中亦有不一样Scale 怎样融合問題。怎样融合問題。在統計物理和高能物理中,用到所謂在統計物理和高能物理中,用到所謂renormalization group方法,是非穩定方法,是非穩定系統一個主要工具。系統一個主要工具。第17页 怎样用基本方法去處理不一样怎样用基本方法去處理不一样Scale 是應是應用數學中一個主要問題。用數學中一個主要問題。純數學將會是處理不一样度量主要工純數學將
13、會是處理不一样度量主要工具。而事實上,純數學本身亦有不一样度量具。而事實上,純數學本身亦有不一样度量問題。問題。在微分方程,或微分幾何碰到奇異點或在微分方程,或微分幾何碰到奇異點或在研究漸近分析時,在研究漸近分析時,Blowing up 分析是一個分析是一個很主要工具,而這種很主要工具,而這種Blowing up工具亦工具亦是代數幾何中最有效工具。是代數幾何中最有效工具。第18页 在非綫性微分方程中,我們需要更進一步做定在非綫性微分方程中,我們需要更進一步做定在非綫性微分方程中,我們需要更進一步做定在非綫性微分方程中,我們需要更進一步做定性和定量分析來研究由性和定量分析來研究由性和定量分析來研
14、究由性和定量分析來研究由Blowing upBlowing up得出来結得出来結得出来結得出来結果,所以對不一样果,所以對不一样果,所以對不一样果,所以對不一样scalescale量得到進一步認識。量得到進一步認識。量得到進一步認識。量得到進一步認識。微分幾何張量分析微分幾何張量分析微分幾何張量分析微分幾何張量分析 (曲率張量曲率張量曲率張量曲率張量)在在在在multiscalemultiscale分分分分析中應該會有主要應用,因為即使在同一點上,有析中應該會有主要應用,因為即使在同一點上,有析中應該會有主要應用,因為即使在同一點上,有析中應該會有主要應用,因為即使在同一點上,有不一样方向變化
15、,而此種變化亦應當受到不一样方向變化,而此種變化亦應當受到不一样方向變化,而此種變化亦應當受到不一样方向變化,而此種變化亦應當受到scalescale影影影影响。响。响。响。當一個圖當一個圖當一個圖當一個圖 (graph)(graph)迫近一個幾何圖形或微分方程迫近一個幾何圖形或微分方程迫近一個幾何圖形或微分方程迫近一個幾何圖形或微分方程解時,解時,解時,解時,multiscalemultiscale 分析極為主要,怎样解決這些問分析極為主要,怎样解決這些問分析極為主要,怎样解決這些問分析極為主要,怎样解決這些問題無論在純數學和應用數學都是主要問題,我希望題無論在純數學和應用數學都是主要問題,
16、我希望題無論在純數學和應用數學都是主要問題,我希望題無論在純數學和應用數學都是主要問題,我希望研究離散數學學者亦注意到這一點。研究離散數學學者亦注意到這一點。研究離散數學學者亦注意到這一點。研究離散數學學者亦注意到這一點。第19页近代弦論發現有不一样量子場論能够相互近代弦論發現有不一样量子場論能够相互同構同構(isomorphic)然而然而scale 剛好相反剛好相反所以一個強所以一個強 Coupling Constant理論可理論可以同另一個弱以同另一個弱Coupling Constant理論理論同構,而後者能够從漸近分析理論來計同構,而後者能够從漸近分析理論來計算。算。第20页 由於由於R
17、 R 這種奇妙對稱能够保持量子這種奇妙對稱能够保持量子場論結構,使得我們能够用擾動性場論結構,使得我們能够用擾動性(perturbation analysisperturbation analysis)方法去計算非擾)方法去計算非擾動場論,在數學上得到驚人結果。動場論,在數學上得到驚人結果。更要注意到一點是時空結構可能所以有更要注意到一點是時空結構可能所以有基本上觀念改變。極小空間不再有意義。時空基本上觀念改變。極小空間不再有意義。時空量子化描述需要更進一步探討。物理學家和幾量子化描述需要更進一步探討。物理學家和幾何學家都希望能夠找尋一個幾何結構來描述這何學家都希望能夠找尋一個幾何結構來描述這
18、個量子化空間。有不少學者建議用矩陣模式來個量子化空間。有不少學者建議用矩陣模式來解釋這種現象,雖然未能達到目標但已得到美解釋這種現象,雖然未能達到目標但已得到美妙數學現象。妙數學現象。第21页 約在兩百年前,約在兩百年前,GaussGauss發現發現GaussGauss曲率觀曲率觀念而了解到內蘊幾何時,就感歎到空間觀念與念而了解到內蘊幾何時,就感歎到空間觀念與時而變,和人類對大自然瞭解有亲密關係。時而變,和人類對大自然瞭解有亲密關係。這二十年來,超對稱觀念深深地影響著這二十年來,超對稱觀念深深地影響著基本物理和數學發展,在實驗上雖然还未發現基本物理和數學發展,在實驗上雖然还未發現超對稱,但在數
19、學上卻起著凝聚各門分枝能力,超對稱,但在數學上卻起著凝聚各門分枝能力,我們寧可相信在極高能量時,超對稱確實存在,我們寧可相信在極高能量時,超對稱確實存在,但怎样对待超對稱在現實時空中殘餘,應當會但怎样对待超對稱在現實時空中殘餘,應當會是現代應用物理和應用數學一個主要命題。是現代應用物理和應用數學一個主要命題。第22页 舉例來說,在超對稱結構中,規範場和電磁舉例來說,在超對稱結構中,規範場和電磁舉例來說,在超對稱結構中,規範場和電磁舉例來說,在超對稱結構中,規範場和電磁場會與完全不相關子流形理論同構,是否意味著場會與完全不相關子流形理論同構,是否意味著場會與完全不相關子流形理論同構,是否意味著場
20、會與完全不相關子流形理論同構,是否意味著這種日常能見場論能够用不一样手法來處理?這種日常能見場論能够用不一样手法來處理?這種日常能見場論能够用不一样手法來處理?這種日常能見場論能够用不一样手法來處理?種種不一样現象顯示,弦論、幾何、群表示種種不一样現象顯示,弦論、幾何、群表示種種不一样現象顯示,弦論、幾何、群表示種種不一样現象顯示,弦論、幾何、群表示理論逐漸會與算術幾何靠近。在所謂理論逐漸會與算術幾何靠近。在所謂理論逐漸會與算術幾何靠近。在所謂理論逐漸會與算術幾何靠近。在所謂ArakelovArakelovArakelovArakelov理理理理論中,除了在複數上定義代數空間外,還需要考論中,
21、除了在複數上定義代數空間外,還需要考論中,除了在複數上定義代數空間外,還需要考論中,除了在複數上定義代數空間外,還需要考慮特微為慮特微為慮特微為慮特微為p p p p代數空間,才能夠對算術空間有完滿瞭代數空間,才能夠對算術空間有完滿瞭代數空間,才能夠對算術空間有完滿瞭代數空間,才能夠對算術空間有完滿瞭解,是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實界問題解,是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實界問題解,是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實界問題解,是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實界問題?由此观之,数论上?由此观之,数论上?由此观之,数论上?由此观之,数论上L L L L函数和函数和函数和函数和Birch-Swin
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