微分方程建模实例二市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

4.2 4.2 微分方程建模实例微分方程建模实例(二二)4.2.1.人口增加模型人口增加模型 4.2.2.赝品赝品判定判定 4.2.3.耐用新产品耐用新产品销售速度问题销售速度问题 4.2.4.传染病模型传染病模型第1页4.2.1 人口增加模型人口增加模型 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增加概况世界人口增加概况中国人口增加概况中国人口增加概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口改变规律，控制人口过快增加！研究人口改变规律，控制人口过快增加！第2页模型一模型一 (最简单人口增加模型最简单人口增加模型)：假设今年人口是假设今年人口是 x0,人口年增加率人口年增加率是是常数常数 r,于是，于是，k 年后年后人口人口为为:漂亮大自然第3页模型二模型二 (指数增加模型，即指数增加模型，即 Malthus 模型模型)：马尔萨斯马尔萨斯(17661834)Malthus，ThomasRobert英国著名经济学家，出生于英格兰一个土地贵族家庭.1784年进入剑桥大学学习，1798年加入英国教会僧籍,任牧师.1799年到欧洲一些国家调查人口问题.18成为英国第一位(也是世界上第一位)政治经济学教授.第4页模型假设模型假设：人口增加率人口增加率 r 是是常数常数.人口数量本应取离散值，人口数量本应取离散值，但但因为人口数量普通较因为人口数量普通较大大，为建立微分方程模，为建立微分方程模型，能够型，能够将人口数量看将人口数量看作连续变量作连续变量，甚至允许，甚至允许它为可微变量，由此引它为可微变量，由此引发误差将是十分微小发误差将是十分微小.第5页模型组成模型组成：设设 x(t)表示表示 t 时刻时刻人口人口，有，有当当 r 0，伴随时间增加，伴随时间增加，人口按人口按指数规律无限增加指数规律无限增加!回想：回想：第6页模型检验模型检验：比较历年人口统计资料，能够发觉人口增加实际情况与马尔萨斯模型预报结果基本相符.尤其，利用马尔萨斯模型验证并检验17至1961260年间人口实际数据，发觉二者几乎完全一致！比如，1961年世界人口数为30.6 亿，人口数大约每35年增加一倍.第7页模型预测模型预测：假如人口数真能保持每35年增加一倍，那么人口数将以几何级数方式增加。比如，到25，人口达21014个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺活动范围，而到2670年，人口达361015个，只好一个人站在另一人肩上排成二层了.故马尔萨斯模型是不完善.MalthusMalthus模型模型实际上只有在群体总数实际上只有在群体总数不太大时才合理不太大时才合理，当总数，当总数增大时，增大时，生物群体各组员之间因为有限生存生物群体各组员之间因为有限生存空间，有限自然资源及食物等原因，空间，有限自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象就可能发生生存竞争等现象.所以所以MalthusMalthus模型假设人口模型假设人口净增净增加率不可能一直保持常数，它加率不可能一直保持常数，它应该与人口数量相关应该与人口数量相关.第8页模型三模型三 (阻滞增加模型，即阻滞增加模型，即 Logistic 模型模型)：由荷兰生物由荷兰生物数学家数学家 P.F.Verhust 于于1837 年在研年在研究人口问题时建立究人口问题时建立.基于这个模型能够描述一基于这个模型能够描述一些事物客观规律，常些事物客观规律，常被被称为称为Logistic 模型模型.因为空间和资源都是有限，不可能供养无限增因为空间和资源都是有限，不可能供养无限增加种群个体，当种群数量过多时，因为人均资加种群个体，当种群数量过多时，因为人均资源拥有率下降及环境恶化、疾病增多等原因，源拥有率下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提升出生率将降低而死亡率却会提升.阻滞作用随人口数量增加而变大阻滞作用随人口数量增加而变大r 是是 x 减函数减函数第9页假定假定r(0)=r0：固有固有增加率增加率xm：人口容量人口容量(资源、环境能容纳最大数量资源、环境能容纳最大数量)s 意义是什么？意义是什么？第10页dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x0 xm/2第11页模型模型检验和预测检验和预测：大量试验资料表明用大量试验资料表明用LogisticLogistic模型描述种群增加，模型描述种群增加，效果相当不错效果相当不错!比如，数学家高斯把比如，数学家高斯把 5 5 只草履虫放进一个盛有只草履虫放进一个盛有0.5cm0.5cm3 3 营养液小试管，他发觉，开始时草履虫以天营养液小试管，他发觉，开始时草履虫以天天天 230.9%230.9%速率增加，今后增加速度不停减慢，到速率增加，今后增加速度不停减慢，到第五天到达最大量第五天到达最大量375375个，试验数据与个，试验数据与r r0 0=2.309=2.309，x0=5,xm=375 LogisticLogistic曲线：曲线：几乎完全吻合几乎完全吻合.第12页 Malthus 模型与 Logistic 模型即使都是为了研究种群数量增加情况而建立，但它们也可用来研究其它实际问题，只要这些实际问题数学规律与Malthus 模型与 Logistic 模型所反应数学规律类似即可.阻滞增加模型从一定程度上克服了指数增加模型不足，能够被用来做相对较长时期人口预测；而指数增加模型在做人口短期预测时因为其形式相对简单性也常被采取.总总 结结第13页4.2.2 赝品判定赝品判定在第二次世界大战比利时解放后，在第二次世界大战比利时解放后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯粹同谋犯.他们从一家曾向纳粹德国出卖过他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品企业中发觉线索，于艺术品企业中发觉线索，于19451945年年5 5月月2929日以通敌罪逮捕了三流日以通敌罪逮捕了三流画家画家汉汉凡凡米格伦米格伦(Han van(Han van Meegeren)Meegeren)，此人曾将，此人曾将1717世纪荷世纪荷兰著名画家兰著名画家约翰内斯约翰内斯维米尔维米尔(Johannes Vermeer)一些油画卖一些油画卖给了当初纳粹德国空军司令戈林给了当初纳粹德国空军司令戈林.维米尔名作维米尔名作戴珍珠耳环少女戴珍珠耳环少女第14页最初，最初，米格伦米格伦确实惊慌了一阵子确实惊慌了一阵子.可是，可是，米格伦米格伦在同在同年年7 7月月1212日在牢里突然宣称：他从未把真画卖给戈林，日在牢里突然宣称：他从未把真画卖给戈林，而且他还说，这些画包含当初众所周知油画而且他还说，这些画包含当初众所周知油画在埃牟在埃牟斯门徒斯门徒都是他自己为都是他自己为“戏弄纳粹戏弄纳粹”仿制品仿制品.一位法官试图一位法官试图证实证实米格伦米格伦确确有经过制赝牟利动机，他有经过制赝牟利动机，他却高调回答：却高调回答：“假如我不卖个高价，他们就不会相信假如我不卖个高价，他们就不会相信这是真！这是真！”在埃牟斯门徒在埃牟斯门徒（The Disciples at Emmaus）米格伦最著名伪作之米格伦最著名伪作之一一第15页这件事在当初震惊了全世界，为了证实自己是一个伪造者，这件事在当初震惊了全世界，为了证实自己是一个伪造者，米格伦米格伦在监狱里开始伪造在监狱里开始伪造维米尔维米尔油画油画在埃牟斯门徒在埃牟斯门徒.旁听民众为之疯狂，在短短时间内，卖国贼成了民族英雄，旁听民众为之疯狂，在短短时间内，卖国贼成了民族英雄，罪名转化为盛名，罪名转化为盛名，1947 1947年年1010月月1212日日米格伦米格伦被宣告犯有伪被宣告犯有伪造罪，判刑一年造罪，判刑一年.可是他在监狱中只待了两个多月就因心可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于脏病发作，于19471947年年1212月月3030日逝世了日逝世了.第16页六十年后，美国记者、专栏作家六十年后，美国记者、专栏作家乔乔纳森纳森洛佩兹洛佩兹(Jonathan Lopez)(Jonathan Lopez)出出版了版了制造维米尔人制造维米尔人(The man(The man who made Vermeers)who made Vermeers)一书一书.在书中，在书中，洛佩兹洛佩兹表示了对那个时代荷兰人民表示了对那个时代荷兰人民体谅：体谅：“荷兰人对荷兰人对米格伦米格伦态度并非态度并非不可了解不可了解.在二战中，这个国家遭在二战中，这个国家遭遇了残酷羞辱，光复也是在盟国帮遇了残酷羞辱，光复也是在盟国帮助下完成助下完成.米格伦米格伦给了未能主宰本给了未能主宰本身命运荷兰人内心深处想要得到东身命运荷兰人内心深处想要得到东西西.而对于而对于坑骗坑骗这种事情，他这种事情，他又是太熟谙了又是太熟谙了.”第17页然而，事情到此并未结束，许多人还是不愿相信著名在埃牟斯门徒是米格伦伪造.实际上，在此之前这幅画已经被文物判定家认定为真迹，并以17万美元高价被伦布兰特学会买下.教授小组对于怀疑者回答是：因为米格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制在埃牟斯门徒，来证实他高于三流画家.当创造出这么杰作后，他志气消退了.而且，当他看到这幅在埃牟斯门徒那么轻易卖掉以后，他在炮制以后伪制品时就不太专心了.这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学确定地证实在埃牟斯门徒确实是一个伪造品.这一问题拖了，直到1967年，才被卡内基梅伦大学科学家们基本处理.第18页原理与模型原理与模型 出发点出发点：测定油画中颜料矿物质年纪：测定油画中颜料矿物质年纪.测定年纪关键依赖于二十世纪初发觉放射性现象测定年纪关键依赖于二十世纪初发觉放射性现象.放射性现象放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在：著名物理学家卢瑟夫在二十世纪初二十世纪初发觉，发觉，一些一些“放射性放射性”元素原子是不稳定，在已知一段时间元素原子是不稳定，在已知一段时间内，有一定百分比原子会自然蜕变形成新元素原子，内，有一定百分比原子会自然蜕变形成新元素原子，且且 物质放射性正比于现存物质原子数物质放射性正比于现存物质原子数.用用 N(t)表示时刻表示时刻 t 时存在原子数时存在原子数,则：则：(为物质衰变率)第19页 和和 N(t)能能测出或算出，只要再知道出或算出，只要再知道 N0 就可断就可断代代.这正是问题难处，下面是间接确定这正是问题难处，下面是间接确定N0 方法方法.与负增加与负增加MalthusMalthus模型模型完全一样完全一样 其解为其解为:称称 t t0 为为衰变时间衰变时间,于是于是第20页与本问题相关其它知识与本问题相关其它知识:(1)(1)艺术家们应用白铅作为颜料之一艺术家们应用白铅作为颜料之一，已经有两千，已经有两千多年历史多年历史.白铅中含有微量放射铅白铅中含有微量放射铅210210，白铅是从，白铅是从铅矿中提炼出来，而铅又属于铀系铅矿中提炼出来，而铅又属于铀系.(2)(2)衡量物质衰变一个惯用参数是它衡量物质衰变一个惯用参数是它半衰期半衰期，即给，即给定数目标放射性原子衰变二分之一所需时间定数目标放射性原子衰变二分之一所需时间.令令则有则有:利用利用第21页(3)(3)铀238镭226铅210钋210铅206(放射性)(无放射性)地壳里几乎全部岩石中均含有微量铀.一方面，铀系中各种放射性物质均在不停衰减；其次，铀又不停衰减，补充着其后继元素.第22页设设 t 时刻时刻1克白铅中铅克白铅中铅210含量为含量为 N(t)；设镭单位时间铅设镭单位时间铅210分解数为分解数为 r(常数常数)；设设 为为铅铅210衰变率，衰变率，则则N(t)满足微分方程：满足微分方程：由此解得：由此解得：模型组成：模型组成：第23页若此画是真品，若此画是真品，t-t0 300(年年).从而可求出从而可求出 y0 近近似值似值.对对油画油画在埃牟斯门徒在埃牟斯门徒详细计算以下：详细计算以下：于是，于是，因为半衰期因为半衰期:于是，于是，第24页地壳里几乎全部岩石中均含有微量铀.一方面，铀系中各种放射性物质均在不停衰减，其次，铀又不停地衰减，补充着其后继元素.从而，各种放射性物质（除铀以外）在岩石中处于放射性平衡中.从铅矿中提炼铅时，铅210与铅206一起被作为铅留下，而其余物质则有9095%被留在矿渣里，因而打破了原有放射性平衡.各地采集岩石中铀含量差异很大，但从未发现含量高于3%.与本问题相关深入知识与本问题相关深入知识:第25页因为因为提炼前岩石中铀系提炼前岩石中铀系是处于放射性平衡，故铀与是处于放射性平衡，故铀与铅单位时间分解数相同铅单位时间分解数相同.设设 u是铀衰变率，是铀衰变率，是铅是铅210衰变率，衰变率，U0是是 0 时刻白铅中铀含量，时刻白铅中铀含量，N0 是是 0 时刻白铅中铅时刻白铅中铅210含量含量.于是于是，由此由此推算出每克白铅中铅推算出每克白铅中铅210每分钟分解数不能大于每分钟分解数不能大于30000个，不然铀含量将超出个，不然铀含量将超出4%，而这是不可能，而这是不可能.第26页若若则则(个)这些铀约这些铀约0.040.04克！克！即每克白铅约含即每克白铅约含0.040.04克铀，含量为克铀，含量为 4%.以上确定了每克白铅中铅分以上确定了每克白铅中铅分解数上界，若画上铅分解数解数上界，若画上铅分解数大于该值，说明画是赝品；大于该值，说明画是赝品；但但若是小于不能断定画一定若是小于不能断定画一定是真品是真品.第27页4.2.3 耐用新产品销售速度耐用新产品销售速度问题问题一个一个耐用新产品耐用新产品进入市场后，普通会都经过一进入市场后，普通会都经过一个销售量先不停增加，然后下降过程个销售量先不停增加，然后下降过程.研究新研究新产品销售量改变规律产品销售量改变规律,对于制订生产计划以及对于制订生产计划以及制订促销策略都很有意义制订促销策略都很有意义.怎样怎样建立数学模型描述建立数学模型描述产品销售速度，并由此产品销售速度，并由此给出一些有用结果以指导给出一些有用结果以指导生产？生产？第28页模型组成模型组成：设需求量有一个上界，记此上界为设需求量有一个上界，记此上界为 K.(对于耐用产品对于耐用产品,人们普通不会重复购置人们普通不会重复购置.所以所以,产品累积销售量可认为是购置者人数产品累积销售量可认为是购置者人数)记记 t 时刻已销售出商品数量为时刻已销售出商品数量为 x(t)，则还未，则还未使使用该商品用该商品人数为人数为 Kx(t).于是，于是，x(t)满足满足此方程即此方程即LogisticLogistic模型，解为：模型，解为：第29页dx/dtx0KK/2此方程即此方程即LogisticLogistic模型，模型，解为：解为：在销出量小于最大需求量二在销出量小于最大需求量二分之一时，销售速度是不停分之一时，销售速度是不停增大，销出量到达最大需求增大，销出量到达最大需求量二分之一时，该产品最为量二分之一时，该产品最为畅销，接着销售速度将开始畅销，接着销售速度将开始下降下降.第30页Ktx0 x0K/2此方程即此方程即LogisticLogistic模型，模型，解为：解为：所以早期应采取小批量生产并加以所以早期应采取小批量生产并加以广告宣传；从有广告宣传；从有20%20%用户到有用户到有80%80%用用户这段时期，应该大批量生产；后户这段时期，应该大批量生产；后期则应适时转产，这么做能够取得期则应适时转产，这么做能够取得较高经济效果较高经济效果.第31页对于对于技术革新推广，在以下几个情况下分别建立技术革新推广，在以下几个情况下分别建立模型模型：(1)(1)推广推广工作经过已经采取新技术人进行，推广工作经过已经采取新技术人进行，推广速度与采取新技术人数成正比，推广是无限速度与采取新技术人数成正比，推广是无限(2)(2)总总人数有限，因而推广速度还会伴随还未采人数有限，因而推广速度还会伴随还未采取新技术人数降低而降低取新技术人数降低而降低(3)(3)在在(2)2)前提下考虑广告等媒介传输作用前提下考虑广告等媒介传输作用第32页4.2.4 传染病模型传染病模型医医学学科科学学发发展展已已经经能能够够有有效效地地预预防防和和控控制制许许多多传传染染病病，天天花花在在世世界界范范围围内内被被毁毁灭灭，鼠鼠疫疫、霍霍乱乱等等传传染染病病得得到到控控制制.不不过过依依然然有有一一些些传传染染病病暴暴发发或或流行，危害人们健康和流行，危害人们健康和生命生命.被被传传染染人人数数与与哪哪些些原原因因相相关关？怎怎样样预预报报传传染染病病高高潮到来潮到来？第33页模型一模型一 记时刻记时刻 t 病人数为病人数为 i(t).每个每个病人在单位时间内传染人数为常数病人在单位时间内传染人数为常数k0.一一个个人得病后，经久不愈，人在传染期内不人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡会死亡.设设 i(t)是连续可微函数是连续可微函数.开始时有开始时有i0个传染病人个传染病人.模型模型假设及符号说明假设及符号说明：第34页模型组成模型组成：模型检验：模型检验：此模型即此模型即MalthusMalthus模型模型.这个结果与传染病早这个结果与传染病早期期情形情形比较吻合，但它表明病人人数将按指比较吻合，但它表明病人人数将按指数规律无限增加，显然与实际不符数规律无限增加，显然与实际不符.在传染病传输期间，一个病人单位时间内传在传染病传输期间，一个病人单位时间内传染人数染人数 k0 应该是改变应该是改变.第35页模型二模型二 在早期，在早期，k0 较大较大；伴随病人增多，伴随病人增多，健康者健康者降降低，被传染低，被传染机会也将降低，于是机会也将降低，于是 k0 就会变小就会变小.有必要将人群划分成有必要将人群划分成病人病人与与健康者健康者，来建立，来建立两房室系统两房室系统.模型模型假设假设及符号说明：及符号说明：单位时间内一个病人能传染人数与当初健康单位时间内一个病人能传染人数与当初健康者人数成正比，百分比系数为者人数成正比，百分比系数为k(传染强度传染强度).).记时刻记时刻 t 病人数为病人数为 i(t)，健康者人数为，健康者人数为 s(t)，满足满足 i(t)+s(t)=n.第36页一一个个人人得病后，经久不愈，人在传染期内不得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡会死亡.开始时有开始时有i0个传染病人个传染病人.模型组成模型组成：(Logistic 模型模型)第37页模型检验：模型检验：当当 i=n/2 时，时，di(t)/dt 到达最大值到达最大值.此时，此时，(传染病高潮到来传染病高潮到来)此值与传染病实际高峰期非常靠此值与传染病实际高峰期非常靠近，可用作医学上预报公式近，可用作医学上预报公式 第38页