数学物理方法概论市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、数学物理方法概论数学物理方法概论之之(格林函数)(格林函数)(格林函数)(格林函数)主讲教师:白璐主讲教师:白璐主讲教师:白璐主讲教师:白璐联络电话:联络电话:联络电话:联络电话:1529145699615291456996Email:bluxidian.edu.cEmail: nhttp:/ 格林函数格林函数 格林函数格林函数在电磁场理论中有广泛应用,本节将在电磁场理论中有广泛应用,本节将在线性空间框架下,建立格林函数定义和应用分析。在线性空间框架下,建立格林函数定义和应用分析。实际上,希尔伯特空间中实际上,希尔伯特空间中S-L系统(微分算子方系统(微分算子方程)与积分算子之间有着亲密联络,
2、从这个联络中程)与积分算子之间有着亲密联络,从这个联络中我们能够引入格林函数定义,同时,利用这些格林我们能够引入格林函数定义,同时,利用这些格林函数,也就将微分方程表述转化为积分方程,进而函数,也就将微分方程表述转化为积分方程,进而得到问题求解。得到问题求解。第第2页页1、点源函数法回顾;点源函数法回顾;2、格林函数引入;格林函数引入;3、格林函数与格林函数与 函数函数;4、一维格林函数;一维格林函数;5、三维格林函数;三维格林函数;6、格林函数在电磁学中应用;格林函数在电磁学中应用;7、并矢格林函数并矢格林函数第四章第四章 格林函数格林函数 第第3页页4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4
3、 格林函数格林函数 经典经典格林函数方法格林函数方法在力学、电磁场理论中有广在力学、电磁场理论中有广泛应用。泛应用。从从点源点源概念出发(如质点、点电荷、点热源概念出发(如质点、点电荷、点热源等),依据等),依据叠加原理叠加原理,经过点源场有限积分来得到,经过点源场有限积分来得到任意源场。任意源场。这种求解数学物理方程方法即这种求解数学物理方程方法即经典格林函数法经典格林函数法,又称为点源函数法或影响函数法。又称为点源函数法或影响函数法。第第4页页4 格林函数格林函数 4.1.1 格林函数法回顾格林函数法回顾 首先,找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产首先,找到一个点源在一定边界条件和初
4、值条件下所产生场或影响,即点源影响函数(格林函数);然后,因为任生场或影响,即点源影响函数(格林函数);然后,因为任意分布源总能够看作是许许多多这么点源叠加,利用场叠加意分布源总能够看作是许许多多这么点源叠加,利用场叠加原理,对格林函数在整个源域上积分,即可得到任意源场,原理,对格林函数在整个源域上积分,即可得到任意源场,这就是格林函数法主要思想。这就是格林函数法主要思想。回顾内容包含:回顾内容包含:1、点源函数性质;、点源函数性质;2、格林函数普通求法(电像法)等;、格林函数普通求法(电像法)等;3、格林函数求解边值问题路径。、格林函数求解边值问题路径。4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾
5、第第5页页4 格林函数格林函数 比如:空间中,静电荷产生电势问题,比如:空间中,静电荷产生电势问题,MOXYZ电荷源电荷源 电荷密度电荷密度空间空间M处电势满足泊松方程:处电势满足泊松方程:实际上:由静电学可知,位于实际上:由静电学可知,位于 点单位正电荷在点单位正电荷在r处电势为处电势为4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第6页页4 格林函数格林函数 表明:上方程求解,能够经过以下思想取得:表明:上方程求解,能够经过以下思想取得:1)找到一个点源在一定边界或初值条件下场)找到一个点源在一定边界或初值条件下场即格林函数即格林函数(或称点源函数,影响函数)(或称点源函数,影响函数)2)依据线
6、性迭加原理,将各点源场迭加起来,得到普通源)依据线性迭加原理,将各点源场迭加起来,得到普通源场场即经过有限积分表示原问题解。即经过有限积分表示原问题解。格林函数法(点源法)格林函数法(点源法)依据迭加原理,任意电荷分布电势为:依据迭加原理,任意电荷分布电势为:4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第7页页4 格林函数格林函数 从以上例题分析可见,格林函数法主要特点是:从以上例题分析可见,格林函数法主要特点是:1)直接求得问题特解,(它不受方程类型和边界条)直接求得问题特解,(它不受方程类型和边界条件局限),件局限),2)通常结果用一个含有格林函数有限积分表示,物)通常结果用一个含有格林函数有
7、限积分表示,物理意义清楚,便于以统一形式研究各类定解问题;理意义清楚,便于以统一形式研究各类定解问题;3)且对于线性问题,格林函数一旦求出,就能够算)且对于线性问题,格林函数一旦求出,就能够算出任意源场,这么将一个复杂求解问题,就转换为关出任意源场,这么将一个复杂求解问题,就转换为关键是求解点源相对简单问题。键是求解点源相对简单问题。4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第8页页4 格林函数格林函数 4.1.2 函数函数4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第9页页4 格林函数格林函数 2、定义、定义 函数函数更普遍定义为更普遍定义为4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第10页页4 格
8、林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第11页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第12页页4 格林函数格林函数 3、三维、三维 函数函数其中其中为三维为三维 函数函数且含有性质:且含有性质:这表明,高维函数等于一维情况乘积,由此,高维函数这表明,高维函数等于一维情况乘积,由此,高维函数也含有一维函数全部性质。也含有一维函数全部性质。4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第13页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第14页页4 格林函数格林函数 其中,其中,为不一样时为零常数。为了得到定解问题为不一样时为零常数。为了得
9、到定解问题(1)(2)4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4.1.3 泊松方程边值问题泊松方程边值问题解积分表示式,首先引入格林公式解积分表示式,首先引入格林公式一、泊松方程基本形式一、泊松方程基本形式第第15页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 二、格林公式二、格林公式此式称为此式称为化为体积分化为体积分第第16页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 此式称为此式称为第第17页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第18页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 三、积分公式三、积分公式格林函数
10、法格林函数法 目标:求解目标:求解第第19页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 因为因为其中其中 为为M与与M0之间距离之间距离(3)第第20页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 若能由此式化简整理得到若能由此式化简整理得到u(M),则一定是方程(则一定是方程(1)解)解这里这里G就相当于格就相当于格林第二公式中林第二公式中v第第21页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第22页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第23页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 负号
11、来自内小球面法负号来自内小球面法向与矢径方向相反向与矢径方向相反第第24页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 注意到格林函数对称性:注意到格林函数对称性:上式物理意义极难解释清楚,右边第一项,上式物理意义极难解释清楚,右边第一项,G(M,M0)代表代表M0点点源在点点源在M点产生场,而点产生场,而h(M)代表却是代表却是M点源。点源。将上式中将上式中G(M0,M)用用G(M,M0)代替且,将代替且,将M和和M0在公式在公式中交换,可得中交换,可得第第25页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 (4)第第26页页4 格林函数格林函数 4.1 点源
12、函数法回顾点源函数法回顾 物理意义:物理意义:(1)右边第一项积分代表在积分区域)右边第一项积分代表在积分区域 中体分布源中体分布源h(M0)在在M点产生场总和;点产生场总和;(2)右边第二、三积分项则是边界上源所产生场。这两种影响)右边第二、三积分项则是边界上源所产生场。这两种影响都是由同一格林函数给出。都是由同一格林函数给出。上式给出了泊松方程解积分表示,但因为上式给出了泊松方程解积分表示,但因为G(M,M0)未知未知且不一样边值条件也需做深入分析。且不一样边值条件也需做深入分析。第第27页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 2、泊松方程边值问题积分公式、泊松方程
13、边值问题积分公式(A)第一类边界条件第一类边界条件基本公式变为基本公式变为由由边界条件变为边界条件变为只要只要G(M,M0),满足定解问题,则上式,满足定解问题,则上式u(M)就都为已知量表示就都为已知量表示第第28页页G(M,M0)所组成定解问题即所组成定解问题即 下式称为泊松方程下式称为泊松方程狄氏问题狄氏问题 满足狄氏问题格林函数,简称为满足狄氏问题格林函数,简称为狄氏格林函数狄氏格林函数。4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 狄氏积分公式狄氏积分公式第第29页页基本积分公式变为基本积分公式变为 4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 (B)第二
14、类边界条件第二类边界条件由由边界条件变为边界条件变为但此式不存在,因为但此式不存在,因为 在第二类在第二类齐次边界条件齐次边界条件 下无解。下无解。第第30页页表示在边界上是绝热,因为边界绝热,从点源出来表示在边界上是绝热,因为边界绝热,从点源出来4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 从物理上看,其意义十分显著。方程从物理上看,其意义十分显著。方程可看成稳定热传导方程在可看成稳定热传导方程在M0点有一个点热源,而边界条件点有一个点热源,而边界条件热量,会使体积内温度不停升高,而不可能到达稳定状态。热量,会使体积内温度不停升高,而不可能到达稳定状态。显然,为了处理这一矛盾,
15、或者修改格林函数所满足方程显然,为了处理这一矛盾,或者修改格林函数所满足方程使之与边界条件使之与边界条件 相容,相容,这就要引入所谓广义格林函数方程;或者修改边界条件使之这就要引入所谓广义格林函数方程;或者修改边界条件使之与格林函数所满足方程相容,这里不再详细讨论。与格林函数所满足方程相容,这里不再详细讨论。第第31页页4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 代入基本积分公式,得代入基本积分公式,得(C)第三类边界条件第三类边界条件若要求若要求G(M,M0)满足第三类齐次边界,即满足第三类齐次边界,即则当则当G(M,M0)乘乘 ,以,以u(M)乘上式再相减,得乘上式再相减,
16、得第第32页页4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 由上面讨论可见,在各类非齐次边界条件下解泊松方程由上面讨论可见,在各类非齐次边界条件下解泊松方程能够先在对应同类齐次边界条件下解格林函数所满足方程能够先在对应同类齐次边界条件下解格林函数所满足方程再经过基本积分公式得到再经过基本积分公式得到 u(M)。1)格林函数定解问题,其方程形式比原泊松方程简单,且格林函数定解问题,其方程形式比原泊松方程简单,且边界条件又是齐次,所以求解相对轻易。边界条件又是齐次,所以求解相对轻易。2)且不一样泊松方程非齐次项且不一样泊松方程非齐次项h(M)和边界条件中不一样和边界条件中不一样g(M
17、),只要属于同类边值问题,函数只要属于同类边值问题,函数G(M,M0)都相同。这就将泊松方都相同。这就将泊松方程边值问题化为几个类型边界条件下求解格林函数问题。程边值问题化为几个类型边界条件下求解格林函数问题。第第33页页4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 4.1.4 格林函数普通求法格林函数普通求法 一、无界空间格林函数一、无界空间格林函数 基本解基本解 从前讨论可知,确定了从前讨论可知,确定了G,就能利用积分表示式求得,就能利用积分表示式求得泊松方程边值问题解。但普通求解泊松方程边值问题解。但普通求解G,并非易事。,并非易事。只有一些特殊情况下,比较轻易求出。只有一
18、些特殊情况下,比较轻易求出。无界区域格林函数无界区域格林函数G0,又又 称为对应方程称为对应方程基本解基本解。将普通边值问题格林函数将普通边值问题格林函数G分为:分为:对于三维泊松方程,基本解对于三维泊松方程,基本解G0满足满足G1则满足对应齐次方程则满足对应齐次方程(拉普拉斯方程拉普拉斯方程)第第34页页它描述是点它描述是点 点源在无界空间产生稳定场。以静电场为点源在无界空间产生稳定场。以静电场为例,它描述在点例,它描述在点 电量为电量为 点电荷在无界空间中所点电荷在无界空间中所产生电场在产生电场在 点电势,即点电势,即4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 及对应边界条
19、件,比如在第一边值问题中,及对应边界条件,比如在第一边值问题中,从而有从而有拉普拉斯方程边值问题求解是熟知,至于方程拉普拉斯方程边值问题求解是熟知,至于方程类似对于二维泊松方程,可用平面极坐标求得其基本解类似对于二维泊松方程,可用平面极坐标求得其基本解G0满足满足第第35页页在接地导体球内放置电荷时,导体球面上将产生感应电荷。在接地导体球内放置电荷时,导体球面上将产生感应电荷。所以,球内电势应为球内电荷直接产生电势与感应电荷所产所以,球内电势应为球内电荷直接产生电势与感应电荷所产生电势之和。可将生电势之和。可将G写为写为边界条件为边界条件为4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林
20、函数 此处此处G便是泊松方程第一边值问题格林函数。从电磁学知便是泊松方程第一边值问题格林函数。从电磁学知考虑物理问题,设有一接地导体球内考虑物理问题,设有一接地导体球内 点放置一电量点放置一电量为为 点电荷。则球内电势满足泊松方程点电荷。则球内电势满足泊松方程二、用电像法求格林函数二、用电像法求格林函数 其中其中G0是不考虑球面边界影响电势,是不考虑球面边界影响电势,G1是感应电荷引发是感应电荷引发第第36页页G1则能够由则能够由 及上式边界条件用分离变量法得到。及上式边界条件用分离变量法得到。以及边界条件以及边界条件4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 这么这么G0就是
21、基本解,就是基本解,由前面讨论可知,由前面讨论可知,G0满足满足从而从而G1满足满足但这么得到解往往是无穷级数。以下介绍另一个方法即但这么得到解往往是无穷级数。以下介绍另一个方法即电像法电像法,用电像法能够得到有限形式解。,用电像法能够得到有限形式解。第第37页页电像法基本思想:电像法基本思想:用一构想等效点电荷来代替全部感应电荷,于是可求得用一构想等效点电荷来代替全部感应电荷,于是可求得G1类类似于似于G0有限形式解。显然,这一等效点电荷不能位于球内,有限形式解。显然,这一等效点电荷不能位于球内,因为感应电荷在球内场满足因为感应电荷在球内场满足 即球内是无源。又依即球内是无源。又依据对称性,
22、这个等效电荷必位于据对称性,这个等效电荷必位于OM0延长线上某点延长线上某点M1,记等,记等效电荷电量为效电荷电量为 q,其在空间任意点,其在空间任意点M引发电势为引发电势为4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 若将场点取在球面若将场点取在球面P点,则若点,则若则则 相同,从而相同,从而第第38页页4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 所以若取所以若取 ,则球面上总电势为,则球面上总电势为恰好满足恰好满足这个构想位于这个构想位于M1点等效点电荷称为点等效点电荷称为M0点点电荷电像。这么,球内任一点点点电荷电像。这么,球内任一点总电势是总电势是其中其中
23、第第39页页4.2.1 格林函数引入格林函数引入 在希尔伯特空间中在希尔伯特空间中S-L系统(微分算子方程)与积分算子系统(微分算子方程)与积分算子之间有着亲密联络,从这个联络中能够引入格林函数定义,之间有着亲密联络,从这个联络中能够引入格林函数定义,同时,利用这些格林函数,可将微分方程表述转化为积分方同时,利用这些格林函数,可将微分方程表述转化为积分方程,进而得到问题求解。程,进而得到问题求解。注意到积分算子方程:注意到积分算子方程:其中其中K是积分算子,假如定义为是积分算子,假如定义为 4.2 格林函数引入格林函数引入 4 格林函数格林函数 第第40页页而而 是一个积分算子核,当这个核来自
24、于包是一个积分算子核,当这个核来自于包含微分算子方程解时,被称为微分算子在对应边界条件下含微分算子方程解时,被称为微分算子在对应边界条件下格林函数格林函数,记为:,记为:它是服从边界条件它是服从边界条件 系统相对应于系统相对应于 格格林函数。林函数。为赫维赛函数:为赫维赛函数:由此,依据微分积分方程关系,能够引入格林函数,实际上,由此,依据微分积分方程关系,能够引入格林函数,实际上,能够仿照以上方法,结构不一样边界条件下格林函数。能够仿照以上方法,结构不一样边界条件下格林函数。4.2 格林函数引入格林函数引入 4 格林函数格林函数 第第41页页例:方程例:方程下解为下解为 所以,能够引入所以,
25、能够引入格林函数格林函数 作为算子作为算子 在本问题边界条件下格林函数。在本问题边界条件下格林函数。4.2 格林函数引入格林函数引入 4 格林函数格林函数 在边界条件在边界条件第第42页页一样这个方程,改变边界条件为一样这个方程,改变边界条件为 时时 方程解为方程解为 所以,依据格林函数定义有所以,依据格林函数定义有 即:即:4.2 格林函数引入格林函数引入 4 格林函数格林函数 第第43页页可见:可见:1、边界条件对格林函数形式影响很大;、边界条件对格林函数形式影响很大;2、格林函数对称性与边界条件相关,后一个边界下是对、格林函数对称性与边界条件相关,后一个边界下是对称,满足称,满足实际上,
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