数理方程格林函数法市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法第四章第四章 格林函数法格林函数法分离变量法主要适合用于求解各种有界问题，而分离变量法主要适合用于求解各种有界问题，而傅立叶变换法则主要适合用于求解各种无界问题，傅立叶变换法则主要适合用于求解各种无界问题，这两种方法所得到解普通分别为无穷级数和这两种方法所得到解普通分别为无穷级数和无穷积分形式。格林函数法给出解则是有无穷积分形式。格林函数法给出解则是有限积分形式，十分便于理论分析和研究。限积分形式，十分便于理论分析和研究。10/10/1第1页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法格林函数又称为格林函数又称为点源函数点源函数或或影响函数影响函数。顾名思。顾名思义，它表示一个点源在一定边界条件和义，它表示一个点源在一定边界条件和(或或)初值条初值条件下所产生场或影响。因为任意分布源所产生件下所产生场或影响。因为任意分布源所产生场均可看成许许多多点源产生场叠加，所以格林场均可看成许许多多点源产生场叠加，所以格林函数一旦求出，就可算出任意源场。格林函数法以函数一旦求出，就可算出任意源场。格林函数法以统一方式处理各类数学物理方程，既能够研究常微统一方式处理各类数学物理方程，既能够研究常微分方程，又能够研究偏微分方程；既能够研究齐次方分方程，又能够研究偏微分方程；既能够研究齐次方程又能够研究非齐次方程；既能够研究有界问题，又程又能够研究非齐次方程；既能够研究有界问题，又能够研究无界问题。它内容十分丰富，应用极其广能够研究无界问题。它内容十分丰富，应用极其广泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯方程边值问题。方程边值问题。10/10/2第2页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法4.1 格林公式及其应用4.1.1 基本解基本解对拉普拉斯方程对拉普拉斯方程,其球坐标形式为：其球坐标形式为：(4.1.1)求方程求方程(4.1.1)(4.1.1)球对称解球对称解(即与即与和和无关解无关解),),则有：则有：其通解为：其通解为：为任意常数为任意常数)。若取若取,则得到特解则得到特解,称此解为三维称此解为三维Laplace 方程方程基本解基本解,它在研究三维拉普拉斯方程中起着主要作用它在研究三维拉普拉斯方程中起着主要作用.10/10/3第3页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法对二维拉普拉斯方程对二维拉普拉斯方程,其极坐标形式为其极坐标形式为:(4.1.2)求方程求方程(4.1.2)(4.1.2)径向对称解径向对称解(即与即与无关解无关解),),则有：则有：其通解为：其通解为：为任意常数为任意常数)。若取若取,则得到特解则得到特解,称此解为二维称此解为二维Laplace方程方程基本解基本解.10/10/4第4页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法4.1.2 格林公式格林公式由高斯公式由高斯公式,则得到则得到格林第一公式格林第一公式：令令 将以上两公式相减，得到将以上两公式相减，得到格林第二公式格林第二公式：调和函数调和函数：含有二阶偏导数而且满足拉普拉斯方程连续函数。：含有二阶偏导数而且满足拉普拉斯方程连续函数。10/10/5第5页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法4.1.3 调和函数积分表示式由由Green公式可导出调和函数积分表示。因为函数：公式可导出调和函数积分表示。因为函数：除在除在 点外处处满足三维点外处处满足三维Laplace方程方程，于是有，于是有 定理：若函数定理：若函数 在在 上有一阶连续偏导数，且在上有一阶连续偏导数，且在 内调和，则内调和，则 调和函数在区域内任一点值能够经过积分表示式用这个函调和函数在区域内任一点值能够经过积分表示式用这个函数在区域边界上值和边界上法向导数来表示。数在区域边界上值和边界上法向导数来表示。10/10/6第6页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法 若函数若函数 在在 上有一阶连续偏导数，且在上有一阶连续偏导数，且在 内满足内满足Poisson方程方程 ，则一样有，则一样有 4.1.4 调和函数性质调和函数性质 性质性质1.设设 是区域是区域 内调和函数，它在内调和函数，它在上有一阶连续偏导数，则上有一阶连续偏导数，则其中其中 外法线方向。外法线方向。是是证实证实 只要在只要在Green公式中取公式中取 即证。即证。注：此性质表明调和函数法向导数沿区域边界积分为零。注：此性质表明调和函数法向导数沿区域边界积分为零。对稳定温度场，流入和流出物体界面热量相等，不然就对稳定温度场，流入和流出物体界面热量相等，不然就不能保持热动态平衡，而使温度场不稳定。不能保持热动态平衡，而使温度场不稳定。10/10/7第7页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法 思索：思索：Laplace方程方程Neumann问题有解必要条件是什么？问题有解必要条件是什么？性质性质2(平均值定理平均值定理)设函数设函数在区域在区域 内调和，内调和，是是 内任意一点，若内任意一点，若是以是以 为中心，为中心，a为半径为半径球面，此球完全落在区域球面，此球完全落在区域 内部，则有内部，则有证实：证实：由调和函数积分表示：由调和函数积分表示：及由性质及由性质1，有，有 10/10/8第8页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法上式称为调和函数球面平均值公式。上式称为调和函数球面平均值公式。又因为，在又因为，在 上有上有，所以，所以 性质性质3(极值原理极值原理)设函数设函数在区域在区域 内调和，内调和，它在它在上连续且不为常数，则它最大值与最小值上连续且不为常数，则它最大值与最小值只能在边界上到达。只能在边界上到达。推论推论1 设在设在 内有内有在在上连续且在边界上连续且在边界上有上有，则在，则在内有内有推论推论2 Dirichlet问题问题 解是唯一。解是唯一。10/10/9第9页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法10/10/10第10页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法10/10/11第11页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法4.2 格林函数格林函数因为调和函数有积分表示因为调和函数有积分表示:又因为又因为Dirichlet边值问题边值问题 解唯一解唯一,故希望故希望将此问题解用积分表示出来。但因为在积分表示示中，将此问题解用积分表示出来。但因为在积分表示示中，u在边界上值即使已知在边界上值即使已知,而而 在边界上值却不知道在边界上值却不知道.那么那么,能否作为边界条件加上能否作为边界条件加上 值呢？值呢？因为因为,此时解已经是唯一了此时解已经是唯一了.那么只有想方法去掉那么只有想方法去掉 为此，引入格林函数概念。为此，引入格林函数概念。显然这是行不通，显然这是行不通，(4.2.1)10/10/12第12页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法格林函数物理背景格林函数物理背景原点处点电荷电量原点处点电荷电量 ，点电荷密度点电荷密度处点电位处点电位即即 处点电荷电量处点电荷电量点电荷密度点电荷密度处点电位处点电位10/10/13第13页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法4.2.1 格林函数定义格林函数定义设在设在 内有内有在在上有一阶连续上有一阶连续偏导数，则由格林第二公式有偏导数，则由格林第二公式有(4.2.2)将（将（4.2.1）和）和(4.2.2)两式加起来：两式加起来：(4.2.3)选择调和函数选择调和函数v满足满足,于是有：于是有：(4.2.4)10/10/14第14页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法记记(4.2.5)则有则有(4.2.6)称称 为为Laplace方程格林函数。若方程格林函数。若上有一阶连续偏导数，则当上有一阶连续偏导数，则当Dirichlet问题问题且在且在 上含有一阶连续偏导数解存在时，解能够表示为上含有一阶连续偏导数解存在时，解能够表示为在在(4.2.7)存在存在 10/10/15第15页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法对对Poisson方程方程Dirichlet问题问题 上存在含有一阶连续偏导数解，则解能够假如在假如在表示为表示为由此可见由此可见,求解求解Dirichlet问题问题,关键是求关键是求Green函数函数(4.2.5),其中其中v满足一个特殊满足一个特殊Dirichlet问题：问题：(4.2.8)称由函数称由函数v确定格林函数为确定格林函数为第一边值问题格林函数第一边值问题格林函数。10/10/16第16页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法4.2.2 格林函数性质格林函数性质1.格林函数格林函数在除去点在除去点 外处处满足外处处满足 Laplace方程，当方程，当 时，时，其阶数与其阶数与 相同。相同。2.在边界上，格林函数恒等于零：在边界上，格林函数恒等于零：3.在区域在区域 内成立不等式：内成立不等式：（用极值原理证实）（用极值原理证实）4.（由格林第二公式证实）（由格林第二公式证实）5.10/10/17第17页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法4.3 格林函数应用格林函数应用 用镜象法求特殊区域上函数。用镜象法求特殊区域上函数。4.3.1 上半空间内Green函数及Dirichlet问题 求解上半空间求解上半空间 内内Dirichlet问题问题 先求上半空间先求上半空间 内内Green函数函数（4.3.1），即求解问题，即求解问题 10/10/18第18页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法 在区域外找出区域内一点关于边界象点，在这两个点放置在区域外找出区域内一点关于边界象点，在这两个点放置适当电荷，这两个电荷产生电位在曲面边界上相互抵消。这两适当电荷，这两个电荷产生电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形成电位就是所要求格林函数。个电荷在区域中形成电位就是所要求格林函数。10/10/19第19页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法于是，半空间上格林函数为于是，半空间上格林函数为(4.3.2)从而，问题从而，问题(4.3.1)解可表示为解可表示为:因为平面因为平面z=0上外法线方向即上外法线方向即oz轴负向轴负向,所以所以 即即 所以，问题所以，问题(4.3.1)解为解为:10/10/20第20页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法例例2 求解以下定解问题求解以下定解问题解：解：10/10/21第21页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法4.3.2 球域上球域上Green函数及函数及Dirichlet问题问题 其中，其中，（4.3.3），即求解问题，即求解问题 求解球域上求解球域上Dirichlet问题问题 是以坐标原点是以坐标原点O为球心，为球心，R为半径球域。为半径球域。先求球域上先求球域上Green函数函数10/10/22第22页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法10/10/23第23页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法球内格林函数球内格林函数 M0点处点电荷电量点处点电荷电量 ，M1点处点电荷电量点处点电荷电量 10/10/24第24页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法10/10/25第25页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法从而，问题从而，问题(4.3.3)解可表示为：解可表示为：因因其中其中是是与与夹角，于是：夹角，于是：（4.3.4）此公式称为球域上泊松积分公式。假如用球坐标表示，则有此公式称为球域上泊松积分公式。假如用球坐标表示，则有（4.3.5）其中其中 是点是点 球坐标，球坐标，是是 上动点坐标上动点坐标，10/10/26第26页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法是是与与夹角。因为夹角。因为 所以所以(4.3.6)10/10/27第27页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法例例1.设有二分之一径为设有二分之一径为R均匀球，上半球面温度保持为均匀球，上半球面温度保持为。求球内温度稳定分布。求球内温度稳定分布。下半球面温度保持为下半球面温度保持为 解：考虑定解问题解：考虑定解问题 由球域上泊松积分公式由球域上泊松积分公式(4.3.5)，得，得 10/10/28第28页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法因为此积分计算很困难，下面我们只考虑一些特殊位置因为此积分计算很困难，下面我们只考虑一些特殊位置温度分布。比如，求温度在球铅垂直径温度分布。比如，求温度在球铅垂直径（直径上（直径上半部）和半部）和（直径下半部分）上分布。（直径下半部分）上分布。当当 时，时，(见见(4.3.6)式式)，故有：，故有：10/10/29第29页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法当当 时，时，,故有故有 在以上两个公式中，当在以上两个公式中，当 时，球温度为时，球温度为 .10/10/30第30页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法4.3.3 4.3.3 四分之一空间格林函数四分之一空间格林函数 10/10/31第31页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法4.4 试探法及试探法及Poisson方程求解方程求解 4.4.1 试探法试探法 对一些定解问题对一些定解问题,依据问题物理意义和几何特征，可假设依据问题物理意义和几何特征，可假设解含有某种特殊形式，将这种形式解代入方程进行试探直至求解含有某种特殊形式，将这种形式解代入方程进行试探直至求出特解。这种方法称为试探法。出特解。这种方法称为试探法。10/10/32第32页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法例例1.设有二分之一径为设有二分之一径为R无限均匀圆柱体无限均匀圆柱体,已知圆柱内无热源已知圆柱内无热源,圆柱圆柱面上温度分布为面上温度分布为,试求圆柱内温度稳定分布试求圆柱内温度稳定分布.解：因柱面上温度与解：因柱面上温度与z无关无关,则域内温度也应与则域内温度也应与z无关无关,故原问题故原问题可简化为求解圆域上可简化为求解圆域上Laplace方程第一边值问题方程第一边值问题,采取极坐标采取极坐标,我们考虑问题我们考虑问题:由由(4.4.2),设设(4.4.1)得得,代入代入,再由再由(4.4.2)得得 由 任意性得:10/10/33第33页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法例例2 求圆柱域求圆柱域 内电位内电位u,使在柱面上有给定电场强度使在柱面上有给定电场强度法向分量法向分量,即即 解解:由边界条件知，问题可化为平面问题：由边界条件知，问题可化为平面问题：由边界条件由边界条件(4.4.4),设设,显然显然 满足方程满足方程(4.4.3)及条件及条件(4.4.4)，于是问题解为：，于是问题解为：10/10/34第34页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法例例3 3 求由两同心球面导体求由两同心球面导体 和和 组成电容器内组成电容器内电位，使内球面电位，使内球面 保持常电位保持常电位 外球面接地。外球面接地。解解:采取球坐标，考虑定解问题采取球坐标，考虑定解问题 由边界条件知，球内电位分布仅与由边界条件知，球内电位分布仅与r相关，即电位相关，即电位函数是球对称，而电位与函数是球对称，而电位与r成反比，故可设成反比，故可设 10/10/35第35页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法显然显然 满足满足(4.4.5),这是因为这是因为,是三维是三维Laplace方程方程基本解。由基本解。由(4.4.6)于是于是(4.4.5)(4.4.6)解为：解为：10/10/36第36页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法假如知道假如知道Poisson方程一个特解，则经过函数代换，方程一个特解，则经过函数代换，4.4.2 Poisson方程求解方程求解 就可将就可将Poisson方程边值问题化成方程边值问题化成Laplace方程边值问题。方程边值问题。例例1 求求 特解。特解。解解:设其特解为设其特解为,则则 于是，其解有没有穷多个，如于是，其解有没有穷多个，如 等等。等等。10/10/37第37页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法例例2 求以下问题解求以下问题解 解解:显然方程有一个特解显然方程有一个特解,故令故令,则则 由极值原理，上述问题解为由极值原理，上述问题解为,故原问题解为：10/10/38第38页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 第第4 4章格林函数法章格林函数法4.4.3 Dirichlet外问题与外问题与Neumann外问题介绍外问题介绍 Dirichlet内问题内问题Dirichlet外问题外问题Neumann内问题内问题Neumann外问题外问题因为外问题在无穷区域上提出，需附加条件：因为外问题在无穷区域上提出，需附加条件：其中，其中，。从数学角度来讲，此条件。从数学角度来讲，此条件能够确保外问题解是唯一。能够确保外问题解是唯一。10/10/39第39页