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曲率函数图形的描绘市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、3.7 曲曲 率率弧微分弧微分曲率及其计算公式曲率及其计算公式曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径小结小结 思索题思索题 作业作业(curvature)(arc element)第第1页页 前面讲了单调性、极值、最值、凹凸前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。我们知道凹凸性反应是曲线弯曲方性。我们知道凹凸性反应是曲线弯曲方向,不过朝同一方向弯曲两条曲线,其向,不过朝同一方向弯曲两条曲线,其弯曲程度也不尽相同。弯曲程度也不尽相同。曲率就是表征弯曲率就是表征弯曲程度量,它等于单位旅程上方向(角曲程度量,它等于单位旅程上方向(角度度切线倾斜角)改变量。切线倾斜角)改变量。2第第2页页一、弧微分一、弧微分
2、要求要求3 为了得出曲线为了得出曲线 y=f(x)曲率公式曲率公式,先计先计算弧长函数算弧长函数s(x)对对x微分微分,称为弧微分称为弧微分.第第3页页4单调增函数单调增函数.如图,如图,于是于是弧弧 s增量为增量为那末那末第第4页页5取极限取极限,即即又又得得弧微分公式弧微分公式为单调增函数为单调增函数,第第5页页6如将如将代入公式代入公式,得得弧微分公式弧微分公式可化为参数方程形式可化为参数方程形式如曲线以极坐标方程给出如曲线以极坐标方程给出如曲线为参数方程如曲线为参数方程写到根式内写到根式内,得得第第6页页二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)量。曲率
3、是描述曲线局部性质(弯曲程度)量。)弧段弯曲程度越大弧段弯曲程度越大,转角越大转角越大转角相同,转角相同,弧段越短,弯曲程度越大弧段越短,弯曲程度越大1.曲率定义曲率定义)第第7页页)yxo(设曲线设曲线C是光滑,是光滑,(定义定义曲线曲线C在点在点M处曲率处曲率8第第8页页例例1 1(1)直线曲率直线曲率(2)圆上各点处曲率圆上各点处曲率 直线曲率处处为零直线曲率处处为零;圆上各点处曲率等于半径倒数圆上各点处曲率等于半径倒数.圆半径越小曲率越大圆半径越小曲率越大.9第第9页页2.曲率计算公式曲率计算公式10(1)(2)第第10页页例例2 2解解显然显然,11第第11页页例例 3 曲率最小?曲
4、率最小?t为何值时为何值时,曲线曲线 求出最小曲率求出最小曲率,写出该点曲率半径写出该点曲率半径.解解 要使要使K(t)最小最小,等价于等价于 最大最大,故当故当 即即曲率最小曲率最小,且且,|2sin|41ta,1|2sin|t|2sin|t 摆线摆线第第12页页三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径定义定义13第第13页页1.曲线上一点处曲率半径与曲线在该点处曲率曲线上一点处曲率半径与曲线在该点处曲率互为倒数互为倒数.注意注意:2.曲线上一点处曲率半径越大曲线上一点处曲率半径越大,曲线在该点处曲曲线在该点处曲率越小率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲率越大曲率越大
5、(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处曲率圆弧可近似代替该点附近曲线上一点处曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧曲线弧(称为曲线在该点附近二次近似称为曲线在该点附近二次近似).曲率圆曲率圆y=y(x)与曲线与曲线y=f(x)关系关系:过同一点过同一点有公切线有公切线圆弧与曲线在该点处曲率相等,且弯曲方向相同圆弧与曲线在该点处曲率相等,且弯曲方向相同14第第14页页 例例4 4 设工件表面截线为抛物线设工件表面截线为抛物线y 0 4x2 现在要用现在要用砂轮磨削其内表面砂轮磨削其内表面 问用直径多大砂轮才比较适当?问用直径多大砂轮才比较适当?解解 砂轮半径不应大于抛物线顶点处曲率半径砂轮半径不应
6、大于抛物线顶点处曲率半径 抛物线顶点处曲率半径为抛物线顶点处曲率半径为 r r K 1 1 25 所以所以,选取砂轮半径不得超出选取砂轮半径不得超出1 25单位长单位长 即直径不即直径不得超出得超出2 50单位长单位长 y 0 8x y0 8 y|x 0 0 y|x 0 0 8 把它们代入曲率公式把它们代入曲率公式 得得15第第15页页四、小结四、小结利用微分学理论利用微分学理论,研究曲线和曲面性质数研究曲线和曲面性质数学分支学分支微分几何学微分几何学.基本概念基本概念:弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度描述曲线弯曲程度描述曲率曲率;曲线弧近似代替曲率圆曲线弧近似代替曲率圆(弧
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