轻杆模型.doc

中学阶段常涉及到“轻绳”、“轻杆”和“轻弹簧”模型，这三种模型都是由各种实际情况中的绳、杆和弹簧抽象出来的理想化物理模型。但它们的成因和特性并不完全相同，由此导致这类模型在实际应用中有很多同学混淆出错，笔者拟对这三种模型的特点及区别应用作一些简单的讨论。
一、三个模型的正确理解
1. 轻绳模型
轻绳也称细线，它的质量可忽略不计；轻绳是软的；同时它的劲度系数非常大，可认为在受外力作用时它的形变极微小，看作不可伸长；其弹力的主要特征是：①不能承受压力，不能产生侧向力，只能产生沿绳收缩方向的拉力。②内部张力大小处处相等，且与运动状态无关。③轻绳的弹力大小可发生突变。
2. 轻杆模型
轻杆的质量可忽略不计，轻杆是硬的，它的劲度系数非常大，可认为在受外力作用时形变极微小，看作不可伸长或压缩；其弹力的主要特征是： ①轻杆既可产生压力、也可产生拉力，且能产生侧向力（力的方向不一定沿着杆的方向）；②轻杆各处受力大小相等，且与运动状态无关；③轻杆的弹力可发生突变。
3. 轻弹簧模型
轻弹簧的质量可忽略不计，可以被压缩或拉伸。其弹力的主要特征是：①轻弹簧能产生沿弹簧轴线伸缩方向的压力或拉力；②轻弹簧各处受力大小相等，且与弹簧形变的方向相反；③轻弹簧产生的弹力是连续变化的，不能发生突变，只能渐变（除弹簧被剪断外）；④在弹性限度内，弹力的大小与弹簧的形变量成正比，即F＝kx，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长量或缩短量。
二、三种模型的主要区别及应用
下面结合例题分析它们的区别及应用：
1. 轻绳对物体只能产生沿绳收缩方向的拉力，而轻杆对物体的弹力不一定沿杆的方向。
【例1】如图1所示，轻绳一端系着质量为m的小球，另一端系在固定于小车上一直杆AB的上端；试求当小车以a的加速度水平向左匀加速度直线运动，轻绳对小球作用力的大小和方向？

解析：如图2所示，小球受两个力作用：重力mg和绳对小球弹力T。因为细绳只能被拉伸，则绳的弹力只能是沿绳方向的拉力，设绳与竖直方向的夹角为α。
则有
可见轻绳对小球的作用力大小随着加速度ａ的改变而改变，但它的方向一定是在绳子的方向上。
【例2】 如图3所示，小车上固定一弯折硬杆ABC，C端固定一质量为m的小球：
（1）当小车向左匀速直线运动时，BC杆对小球作用力的大小和方向。
（2）当小车以加速度a水平向左做匀加速直线运动时，BC杆对小球作用力的大小和方向。
解析：以小球为研究对象进行受力分析，小球受二个力作用：重力mg和BC杆对小球弹力F（如图4）：
（1） 小球受力如图4所示，由平衡条件可知杆对小球的弹力大小为：F = mg，方向与重力的方向相反，竖直向上。
注意：BC杆对小球的作用力方向并不沿BC杆的方向。
（2）设小车向左运动的加速度的大小为a，杆对小球作用力与竖直方向的夹角为β。如图5所示，
由牛顿第二定律可知杆对小球作用力的大小和方向分别为

可见杆对小球的作用力大小随小车加速度a的改变而改变，它的方向不一定沿着杆的方向，只有当∠α＝∠β，即时，杆对小球作用力的方向才沿BC杆方向。
2. 轻绳的弹力只能是拉力，而轻杆、轻弹簧的弹力可以是拉力也可以是压力。
这种情况常出现在竖直平面内的圆周运动问题中。
【例3】（1） 如图6所示，一轻绳一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是（ ）
A. 小球过最高点时，最小速度为
B. 小球过最高点时，轻绳所受的弹力可以等于零
C. 小球过最高点时，轻绳对球的作用力可以与球所受重力方向相反。
D. 小球过最高点时，轻绳对球的作用力一定与球所受重力方向相同。
（2）若将图6中的轻绳改为轻杆，其他条件不变，以下说法正确的是（ ）
A. 小球过最高点时，最小速度为
B. 小球过最高点时，轻杆所受的弹力可以等于零
C. 小球过最高点时，轻杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反。
D. 小球过最高点时，轻杆对球的作用力一定与球所受重力方向相同。
[解析]（1） 因为小球用轻绳连接，轻绳只能产生沿绳子收缩方向的拉力T，故选项（D）正确，选项（C）错误。
在最高点处由得知当T＝0时 ，向心力最小，小球的速度也最小，故选项（A）、（B）都正确。
（2）因为小球用轻杆相连，轻杆既可产生拉力，又可产生支持力，也可不产生作用。但重力和杆对小球作用力的合力一定指向圆心，在最高点处（以竖直向下为正）由得知：当mg+F杆＝0时，此时小球速度最小，为V＝0，故选项（Ａ）错；
当时，F杆＝0，故选项（B）正确；
当时，F杆>0，即F杆与重力同向，当时，F杆<0、即F杆与重力反向，故选项（C）对，（D）错。
3. 轻绳及杆的弹力可突变，而轻弹簧的弹力只能渐变。
【例4】如图7所示，小球在细线OB和水平细线AB的作用下处于静止状态，则在剪断水平细线的瞬间，小球的加速度多大？方向如何？

[解析]在剪断细线AB之前对小球进行受力分析，如图8所示，小球在三力作用下平衡，由平衡条件可得：

当剪断水平细线AB时，FT 突然消失（FT=0），此时小球由于细线OB的限制，在沿OB方向上，小球不可能运动，故小球只能沿着与OB垂直的方向运动，也就是说，此时小球所受到的重力的作用效果是使小球拉绳和沿垂直绳的方向做加速运动，其重力分解如图9所示。由图9可知在沿绳的方向有：
在沿垂直绳的方向有
即，方向垂直于OB向下。
（由图9分析可知，在绳OB方向上的拉力突变为，可见当剪断水平细线AB时，细线OB的拉力发生了突变。）
若将图7中的细绳OB改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图10所示，其它条件不变，当剪断细绳AB瞬间小球的加速度又是多少？方向如何？

解析：同理在细线剪断前，由三力平衡条件（如图11所示）可得
水平细线的拉力为
弹簧的拉力为
当剪断细线的瞬间如图12示，FT 突然消失，而弹簧来不及发生形变，故弹簧弹力F大小和方向没有发生变化，其大小仍为，但小球在FT 反方向上获得加速度a，所以小球加速度大小为，方向水平向右。