空间向量专题练习答案.doc
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1、空间向量专题练习一、填空题(本大题共4小题,共20.0分)1.平面的法向量为(1,0,-1),平面的法向量为(0,-1,1),则平面与平面所成二面角的大小为 _ 【答案】 3或23 【解析】 解:设平面的法向量为m=(1,0,-1),平面的法向量为n=(0,-1,1), 则cosm,n=10+0(1)+(1)122=-12, m,n=23 平面与平面所成的角与m,n相等或互补, 与所成的角为3或23 故答案为:3或23 利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出 本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法,考查了计算能力,属于基础题 2.平面经过三点A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-
2、1,0),则平面的法向量u可以是 _ (写出一个即可)【答案】 (0,1,-1) 【解析】 解:AB=(2,1,1),AC=(3,-1,-1), 设平面的法向量u=(x,y,z), 则uAB=2x+y+z=0uAC=3xyz=0,令z=-1,y=1,x=0 u=(0,1,-1) 故答案为:(0,1,-1) 设平面的法向量u=(x,y,z),则uAB=2x+y+z=0uAC=3xyz=0,解出即可 本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量,属于基础题 3.已知AB=(1,0,2),AC=(2,1,1),则平面ABC的一个法向量为 _ 【答案】 (-2,3,1) 【解析】 解:AB=(1,0
3、,2),AC=(2,1,1), 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 则nAB=0nAC=0,即x+2z=02x+y+z=0,取x=-2,则z=1,y=3 n=(-2,3,1) 故答案为:(-2,3,1) 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则nAB=0nAC=0,解出即可 本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系,属于基础题 4.在三角形ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1),若向量n与平面ABC垂直,且|n|=21,则n的坐标为 _ 【答案】 (2,-4,-1)或(-2,4,1) 【解析】 解:设平面ABC的法向量为m=(x,y,z), 则
4、mAB=0,且mAC=0, AB=(-1,-1,2),AC=(1,0,2), xy+2z=0x+2z=0, 即x=2zy=4z, 令z=1,则x=-2,y=4, 即m=(-2,4,1), 若向量n与平面ABC垂直, 向量nm, 设n=m=(-2,4,), |n|=21, 21|=21, 即|=1, 解得=1, n的坐标为(2,-4,-1)或(-2,4,1), 故答案为:(2,-4,-1)或(-2,4,1) 根据条件求出平面的法向量,结合向量的长度公式即可得到结论 本题主要考查空间向量坐标的计算,根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的关键 二、解答题(本大题共3小题,共36.0分)5.如
5、图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,BAD=60,Q为AD的中点 (1)若PA=PD,求证:平面PQB平面PAD; (2)点M在线段PC上,PM=13PC,若平面PAD平面ABCD,且PA=PD=AD=2,求二面角M-BQ-C的大小 【答案】 解:(1)证明:由题意知:PQAD,BQAD,PQBQ=Q, AD平面PQB, 又AD平面PAD, 平面PQB平面PAD (2)PA=PD=AD,Q为AD的中点, PQAD, 平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD, PQ平面ABCD, 以Q这坐标原点,分别以QA,QB,QP为x,y,z轴, 建立如图所求的空间直角坐标系, 由题
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