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第四章 点群及其应用
§4.1 点群
一、几个基本概念：
点群的任一群元（正交变换），都保持系统至少有一点是不动的。
点群的群元（正交变换）没有平移。

点群描写系统的宏观对称性；
平移对称操作与微观对称性、空间群。

二、正当转动点群及其非任意性（除球之外）
群元，m度轴（对称元素）
m重极点（m-1个）、极点星（）

设群中共有λ组极点星，则
除单位元外，群的极点数满足

即 ， 其中

有
即
得到 λ= 2 或3组。
（1）λ= 2
，即
即
得到
（注意 ）
记 ，得到两个极点星
（n，1）、（n，1）
这就是正当转动点群Cn群。
（2）λ= 3
，
即
令 ，得到 ；代入，得到

分为两种情况 、3：
（2-1）
，即
记，得到三个极点星
（2，n）、（2，n）、（n，2）
这就是正当转动点群Dn群。
（2-2）
代入 ，得到

这时 、4、5，对应的极点星和群：
g=12： （2，6）、（3，4）、（3，4）
这就是正当转动点群T群；
g=24： （2，12）、（3，8）、（4，6）
这就是正当转动点群O群；
g=60： （2，30）、（3，20）、（5，12）
这就是正当转动点群P群。

正当转动点群：Cn、Dn、T、O、P

三、点群的分类：
第一类点群（正当转动点群）
第二类点群（含有非正当转动操作的点群）

晶体点群：
第一类晶体点群11个，
第二类晶体点群21个，
晶体点群共有32个。

§4.2 晶体点群的对称操作及对称元素
晶体点群的对称操作：4类8种
（1）cn， （5种）
（2）镜面反射（镜面反映）σ
（3）中心反演 I
（4）旋转反射（旋转反映）sn（只有s4）

对称操作之间的关系：
（1）同轴的两个转动
（2）两个镜面的连续操作～转动（转角 ）
（3）（镜面）（转动 ）～镜面（夹角 ）
（4）C2vC2u～ Cw（转角 ，转轴）
（5）可对易的对称操作

作业：1. 习题4. 1
2. 图示上述6对可对易的对称操作。
3. 习题4. 3

对称元素
在对称操作下，不动的点、线（转轴）、面。
（1）对称元素之间的关系：
两镜面（夹角 ）之间的交线，必为一转轴；
（镜面）+（n度转轴）→共n个镜面；
两个2度轴（ ）→垂直的n度轴；
2度轴+与之垂直的n度轴→共n个2度轴。

（2）某些特殊的对称元素
主轴
等价轴、等价面
双向轴（定义，两个判定）

（3）图示对称元素的方法
极射投影图（有主轴）

§4.3 晶体点群
§4.3.1 32个晶体点群

附：
可能的正多面体，只有5种：

面心立方晶体的布里渊区
（形状为截角八面体）

体心立方晶体的布里渊区

体心立方晶体布里渊区的形状名称？

正十二面体？不是！
形状称为菱形十二面体、或菱十二面体。

体心立方晶体的布里渊区，形状被称为
正十二面体的有：
[1] 黄昆.固体物理学.人教,1979.
[2] 黄昆,韩汝琦.固体物理学.高教,1988.
[3] 李冠告. 晶体结构几何学基础.
南开大学出版社,2000.110.
正确的有：
[1] 方俊鑫，陆栋. 固体物理学（上册）.
上海科学技术出版社，1980. 235.
[2] 顾秉林,王喜坤.固体物理学.
清华大学出版社,1989. 62~63.

§4.3.2 32个点群的符号及所属晶系
点群的符号：熊夫利符号
国际符号

晶系：七类对称性、七种单胞坐标系

§4.4 点群的特征标表
阿贝尔群的特征标表
有16个点群是阿贝尔群
Cn、Cnh、S2m、C2V、D2、D2h
阿贝尔群：c = g，
所有g个不可约表示都是1维的。
每个不可约表示是一组数；
这组数也就是该表示的特征标系。
其中循环群有9个：
Cn、C1h、S2m
不仅c = g，而且群元的阶= g，Rg = E.

对于循环群
群元的阶= g，第个不可约表示为

即 、、…、
、、…、
……
、、…、
例如：
（1）C2={c2, E}群：
即 、
、
（2）C4={c4, c42, c43, E}群：
、、、
、、、
、、、
、、、
满足矩阵元的正交归一、完全性关系；
满足特征标的正交归一、完全性关系。

对于一般的阿贝尔群
各群元的阶都是一个有限的整数，记为h，即 ，（注意）
利用特征标的正交归一、完全性关系，适当地排列各群元的这些h个数。
例如：C2h={E, c2, σh, I }
各群元的阶都是2，特征标均为1或 -1。
按照特征标的正交归一、完全性关系，得到

点群的特征标表
1、记号说明：
一维：A（主轴转动的）和B
二维：E
三维：T
下脚标g（反演对称）和u（反演反对称）.
例如：C2h

2、基函数的变换性质
例如：C2h、C2V

3、时间反演对称性及其简并
例如：C4

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