p196-238讲稿北师大的群论.doc
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1、群论4.4 点群的特征标表阿贝尔群的特征标表有16个点群是阿贝尔群Cn、Cnh、S2m、C2V、D2、D2h阿贝尔群:c = g,所有g个不可约表示都是1维的。每个不可约表示是一组数;这组数也就是该表示的特征标系。其中循环群有9个:Cn、C1h、S2m不仅c = g,而且群元的阶= g,Rg = E.对于循环群群元的阶= g,第个不可约表示为即 、例如:(1)C2=c2, E群:即 、(2)C4=c4, c42, c43, E群:、满足矩阵元的正交归一、完全性关系;满足特征标的正交归一、完全性关系。对于一般的阿贝尔群各群元的阶都是一个有限的整数,记为h,即 ,(注意)利用特征标的正交归一、完全
2、性关系,适当地排列各群元的这些h个数。例如:C2h=E, c2, h, I 各群元的阶都是2,特征标均为1或 -1。按照特征标的正交归一、完全性关系,得到点群的特征标表1、记号说明:一维:A(主轴转动的)和B二维:E三维:T下脚标g(反演对称)和u(反演反对称).例如:C2h2、基函数的变换性质例如:C2h、C2V3、时间反演对称性及其简并例如:C44.5 双点群对于点群G = , A, ,R, (称为单群)对应的双点群为GD=,A,R,A,R,=,A,R,(略)4.6 晶体的宏观性质与晶体的对称性晶体的宏观性质,一般用张量表示。有:零阶、一阶、二阶、三阶张量、等。一阶张量与矢量:一阶张量都是
3、(真)矢量,具有性质, 矢量有真假之分,分别称为(真)矢量与赝矢量或 极矢量与轴矢量电偶极矩是极矢量;磁矩,是轴矢量。轴矢量(赝矢量)不是一阶张量;轴矢量(赝矢量)的一个特征是在中心反演下保持不变,例如:还有(): ,等。不是一阶张量的(赝)矢量,常见的有角速度、旋转角、轨道角动量、磁矩等。二阶张量:、等;三阶张量:霍尔系数RH、压电系数等;四阶张量:弹性模量等。非线性光学以及电介质物理中线性极化率即一阶极化率是一个二阶张量,二阶极化率是一个三阶张量,三阶极化率是一个四阶张量,有34=81个分量,。一阶张量与晶体的对称性以电偶极矩为例。在正当转动作用下, 如果晶体的对称性群为G,则,或构成群G
4、的恒等表示的基。矢量中独立分量的个数,与包含的恒等表示数一样例1:G = C3,包含的恒等表示数表明具有C3对称性的晶体,极化强度只能沿着z方向。同样的分析,得到具有C3对称性的晶体,磁化强度也只能沿着z方向。例2:G = C3V(1)极化强度,其中,有(2)磁化强度,其中,有可见:具有C3V对称性的晶体可以是铁电的,但不可能是铁磁的。一般:Cn、CnV,可以是铁电的;Cn、Ci、C2h、C3h、S4、S6,可以是铁磁的。例3:铁电或铁磁晶体是否可以具有对称性?群元及其坐标变换矩阵, ,得到群的群元 对于空间坐标的三维表示的特征标为,。对于铁电晶体,电偶极矩,矢量各分量与上述三维表示的基函数相
5、同(差一个比例系数)。如果这个表示中包含一个或几个恒等表示,相应的分量将在群元作用下不变;则沿着该方向极化的铁电体就具有对称性。下面根据约化系数公式 (2.6-6)计算上述三维表示中包含的恒等表示的数目:即上述三维表示中不包含恒等表示,在群元作用下,电偶极矩矢量的各个分量不可能保持不变,所以,铁电晶体不可能具有对称性。对于铁磁晶体,磁矩在群元作用下,有, , 即磁矩在群元作用下保持不变,所以,铁磁晶体可以具有对称性。具体的变换矩阵为, ,包含的恒等表示的数目:二阶张量以电导率张量为例。在对称操作作用下,且 由于 ,即 所以,电导率的变换为(正交变换)电导率分量的变换为电导率张量的元形成直积表示
6、的基。直积表示的特征标如果晶体的对称性群为G,则用表示矩阵写为该直积表示必须是一个恒等表示;电导率张量的9个元中的独立元的数目,由该式确定。具体计算该直积表示中,包含恒等表示的数目,确定独立元的数目。例如:G = C2h坐标变换矩阵, ,三维表示的特征标为,;直积表示的特征标为,;则电导率张量中独立元的数目下面通过C2h的各群元,具体分析电导率张量中各元的变换性质。电导率张量各元变换性质,与下脚标的坐标变换相同。在C2h各群元作用下,不变;有只有5个独立分量;与特征标的分析一致。电导率张量的进一步分析:(1)若系统具有c2z对称性,就有(2)若是对称张量,即,则张量只有4个独立分量;(3)若平
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