三角形全等之手拉手模型、倍长中线、截长补短法、旋转、寻找三角形全等方法归纳总结.doc

一、手拉手模型
要点一：手拉手模型
特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的
顶点为公共顶点
结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°
（3）OA平分∠BOC
变形：

例1.如图在直线的同一侧作两个等边三角形与，连结与，证明
（1）
(2)
(3) 与之间的夹角为
(4)
(5)
(6) 平分
(7)

变式精练1：如图两个等边三角形与，连结与，
证明（1）
（2）
（3） 与之间的夹角为
（4） 与的交点设为,平分

变式精练2：如图两个等边三角形与，连结与，
证明（1）
(2）
(3） 与之间的夹角为
(4） 与的交点设为,平分

例2：如图，两个正方形与,连结,二者相交于点
问：（1）是否成立？
（2） 是否与相等？
（3） 与之间的夹角为多少度？
（4） 是否平分？

例3：如图两个等腰直角三角形与，连结,二者相交于点
问：（1）是否成立？
（2）是否与相等？
（3）与之间的夹角为多少度？
（4）是否平分？

例4：两个等腰三角形与，其中,,连结与，
问：（1）是否成立？
（2）是否与相等？
（3）与之间的夹角为多少度？
（4）是否平分？

二、倍长与中点有关的线段
倍长中线类
☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
【例1】 已知：中，是中线．求证：．

【练1】在△中，，则边上的中线的长的取值范围是什么？

【练2】如图所示，在的边上取两点、，使，连接、，求证：．

【例2】 如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．

【练1】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：

【练2】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．

【练3】如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．
求证：∥

【例3】 已知为的中线，，的平分线分别交于、交于．求证：．

【练1】在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足．若，，则线段的长度为_________．

【练2】在中，点为的中点，点、分别为、上的点，且．
（1）若，以线段、、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？
（2）如果，求证．

【例4】 如图所示，在中，，延长到，使，为的中点，连接、，求证．

【练1】已知中，，为的延长线，且，为的边上的中线．
求证：

★全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方
1. 如图所示，中，，AD平分交BC于D。求证：AB=AC+CD。

如图所示，在中，，的角平分线AD、CE相交于点O。求证：AE+CD=AC。

2. 如图所示，已知，P为BN上一点，且于D，AB+BC=2BD，求证：。

3. 如图所示，在中，AB=AC，，，CE垂直于BD的延长线于E。求证：BD=2CE。

5如图所示，在中，，AD为的平分线，=30，于E点，求证：AC-AB=2BE。

6.如图所示，已知//CD，的平分线恰好交于AD上一点E，求证：BC=AB+CD。

7.如图，E是的平分线上一点，，，垂足为C、D。求证：（1）OC=OD； （2）DF=CF。

7

三、截长补短
问题1：垂直平分线（性质）定理是_______________________________________________________
问题2：角平分线（性质）定理是__________________________________________________________
问题3：等腰三角形的两个底角________，简称______________；
如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称____________．
问题4：当见到线段的______________考虑截长补短，构造全等或等腰转移____、转移____，然后和_________重新组合解决问题．
三角形全等之截长补短（一）
一、单选题(共4道，每道25分)
1.已知，如图，BM平分∠ABC，P为BM上一点，PD⊥BC于点D，BD=AB+CD．
求证：∠BAP+∠BCP=180°．

请你仔细观察下列序号所代表的内容：
①；②∵∠1=∠2；③∠A=∠BEP；④AP=PE；

⑤；⑥；⑦；

⑧．
以上空缺处依次所填最恰当的是( )

A.①③⑥⑦ B.①③⑤⑧
C.②③⑥⑦ D.②④⑤⑧

2.已知，如图，BM平分∠ABC，点P为BM上一点，PD⊥BC于点D，BD=AB+DC．
求证：∠BAP+∠BCP=180°．

请你仔细观察下列序号所代表的内容：
①延长BA，过点P作PE⊥BA于点E；②延长BA到E，使AE=DC，连接PE；

③延长BA到E，使DC=AE；④；⑤；

⑥；⑦．
以上空缺处依次所填最恰当的是( )

A.②④⑦ B.①⑤⑥
C.③④⑥ D.①⑤⑦

3.已知，如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，AD平分∠CDE，∠BAE=2∠CAD，求证：BC+DE=CD．

请你仔细观察下列序号所代表的内容：
①在CD上截取CF=CB，连接AF；②在DC上截取DF=DE，连接AF；
③在DC上截取DF=DE；④AE=AF；⑤AF=AE，∠4=∠3；⑥∠4=∠3；

⑦；⑧；⑨．
以上空缺处依次所填最恰当的是( )

A.①④⑨ B.③⑤⑧
C.①⑥⑦ D.②⑤⑨

4.已知，如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，∠BAE=2∠CAD，∠ABC+∠AED=180°，求证：BC+DE=CD．

请你仔细观察下列序号所代表的内容：
①延长DE到F，使EF=BC，连接AF；②延长DE到F，使BC=EF；

③延长DE到F，连接AF；④；

⑤；⑥；⑦；

⑧；⑨．
以上空缺处依次所填最恰当的是( )

A.③⑤⑥⑧ B.①④⑥⑨
C.①⑤⑥⑨ D.②④⑦⑧

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四、三角形全等旋转与截长补短专题

问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？(构造旋转的条件)

问题二：旋转都有哪些模型？

【例1】
如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P＇BA ，则∠PBP＇的度数是( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°

【例2】
如图，正方形BAFE与正方形ACGD共点于A，连接BD、CF，求证：BD＝CF并求出∠DOH的度数。

【例3】
如图，正方形ABCD中，∠FAD＝∠FAE 。求证：BE＋DF＝AE。

1．题干中出现对图形的旋转——现成的全等
2．图形中隐藏着旋转位置关系的全等形——找到并利用
3．题干中没提到旋转，图形中也没有旋转关系存在——通过作辅助线构造旋转！
【例4】
已知：如图：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN的两边分别交CB、DC于点M、N。求证：BM＋DN＝MN。

【例5】
如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，连接对角线BD交AE于M，交AF于N，证明：DN2＋BM2＝MN2

【例6】
如图，已知△OAB和△OCD是等边三角形，连结AC和BD，相交于点E，AC和BO交于点F，连结BC。求∠AEB的大小。

【例7】
如图所示：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且AP＝3，CP＝2， BP＝1，求∠BPC的度数。

本课总结
问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？(构造旋转的条件)
1．图中有相等的边(等腰三角形、等边三角形、正方形、正多边形)
2．这些相等的边中存在共端点。
3．如果旋转(将一条边和另一条边重合)，会出现特殊的角：大角夹半角、手拉手、被分割的特殊角。
问题二：旋转都有哪些模型？
构造旋转辅助线模型：
1．大角夹半角
2．手拉手(寻找旋转)
3．被分割的特殊角
测试题
1．如图，P是正内的一点，且BP是∠ABC的角平分线，若将绕点P旋转到，则的度数是( )
A．45° B．60° C．90° D．120°

2．如图：△ABC中，AB＝AC，BC为最大边，点D、E分别在BC、AC上，BD＝CE，F为BA延长线上一点，BF＝CD，则下列正确的是( )
A．DF＝DE B．DC＝DF C．EC＝EA D．不确定
3．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，则下列正确的是( )
A．BD2＝AB2＋BC2 B．BD2＜AB2＋BC2 C．BD2＞AB2＋BC2 D．不确定
4．已知中，，于，AE为角平分线交CD于F，则图中的直角三角形有( )
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个

5．如图，DA⊥AB，EA⊥AC，AD＝AB，AE＝AC，则下列正确的是( )
A． B．
C． D．

6．如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上的一点(不与A、C重合)，PE⊥BC与点E，PF⊥CD与点F，若四边形PECF绕点C逆时针旋转，连结BE、DF，则下列一定正确的是( )
A．BP＝DP B．BE2＋EC2＝BC2 C．BP＝DF D．BE＝DF
7．如图，等腰直角△ADB与等腰直角△AEC共点于，连结、，则下列一定正确的是( )
A．BE＝DC B．AD∥CE C．BE⊥CE D．BE＝CE

8．如图，等边三角形与等边三角形共点于，连接、，则的度数为( ) A．45° B．60° C．90° D．120°
9．如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且。则下列一定正确的是( )
A． B．
C． D．
10．在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，则∠BAE＋∠DCF为( )
A．45° B．60° C．90° D．120°

五、寻找全等三角形的几种方法
利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等. 在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论．下面介绍寻找全等三角形的几种方法，供同学们参考．
一、利用公共角
例 1 如图 1，AB ＝ AC, AE ＝ AF. 求证: ∠B ＝∠C.
分析：要证明∠B ＝∠C，只需证明△BOE≌△COF 或△ABF≌△ACE. 而由图形可知∠A 是公共角，又由已知条件 AB ＝ AC, AE＝ AF,所以△ABF≌△ACE，于是问题获证．

二、利用对顶角（题目中的隐含条件）
例 2 如图 2，B、E、F、D 在同一直线上，AB ＝ CD，BE ＝DF，AE ＝ CF，连接 AC 交 BD 于点 O．
求证： AO ＝ CO．
分析：要证明 AO ＝ CO，只需证明△AOE≌△COF 或△AOB≌△COD 即可．根据现有条件都无法直接证明．而由已知条件 AB ＝CD，BE ＝ DF, AE ＝ CF 可直接证明△ABE≌△CDF，则 有∠AEB＝∠CFD，进而有∠AEO ＝∠CFO,再 利 用 对 顶 角 相 等，即可 证 明。

三、利用公共边（题目中的隐含条件）
例 3 如图 3，AB ＝ CD，AC ＝ BD．求证：∠B ＝∠C．
分析：设 AC 与 BD 交于点 O，此时∠B 与∠C 分别在△AOB和△DOC 中，而用现有的已知条件是不可能直接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形．此时可以连接 AD，那么 AD是△ABD 和△DCA 的公共边，这样可以证明△ABD≌△DCA．

四、利用相等线段中的公共部分
例 4 如图 4，E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF ＝ CE. 求证：BE∥DF.
分析：要证明 BE∥DF, 只需证明∠BEC ＝∠DFA，此时可以转换为证明∠AEB ＝∠CFD, 进而证明△AEB≌△CFD.

五、利用等角中的公共部分
例 5 如图 5，已知∠E ＝ 30°，AB ＝ AD，AC ＝ AE，∠BAE＝∠DAC．求∠C 的度数．
分析：已知∠E ＝ 30°，要求∠C，可考虑证明△ABC≌△ADE,由∠BAE ＝∠DAC,结合图形可知∠BAC ＝∠DAE，于是问题获解．

六、利用互余或互补角的性质
考点：同角或等角的余角相等
例 6 如图 6，已知∠DCE ＝ 90°，∠DAC ＝ 90°，BE⊥AC 于B, 且 DC ＝ EC, 能否找出与 AB+AD 相等的线段，并说明理由．
分析：由于 AC ＝ AB+BC，可以猜想 AC ＝ AB+AD，或 BE ＝AB+AD，此时只需证明 AD ＝ BC 即可．而事实上，用同角的余角相等可得到∠DCA ＝∠E，从而证明△ADC≌△BCE，问题获证．

例7，如图7—1，在正方形ABCD中，M,N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O,若∠BON=90°，
求证：△DNC ≌△CMB.

变式：如图7—2，在等边△ABC中，M,N分别是AC,AB上的点，BM与CN相交于点O,若∠BON=60°，
求证:△ANC≌△CMB

七、利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）构造全等三角形
考点一：利用角平分线上的点到角两边的距离相等
例8，如图8，点P是∠ABC的平分线BN上一点，PE垂直AB所在的直线与E,PF垂直BC所在的直线于F,
∠PAB+∠PCB=180°。求证PA=PC.

考点二：利用截长补短法构造全等三角形
所谓截长法是指在较长得到线段上截取一条线段等于较短线段，而补短法是指延长较短的线段等于较长的线段，通过截长补短可把分散的条件相对集中，以便构造全等三角形。
例9，如图9，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2. 求证：AB=AC+CD. 
分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.

八、利用“一线三等角”模型构造全等三角形。
所谓“一线三等角”是指一条直线上有三个相等角，如果有一条边相等则可以构造全等三角形.
类型一：直角三角形中的“一线三等角”
例10，如图10，△ABC中，∠B=90°，CD⊥AC，过D作DE⊥AB交BC延长线与E。且AC=CD ，
求证：△ABC≌△CED 。

类型二：等腰三角形中地边上的“一线三等角”
例11，如图11，在△ABC中， AB=AC，点D,E分别在AB,BC上，作∠DEF=∠B，射线EF交线段AC于F．
若DE=EF,求证：△DBE≌△ECF；