空间直角坐标系和空间向量典型例题.doc

空间直角坐标系与空间向量 一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则：遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。作法：充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系 类型举例如下：类型举例如下：（一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系（一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例 1 已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，底面ABCD是直角梯形，A为直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，求异面直线BC1与DC所成角的余弦值 解析：如图 1，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C1（，1，2）、B（2，4，），1(232)BC ，(010)CD，设1BC与CD所成的角为，则113 17cos17BC CDBC CD（二）利用线面垂直关系构建直角坐标系（二）利用线面垂直关系构建直角坐标系 例 2 如图 2，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EAEB1已知2AB，BB12，BC1，BCC13求二面角AEB1A1的平面角的正切值 解析：如图 2，以B为原点，分别以BB1、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB1的直线为x轴建立空间直角坐标系 由于BC1，BB12，AB2，BCC13，在三棱柱ABCA1B1C1中，有B（，）、A（，2）、B1（，2，）、31022c，、13 3022C，设302Ea，且1322a，由EAEB1，得10EA EB，即3322022aa ，233(2)2044a aaa，13022aa ，即12a 或32a（舍去）故3 1022E，由已知有1EAEB，111B AEB，故二面角AEB1A1的平面角的大小为向量11B A与EA的夹角 因11(0 02)B ABA，31222EA，故11112cos3EA B AEA B A，即2tan2（三）利用面面垂直关系构建直角坐标系（三）利用面面垂直关系构建直角坐标系 例 3 如图 3，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD （1）证明AB平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值 解析：（1）取AD的中点O为原点，建立如图 3 所示的空间直角坐标系 设AD2，则A（1，）、D（1，）、B（1，2，）、V（，3），AB（，2，），VA（1，3）由(0 2 0)(103)0AB VA，得 ABVA 又ABAD，从而AB与平面VAD内两条相交直线VA、AD都垂直，AB平面VAD；（2）设E为DV的中点，则13022E，33022EA，33222EB，(103)DV，332(103)022EB DV，EBDV 又EADV，因此AEB是所求二面角的平面角 21cos7EA EBEAEBEA EB，故所求二面角的余弦值为217（四）利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系（四）利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系 例 4 已知正四棱锥VABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为 2a，高为h （1）求DEB的余弦值；（2）若BEVC，求DEB的余弦值 解析：（1）如图 4，以V在平面AC的射影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中OxBC，OyAB，则由AB2a，OVh，有B（a，a，）、C（-a，a，）、D（-a，-a，）、V（0，0，h）、2 2 2a a hE，322 2a hBEa，32 22ahDEa，22226cos10BE DEahBE DEahBE DE，即22226cos10ahDEBah；（2）因为E是VC的中点，又BEVC，所以0BE VC，即3()022 2a haaah，22230222aha，2ha 这时222261cos103ahBE DEah，即1cos3DEB 引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径（五）利用图形中的对称关系建立坐标系（五）利用图形中的对称关系建立坐标系 图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系 例 5 已知两个正四棱锥PABCD与QABCD的高都为 2，AB4（1）证明：PQ平面ABCD；（2）求异面直线AQ与PB所成的角；（3）求点P到面QAD的距离 简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD是正方形，且ACBD由（1），PQ平面ABCD，故可分别以直线CADBQP，为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图 1），易得(2 2 02)(0 2 22)AQPB，1cos3AQ PBAQ PBAQ PB，所求异面直线所成的角是1arccos3（3）由（2）知，点(02 2 0)(2 22 2 0)(0 04)DADPQ，设n n=（x，y，z）是平面QAD的一个法向量，则00AQAD，nn得200 xzxy，取x1，得(1 12)，n=点P到平面QAD的距离2 2PQd nn 点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出第（3）问也可用“等体积法”求距离 二、二、向量法解立体几何向量法解立体几何 （一）（一）知识点知识点 向量的数量积和坐标运算向量的数量积和坐标运算 ba,是两个非零向量，它们的夹角为，则数cos|ba叫做a与b的数量积（或内积），记作ba，即.cos|baba 其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是：若),(),(222111zyxbzyxa，则 212121zzyyxxba；222222212121|,|zyxbzyxa；212121zzyyxxba 222222212121212121,coszyxzyxzzyyxxba（二）例题讲解 题型：求角度相关 1.1.异面直线异面直线nm,所成的角所成的角 分别在直线nm,上取定向量,ba则异面直线nm,所成的角等于向量ba,所成的角或其补角（如图 1 所示），则.|cosbaba 2.2.直线直线L与平面与平面所成的角所成的角 在L上取定AB，求平面的法向量n（如图 2 所示），再求|cosnABnAB，则2为所求的角.3 3 二面角二面角 方法一：构造二面角l的两个半平面、的法向量21nn、（都取向上的方向，如图 3 所示），则 若二面角l是“钝角型”的如图 3 甲所示，那么其大小等于两法向量21nn、的夹角的补角，即.|cos2121nnnn 角l是“锐角型”的如图 3 乙所示，那么 若二面Cn图1 DABnmab nBAL图1n2n图l1n2nl图3甲 1n2nl图4 BA其大小等于两法向量21nn、的夹角，即.|cos2121nnnn.方法二：在二面角的棱l上确定两个点BA、，过BA、分别在平面、内求出与l垂直的向量21nn、（如图 4 所示），则二面角l的大小等于向量21nn、的夹角，即.|cos2121nnnn 题型：求距离相关 1.1.异面直线异面直线nm、的距离的距离 分别在直线nm、上取定向量,ba求与向量ba、都垂直的向量n，分别在nm、上各取一个定点BA、，则异面直线nm、的距离d等于AB在n上的射影长，即|nnABd.证明：设CD为公垂线段，取bDBaCA,|)(nABnCDnBDABCAnCDBDABCACD|nnABCDd 设直线nm,所成的角为，显然.|cosbaba 2.2.平面外一点平面外一点p到平面到平面的距离的距离 求平面的法向量n，在面内任取一定点A，点p到平面的距离d等于AP在n上的射影长，即|nnAPd.Cn图1 DABnmab图5 Apn三、法向量 例题解析 题型：求空间角 1、运用法向量求直线和平面所成角运用法向量求直线和平面所成角 设平面的法向量为n=（x,y,1)，则直线 AB 和平面所成的角的正弦值为 sinsin=cos(2-)=|cos|=ABABnn 2、运用法向量求二面角运用法向量求二面角 设二面角的两个面的法向量为12,n n，则或-是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定是所求，还是-是所求角。题型：求空间距离 1 1、求两条异面直线间的距离、求两条异面直线间的距离 设异面直线 a、b 的公共法向量为(,)nx y z，在 a、b 上任取一点 A、B，则 异面直线 a、b 的距离：d=ABcosBAA=|AB nn 略证：如图，EF 为 a、b 的公垂线段，a为过 F 与 a 平行的直线，在 a、b 上任取一点 A、B，过 A 作 AA/EF，交 a于 A，则/AAn，所以BAA=（或其补角）异面直线 a、b 的距离 d=ABcosBAA=|AB nn *其中，n的坐标可利用 a、b 上的任一向量,a b（或图中的,AE BF），及n的定义得 00nan anbn b 解方程组可得n。2 2、求点到面的距离、求点到面的距离 求 A 点到平面的距离，设平面的法向量法为(,1)nx y，在内任取一点 B，则 A 点到平面的距离：d=|AB nn，n的坐标由n与平面内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述,若方程组无解，则法向量与 XOY 平面平行，此时可改设(1,0)ny，下同）。3 3、求直线到与直线平行的平面的距离、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线 a 到平面的距离，设平面的法向量法为(,1)nx y，在直线 a 上任取一点 A，在平面内任取一点 B，则直线 a 到平面的距离：d=|AB nn 4 4、求两平行平面的距离、求两平行平面的距离 设两个平行设平面、的公共法向量法为(,1)nx y，在平面、内各任取一点 A、B，则平面到平面的距离：d=|AB nn 三、证明线面、面面的平行、垂直关系三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线 a 和平面、，两个面、的法向量为12,n n，则 1a/an 1aa/n 12/nn 12nn您好，欢迎您阅读我的文章，本 WORD 文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。