空间直角坐标系和空间向量典型例题.doc
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1、空间直角坐标系与空间向量 一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则:遵循对称性,尽可能多的让点落在坐标轴上。作法:充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系 类型举例如下:类型举例如下:(一)用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系(一)用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例 1 已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12,底面ABCD是直角梯形,A为直角,ABCD,AB4,AD2,DC1,求异面直线BC1与DC所成角的余弦值 解析:如图 1,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则C1(,1,2)、B(2,4,),1(
2、232)BC ,(010)CD,设1BC与CD所成的角为,则113 17cos17BC CDBC CD(二)利用线面垂直关系构建直角坐标系(二)利用线面垂直关系构建直角坐标系 例 2 如图 2,在三棱柱ABCA1B1C1中,AB侧面BB1C1C,E为棱CC1上异于C、C1的一点,EAEB1已知2AB,BB12,BC1,BCC13求二面角AEB1A1的平面角的正切值 解析:如图 2,以B为原点,分别以BB1、BA所在直线为y轴、z轴,过B点垂直于平面AB1的直线为x轴建立空间直角坐标系 由于BC1,BB12,AB2,BCC13,在三棱柱ABCA1B1C1中,有B(,)、A(,2)、B1(,2,)
3、、31022c,、13 3022C,设302Ea,且1322a,由EAEB1,得10EA EB,即3322022aa ,233(2)2044a aaa,13022aa ,即12a 或32a(舍去)故3 1022E,由已知有1EAEB,111B AEB,故二面角AEB1A1的平面角的大小为向量11B A与EA的夹角 因11(0 02)B ABA,31222EA,故11112cos3EA B AEA B A,即2tan2(三)利用面面垂直关系构建直角坐标系(三)利用面面垂直关系构建直角坐标系 例 3 如图 3,在四棱锥VABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD
4、 (1)证明AB平面VAD;(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值 解析:(1)取AD的中点O为原点,建立如图 3 所示的空间直角坐标系 设AD2,则A(1,)、D(1,)、B(1,2,)、V(,3),AB(,2,),VA(1,3)由(0 2 0)(103)0AB VA,得 ABVA 又ABAD,从而AB与平面VAD内两条相交直线VA、AD都垂直,AB平面VAD;(2)设E为DV的中点,则13022E,33022EA,33222EB,(103)DV,332(103)022EB DV,EBDV 又EADV,因此AEB是所求二面角的平面角 21cos7EA EBEAEBEA EB,故所求二
5、面角的余弦值为217(四)利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系(四)利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系 例 4 已知正四棱锥VABCD中,E为VC中点,正四棱锥底面边长为 2a,高为h (1)求DEB的余弦值;(2)若BEVC,求DEB的余弦值 解析:(1)如图 4,以V在平面AC的射影O为坐标原点建立空间直角坐标系,其中OxBC,OyAB,则由AB2a,OVh,有B(a,a,)、C(-a,a,)、D(-a,-a,)、V(0,0,h)、2 2 2a a hE,322 2a hBEa,32 22ahDEa,22226cos10BE DEahBE DEahBE DE,即22226co
6、s10ahDEBah;(2)因为E是VC的中点,又BEVC,所以0BE VC,即3()022 2a haaah,22230222aha,2ha 这时222261cos103ahBE DEah,即1cos3DEB 引入空间向量坐标运算,使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析,只需建立空间直角坐标系进行向量运算,而如何建立恰当的坐标系,成为用向量解题的关键步骤之一下面以高考考题为例,剖析建立空间直角坐标系的三条途径(五)利用图形中的对称关系建立坐标系(五)利用图形中的对称关系建立坐标系 图形中虽没有明显交于一点的三条直线,但有一定对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等),利用自身对称性可建立空
7、间直角坐标系 例 5 已知两个正四棱锥PABCD与QABCD的高都为 2,AB4(1)证明:PQ平面ABCD;(2)求异面直线AQ与PB所成的角;(3)求点P到面QAD的距离 简解:(1)略;(2)由题设知,ABCD是正方形,且ACBD由(1),PQ平面ABCD,故可分别以直线CADBQP,为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图 1),易得(2 2 02)(0 2 22)AQPB,1cos3AQ PBAQ PBAQ PB,所求异面直线所成的角是1arccos3(3)由(2)知,点(02 2 0)(2 22 2 0)(0 04)DADPQ,设n n=(x,y,z)是平面QAD的一个法向量,则00
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