【解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试).doc

《解直角三角形》专题复习
A
C
B
D
一、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=AB】
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠ACB=90° D为AB的中点 ∴ CD=AB=BD=AD 】
4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
几何表示：【在Rt△ABC中∵∠ACB=90° ∴】
5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。
即：【∵∠ACB=90°CD⊥AB
∴

】
6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（）
由上图可得：ABCD=ACBC

二、锐角三角函数的概念
如图，在△ABC中，∠C=90°

锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
锐角三角函数的取值范围：0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.

三、锐角三角函数之间的关系
（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1)

（2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数）
tanAtan(90°—A)=1； cotAcot(90°—A)=1；
（3）弦切关系
tanA= cotA=
（4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等)
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
四、特殊角的三角函数值
α
sinα
cosα
tanα
cotα
30°

45°

1
1
60°

说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时.
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
五、 解直角三角形
在Rt△中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
三种基本关系：1、边边关系：
2、角角关系：∠A+∠B=90°
3、边角关系：即四种锐角三角函数

解直角三角形的四种基本类型及解法总结：
类型
已知条件
解法
两边
两直角边、
，，
直角边 ，斜边
，，
一边
一锐角
直角边，锐角A
，，
斜边，锐角A
，，
仰角
俯角
北
东
西
南
α
h
l
i

六、对实际问题的处理
（1）俯、仰角.
（2）方位角、象限角.
（3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）.
七、有关公式
（1）==
a
（2）Rt△面积公式：
（3）结论：直角三角形斜边上的高
（4）测底部不可到达物体的高度
在Rt△ABP中，BP=xcotα
在Rt△AQB中，BQ=xcotβ
BQ—BP=a，
即xcotβ-xcotα=a．

八、基本图形（组合型）

翻折 平移

九、解直角三角形的知识的应用问题：
(1)测量物体高度．
(2)有关航行问题．
(3)计算坝体或边路的坡度等问题

十、 解题思路与数学思想方法

图形、条件 单个直角三角形 直接求解
辅助线构造
实际问题 数学问题
抽象转化 不是直角三角形 直角三角形 方程求解

常用数学思想方法：转化、方程、数形结合、分类、应用

【聚焦中考考点】
1、 锐角三角函数的定义

2、 特殊角三角函数值

3、 解直角三角形的应用

【解直角三角形】经典测试题
（1——10题每题5分，11——12每题10分，13——16每题20分，共150分）
1、在△ABC中，若，，则这个三角形一定是（      ）
 A. 锐角三角形  B. 直角三角形  C. 钝角三角形   D. 等腰三角形
2、sin65°与cos26°之间的关系为（     ）
    A. sin65°< cos26°             B. sin65°> cos26°
图1
    C. sin65°= cos26°             D. sin65°+ cos26°=1
3、 如图1所示，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（     ）

    A. 7米  B. 9米   C. 12米  D. 15米
图2
4、如图2，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（    ）
    A.    B.   C.    D. 1

5、把直角三角形中缩小5倍，那么锐角∠A的正弦值 ( )
A. 扩大5倍 B. 缩小5倍 　 C. 没有变化 　 D. 不能确定
图3
6、如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上的一点，AD=BD=2，AB=，则：
AC的长为（ ）．
A． B． C．3 D．
7、如果∠A是锐角，且，那么（ ）．
A． B． C． D．
8、已知，则的值等于（ ）
A. B. C． D．0

9、 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm，则底边上的高为__________cm，底角的余弦值为______。
10、酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元。
图4
11、如图4，ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN，若。
（1）求△ANE的面积；（2）求sin∠ENB的值。

12、某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30o,又航行了半小时到D处，望灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离。（结果不取近似值）

13、某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°．已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°．请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）．

14、如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.5563，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）

15、今年“五一“假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°．已知A点海拔121米．C点海拔721米．
（1）求B点的海拔； （2）求斜坡AB的坡度．

16、通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°= ；
 （2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ；
 （3）如图②，已知sinA=，其中∠A为锐角，试求sadA的值。

8