等差数列的性质练习含答案.doc

课时作业7　等差数列的性质
时间：45分钟　　满分：100分
课堂训练
1．若一个数列的通项公式是an＝k·n＋b(其中b，k为常数)，则下列说法中正确的是(　　)
A．数列{an}一定不是等差数列
B．数列{an}是以k为公差的等差数列
C．数列{an}是以b为公差的等差数列
D．数列{an}不一定是等差数列
【答案】　B
【解析】　an＋1－an＝k(n＋1)＋b－kn－b＝k.
2．等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于(　　)
A．100　　　　　　　　　　 B．120
C．140 D．160
【答案】　B
【解析】　∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝7a6＝420，则a6＝60，∴a2＋a10＝2a6＝2×60＝120.
3．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.
【答案】　99
【解析】　a15，a25，a35成等差数列，
∴a35＝2a25－a15＝99.
4．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．
【分析】　关键是求出数列{an}的首项和公差．
【解析】　由于数列为等差数列，因此可设等差数列的前三项为a－d，a，a＋d，于是可得
即即
由于数列为单调递增数列，因此d＝4，a1＝3，从而{an}的通项公式为an＝4n－1.
【规律方法】　此解法恰到好处地设定等差数列的项，为我们的解题带来了极大的方便，特别是大大降低了运算量．一般来说，已知三个数成等差数列时，可设成：a－d，a，a＋d，四个数成等差数列时，可设成：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，其余依此类推，如五个可设成：a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
课后作业
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．在等差数列{an}中，a5＝3，a9＝5，则a7＝(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．－4
C．7 D．1
【答案】　A
【解析】　由题意知a7为a5，a9的等差中项，故a7＝(a5＋a9)＝×(3＋5)＝4.
2．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为(　　)
A．20 B．30
C．40 D．50
【答案】　C
【解析】　∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，
∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，
∴a7＝20.
∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.
3．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为(　　)
A．30 B．27
C．24 D．21
【答案】　B
【解析】　方法一：由等差数列的性质知，a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列，所以(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)＝2(a2＋a5＋a8)，
则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.
方法二：(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)
＝3d(d为数列{an}的公差)，则d＝－2，
a3＋a6＋a9＝(a2＋a5＋a8)＋3d＝33－6＝27.
4．把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，问最小的1份是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　C
【解析】　设这5份为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，
由已知得a＝20，且(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，
∴d＝，∴a－2d＝.
5．等差数列{an}的公差d<0，且a2a4＝12，a1＋a5＝8，则其通项公式为(　　)
A．an＝2n－2 B．an＝2n＋4
C．an＝－2n＋12 D．an＝－2n＋10
【答案】　D
【解析】　由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝8.
又a2a4＝12，所以a2，a4为方程x2－8x＋12＝0的两根，
解得或
当a2＝2，a4＝6时，d＝＝2>0(舍去)，
当a2＝6，a4＝2时，d＝＝－2.
所以数列的通项公式为an＝a2＋(n－2)d＝6＋(n－2)×(－2)＝－2n＋10.
即an＝－2n＋10.
6．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于(　　)
A．0 B．37
C．100 D．－37
【答案】　C
【解析】　设{an}，{bn}的公差分别是d1，d2，∴(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，
∴{an＋bn}为等差数列．
又∵a1＋b1＝a2＋b2＝100，
∴a37＋b37＝100.
故正确答案为C.
7．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是(　　)
A．－2 B．－3
C．－4 D．－5
【答案】　C
【解析】　设该数列的公差为d，则由题设条件知：
a6＝a1＋5d>0，a7＝a1＋6d<0.
又∵a1＝23，∴
即－<d<－.
又∵d是整数，∴d＝－4，故选C.
8．已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1＋b1＝5，a1，b1∈N＋.设cn＝abn(n∈N＋)，则数列{cn}的前10项和等于(　　)
A．55 B．70
C．85 D．100
【答案】　C
【解析】　由题cn＝abn(n∈N＋)，
则数列{cn}的前10项和等于ab1＋ab2＋…＋ab10＝ab1＋ab1＋1＋…＋ab1＋9.
∵ab1＝a1＋(b1－1)＝4，
∴ab1＋ab1＋1＋…＋ab1＋9＝4＋5＋…＋13＝85.
二、填空题(每小题10分，共20分)
9．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.
【答案】　1
【解析】　∵a1＋a3＋a5＝105，即3a3＝105，∴a3＝35，
同理a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，
∴a20＝a4＋(20－4)d＝1.
10．等差数列{an}中，a1＋a4＋a10＋a16＋a19＝150，则a18－2a14＝________.
【答案】　－30
【解析】　由a1＋a4＋a10＋a16＋a19＝5a10＝150，得a10＝30，a18－2a14＝(a10＋8d)－2(a10＋4d)＝－a10＝－30.
三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．(1)已知数列{an}为等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求a3＋a15.
(2)在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式．
【解析】　(1)方法一：∵数列{an}是等差数列，∴设数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得a1－(a1＋4d)＋(a1＋8d)－(a1＋12d)＋(a1＋16d)＝117，
∴a1＋8d＝117.
从而a3＋a15＝(a1＋2d)＋(a1＋14d)＝2(a1＋8d)＝234.
方法二：由等差数列的性质知，a1＋a17＝a5＋a13＝a3＋a15＝2a9.
∵a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，
∴a9＝117，∴a3＋a15＝2a9＝234.
(2)∵a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，∴a5＝3，∴a3＋a7＝2a5＝6，a3a7＝－7，
解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.
又a7＝a3＋4d，∴当a3＝－1，a7＝7时，可得d＝2；
当a3＝7，a7＝－1时，可得d＝－2.
根据an＝a3＋(n－3)d，可得当a3＝－1，d＝2时，an＝2n－7；当a3＝7，d＝－2时，an＝－2n＋13.
12．已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求{bn}的通项公式；
(3){bn}中的第503项是{an}的第几项？
【解析】　数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列．
(1)∵a1＝3，d＝－5，∴an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n.
数列{an}中序号能被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
(2)设{an}中的第m项是{bn}的第n项，即bn＝am，
则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，
∴bn＝am＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n.
即{bn}的通项公式为bn＝13－20n.
(3)b503＝13－20×503＝－10 047，设它是{an}中的第m项，则－10 047＝8－5m，则m＝2 011，即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项．