反证法证明题(简单).doc

反证法证明题
例1. 已知，，为内角.
求证：，，中至少有一个不小于60o.
证明：假设的三个内角，，都小于60o，
即60o，60o，60o，
所以，
与三角形内角和等于180o矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立.

例2. 已知，证明x的方程有且只有一个根.
证明：由于，因此方程至少有一个根.
假设方程至少存在两个根，
不妨设两根分别为且，
则，
所以，
所以.
因为，所以，
所以，与已知矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立.
例3. 已知求证.
证明：假设，则有，
所以即，
所以.
因为
所以，与已知矛盾.
所以假设不成立，所求证结论成立.
例4. 设是公比为的等比数列，为它的前n项和.
求证：不是等比数列.
证明：假设是等比数列，则，
即.
因为等比数列，
所以即，与等比数列矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立.
例5. 证明是无理数.
证明：假设是有理数，则存在互为质数的整数m，n使得.
所以即，
所以为偶数，所以为偶数.
所以设，
从而有即.
所以也为偶数，所以为偶数.
与m，n互为质数矛盾.
所以假设不成立，所求证是无理数成立.
例6.
已知直线和平面，如果，且，求证。
证明：因为, 所以经过直线a , b 确定一个平面。
因为，而，
所以 与是两个不同的平面．
因为，且，
所以.
下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假
设直线a 与平面有公共点，则，
即点是直线 a 与b的公共点，
这与矛盾．所以 .
例7．已知0 < a, b, c < 2，求证：(2 - a)c， (2 - b)a，(2 - c)b不可能同时大于1
证明：假设(2 - a)c， (2 - b)a，(2 - c)b都大于1，
即 (2 - a)c>1, (2 - b)a>1, (2 - c)b>1，
则(2 - a)c(2 - b)a(2 - c)b>1 …①
又因为设0 < a, b, c < 2，(2 - a) a,
同理 (2 - b) b≤1, (2 - c) c≤1,
所以(2 - a)c(2 - b)a (2 - c)b≤1此与①矛盾.
所以假设不成立，所求证结论成立.
例8．若x, y > 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2
证明：假设≥2，≥2，
因为x, y > 0，所以 ，
可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾.
所以假设不成立，所求证结论成立.

例9．设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于
证明：假设设(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >,
则三式相乘：ab < (1 - a)b•(1 - b)c•(1 - c)a < ①
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
同理：,
以上三式相乘： (1 - a)a•(1 - b)b•(1 - c)c≤ 与①矛盾
所以原式成立
例10. 设二次函数，求证：中至少有一个不小于.
证明：假设都小于，
则 （1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确.