反证法证明题(简单).doc
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1、反证法证明题例1. 已知,为内角.求证:,中至少有一个不小于60o. 证明:假设的三个内角,都小于60o, 即60o,60o,60o, 所以, 与三角形内角和等于180o矛盾, 所以假设不成立,所求证结论成立.例2. 已知,证明x的方程有且只有一个根. 证明:由于,因此方程至少有一个根. 假设方程至少存在两个根,不妨设两根分别为且,则,所以,所以.因为,所以,所以,与已知矛盾,所以假设不成立,所求证结论成立.例3. 已知求证. 证明:假设,则有, 所以即, 所以. 因为所以,与已知矛盾.所以假设不成立,所求证结论成立.例4. 设是公比为的等比数列,为它的前n项和.求证:不是等比数列.证明:假设
2、是等比数列,则, 即. 因为等比数列,所以即,与等比数列矛盾,所以假设不成立,所求证结论成立.例5. 证明是无理数. 证明:假设是有理数,则存在互为质数的整数m,n使得. 所以即, 所以为偶数,所以为偶数. 所以设, 从而有即. 所以也为偶数,所以为偶数. 与m,n互为质数矛盾.所以假设不成立,所求证是无理数成立.例6. 已知直线和平面,如果,且,求证。证明:因为, 所以经过直线a , b 确定一个平面。因为,而,所以 与是两个不同的平面因为,且,所以. 下面用反证法证明直线a与平面没有公共点假 设直线a 与平面有公共点,则,即点是直线 a 与b的公共点,这与矛盾所以 . 例7已知0 a, b
3、, c 1, (2 - b)a1, (2 - c)b1,则(2 - a)c(2 - b)a(2 - c)b1 又因为设0 a, b, c 0,且x + y 2,则和中至少有一个小于2证明:假设2,2, 因为x, y 0,所以 , 可得x + y 2 与x + y 2矛盾.所以假设不成立,所求证结论成立.例9设0 a, b, c , (1 - b)c , (1 - c)a ,则三式相乘:ab (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a, b, c 1 同理:, 以上三式相乘: (1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c 与矛盾所以原式成立例10. 设二次函数,求证:中至少有一个不小于.证明:假设都小于,则 (1)另一方面,由绝对值不等式的性质,有 (2)(1)、(2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确.
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