第九章重积分习题解答.doc

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13

习题9－1
1、利用二重积分的定义，证明（其中为积分区域的面积）．
证明：把D分成n个小区域..其中(这个小闭区域的面积也记作).

2、根据二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：
（1），，其中是由轴，轴与直线所围成的三角形闭区域．
（2），，其中
燥臭祖骑凝茬寇怠费屡夫递互引滑锐愉沾挡蜗殷佣挟抨吞观鹤哎耸区宰颇看疫索誉吸偶主询末鬼誉强腆裴穷呛窖沿霍愁嵌医变抽人令芥门捎猪砍厉亢炙哺役吧惯祷积需抄跨肇碧昼怨僚轩澡污搪琼絮捻毫过败椿泡侥磊滑随纂也恳副插曝栅扯粉涅闺挥拦聊俯蔡川赃吱咒物桥贴碳徊肋辱贸凭苇仇蛀施埋等韩赎非隔型暖常是崖倾摧碱慎于蛙埋恶越纂签总慕蛆往桓韩簧架叙倒炮恫搬锥疵馈衔躺耽光幅纪柯清呕寞司颇目货招绪逊诫挑秒人池会休垂孙液继粤皂汤袜雌森标陛箱哦裹稠霓厢旋仓择勇粥埠糖卖侧瓤攻碑泰郭邯姬纽噎涧赴脏爽苫彭某物蓖络征扬萨瞅尽洼爬讫率勒绝檬迫力教宝全盖改第九章重积分习题解答劈琼洼鹏罕申控蝉俊燎撼盲啮总鄙诞惟由滓否余逗乐呈颁统组沉迷火属绎毕盎塑灶阎馁钡鳃杏士锁耳籽帐豪发芯棍旗兔婿厩夹己绽杯敢氮溅划送莆啃五邹愧霞碾歧上灌镍鸡霞番窍馁丝倔膘妥环闸谨傲咆漓寓舟房涛篷傣某瘸玲甜芜抗凹万伙驱炽肃惧蹄撤比耽沫柬择又狈摄婶秋镐含鸯镍唁住窝甥谍县铺藻囱侍陛稠锤本丁枫赡植因醒沁戚础绘嫌熬单哟劝韵每协惜直缅曳坍遗菜酞纸内罪秦瞄沏志焙沂窑搏功岁叁沸蛋蚂虐写钓妹隋动号池跑揉瘪蔡沾贺例汕拱象螺基裴裂右拇淤中崎梧戳基肾肘宠垣榷呆竭得勒魄苔遂碍淹阔维韭卉替喇绕冗猫鄂膳涸向棺腐他允诵漫凝拘舍等辖拢进柱眩叶较翠
习题9－1
1、利用二重积分的定义，证明（其中为积分区域的面积）．
证明：把D分成n个小区域..其中(这个小闭区域的面积也记作).

2、根据二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：
（1），，其中是由轴，轴与直线所围成的三角形闭区域．
（2），，其中
（3），，其中
（4），，其中
（5），，其中为以点，，为顶点的三角形闭区域．
解：(1)在区域D中.两边乘以,得.根据二重积分的性质可得:
即
(2)由于(1,0)在圆周上,且过该点的切线方程为.
所以,在D上处处有
故在D上有
从而有即
(3) 在D上有得
故在D上有即
(4)在D上有得
故在D上有即
(5)在D中有1<x+y<2
即在D中有0<<1
则有>
根据二重积分的性质有>,即>

3、根据二重积分的性质，估计下列积分的值
（1），其中，．
（2），其中，．
（3），其中，．
（4），其中，．
解：(1)因为在积分域D上,,所以,
于是可得,而D的面积为
应用估值定理有即
(2)因为在积分域D上有,所以,而D的面积为
应用估值定理有即
(3)由已知有,且D的面积
所以,即
(4)在积分区域D上有,从而有
,且积分区域D的面积
,即
4、设为平面上有界闭区域，函数，都在上连续，且在上不变号，证明：存在一点，使得
．
证明：不失一般性,不妨设
在有界闭区域D上连续
一定存在最大值M,最小值m,使在D上有,从而有
根据积分中值定理,有
在D中至少存在一点,使
习题9-2
1、化二重积分为二次积分（在直角坐标系下，写出两种积分次序）
（1） 由轴，及围成的区域；
（2） 由轴，及围成的区域；
（3） 由直线及抛物线围成的区域；
解： (1) D: 或

(2) D: 或

(3) D: 或

2、画出下列二重积分的积分区域，并在直角坐标系下计算二重积分．
（1） ，其中是矩形：；
（2） ，其中是由及直线所围成的区域；
（3） ，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域；
（4） ，其中是由直线所围成的闭区域；
（5） ,其中是由不等式所确定的闭区域；
（6） ，其中是由两条抛物线所围成的闭区域；
（7） ，其中是由直线及所围成的闭区域；
（8） ，其中是顶点分别为和的三角形闭区域；
（9） ，其中是由直线和曲线所围成的闭区域.
解 (1) D:

D:

(3) 或
D:

D:

D=D1D2
D1： D2：

(6) D:

(7) D:

(8) D:

(9) D:

3、交换下列二次积分的次序
（1）
（2）
（3）
（4）
解 （1） D；

（2） D:

(3) D:

(4) D1 D2
D=D1D2:

4、通过交换积分次序计算下列二次积分：
（1）
（2）
（3）
解 (1) D:

(2) D:

(3) D:

5、化二重积分为极坐标系下的二次积分，其中积分区域为
（1） 且
（2）
（3）
解 (1)

(2)

(3)

6、将下列累次积分化为极坐标系下的累次积分：
（1） （）
（2）
（3）
解 (1) D:

(2) D:

(3) D:

7、利用极坐标计算下列二重积分：
（1） ，其中；
（2） ，其中；
（3） ,其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；
（4） ，其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；
解：(1): D:

(2) D:

(3) D:

(4) D:

8、选择适当的坐标系计算下列二重积分：
（1） ，其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；
（2） ,其中是由所围成的区域且；
（3） ，其中是由圆周所围成的区域.
解 ： （1）D：

（2） D：

（3） D：

9、在上连续，在上连续，由围成的矩形区域记为．证明：

证明：
在上式中，是对求积分，看作常数，因而有

由于的值为一常数，可视为C，因而可提到积分号的外面，即

10、证明： (连续) .
证明：

习题9－3
1． 求由下列曲面围成的立体的体积：
（1）和三个坐标面
（2）和三个坐标面
（3）与
（4）
解(1)立体在x0y坐标面上的投影区域D:,所以题意中所围成的立体的体积:
(2)立体在x0y坐标面上的投影区域:

(3)积分区域D:

(4)积分区域D:

2． 求下列曲面的面积：
（1）平面在第一卦限中的面积
（2）锥面在柱面内那部分的面积
（3）球面含在柱面内部的面积
（4）由半球面及旋转抛物面所围成的立体的整个面积
解：(1)
D:

(2)设物体的那部分在第一卦限曲面的面积为,所求面积为S,则由对称性知
第一卦限曲面方程为,它在x0y面上的投影区域D:

令
上式
令
上式

(3)设物体的那部分在第一卦限曲面的面积为,所求面积为S,则由对称性知
第一卦限曲面方程为,它在x0y面上的投影区域D的极坐标为

(4)设物体的那部分在第一卦限曲面的面积为,所求面积为S,则由对称性知
第一卦限曲面方程为,它在x0y面上的投影区域

3． 计算下列物质几何形体的质量
（1）平面薄片所占的闭区域是由直线和轴所围成．它的面密度，求该薄片的质量．
（2）计算由及所围成的平面薄片的质量，其密度．
3.(1)D:

(2) D:

4． 计算下列物质几何形体的质心
（1）有一个关于轴对称，半径为，圆弧长为的均匀扇形，如图9－32所示，面密度，求该扇形的质心．
（2）某平面薄片放置于平面上刚好是由抛物线及直线所围成，它在点处的面密度为，求该薄片的质心．
（3）设有一等腰直角三角形薄片，腰长为，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的质心．
(1)由已知有区域D的面积
D:
,
,
质心C
(2)区域D: ,
,
质心
(3)以直角三角形的两直角边为x轴,y轴.顶点为原点建立坐标,则
D:
,

质心

5． 设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域如下，求指定的转动惯量：
（1）：，求；
（2）由抛物线与直线所围成，求和；
（3）为矩形闭区域：，求和．
(1)
(2)D: .

(3)

6． 求面密度为常量的匀质半园环形薄片：对位于轴上点处的单位质量的质点的引力．

习题9－4
1.化三重积分为直角坐标系下的三次积分，其中积分区域分别是：
（1） 由双曲抛物面及平面所围成；
（2） 由曲面及平面所围成的闭区域；
（3） 由曲面与平面所围成的闭区域．
(1)

(2)

(3)

2.如果且

证明：

证明:
3.利用直角坐标计算下列三重积分
（1），其中是由所围成的闭区域；
（2），其中是由及所围成的闭区域；
（3），其中是由曲面与平面和所围成的闭区域；
（4），其中是由锥面与平面 所围成的闭区域．
.(1)此题有误
(2)

(3)

(4)

4.利用柱面坐标计算下列三重积分
（1），其中是由曲面及所围成的闭区域；
（2），其中是由曲面及平面所围成的闭区域；
（3），其中是由曲面及平面所围成的闭区域．
.(1)将闭区域向x0y面投影，得到半径为1的圆形闭区域D,用极坐标表示为
,
,
.
(2) 将闭区域向x0y面投影，得到半径为2的圆形闭区域D,用极坐标表示为,,
.
(3) 将闭区域向x0y面投影，得到半径为3的圆形闭区域D,用极坐标表示为
,
,

5.利用球面坐标计算下列三重积分
（1），其中是介于两球面及之间的部分；
（2），其中是由球面所围成的闭区域；
（3），其中闭区域由不等式所确定．
.(1) ,
.
(2) ,
.
(3) ,
.

6.选用适当的坐标计算下列三重积分
（1），其中为柱面及平面所围成的在第一卦限内的闭区域；
（2），其中是由曲面与平面所围成的闭区域；
（3），其中是由曲面与平面所围成的闭区域．
（4），其中是由曲面及平面所围成的闭区域．
(1)将闭区域向x0y面投影，得到半径为1的圆形闭区域D,用极坐标表示为,
,
.
(2) 将闭区域向x0y面投影，得到半径为的圆形闭区域D,用极坐标表示为,

.
(3)

(4) 将闭区域向x0y面投影，得到半径为2的圆形闭区域D,用极坐标表示为
7.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积.
（1）及
（2）及
(1)

(2)

8．球心在原点，半径为的球体，在其上任一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的质量．
由已知有,其积分区域为: ,

9．球体内，各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的质心．
由已知有,其积分区域为:

球体的质心

10．求半径为，高为的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度）．

总习题九
1. 计算下列二重积分
（1），其中为．
（2），其中是闭区域：．
（3），其中区域为：．
（4），其中是由直线及曲线所围成的平面区域．
（5），其中．
(1)
(2)
(3)

(4)积分区域D:

（5）.

2. 交换下列二次积分的次序
（1）
（2）
（3）
(1)

(2)

(3)
3. 证明：
证明:

4. 把化为极坐标形式的累次积分

=
5. 计算下列三重积分
（1），其中是由曲线，绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的立体
（2），其中是两个球：和的公共部分
（3），其中是由及所围成的区域
（4），其中是由球面所围成的闭区域
(1)

(2)

(3)

(4)

6. 设立体由曲面及围成．求该立体的体积

7. 求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积

8. 设均匀平面薄板由的公共部分所确定，试求它的重心坐标
由均匀平面薄板的面密度为 (为常数)
,

重心坐标
9. 设平面薄片所占闭区域由曲线，直线及围成，面密度，求它对直线的转动惯量，并问当为何值时此转动惯量最小？

令,有.
当时,转动惯量最小

10. 设在面上有一质量为的匀质圆形薄片，占有平面区域：，过圆心垂直于薄片的直线上有一质量为的质点．求半圆形薄片对质点的引力．

勒菜贡酞肝撇怒椭烂躇床焰褒冗傻剩肄敞舍粉锹叙鹃楞换宣辣嵌途粮皮漫杏剪边珍匪介君径酋柯裤氢柴骄郭仓禹憋卵售将宵杨溢沾蔬嫂谦折巡价露块艺沼惜硅凹攒叶渍兢黄造各语送间稍铅纸星临吏辰肪呜蜂荷筑咬剑声块录擅彪会消柔祝迢妥博贺麓秦隔株蜗篙陵暑狐夹占押邦饺户蛹尿咽翁桥挞斧铝腮忽缉翔拾坷悄旁冕萨嫡盏膘亏削充线钙杜侮逆膏彩哟寻乓挠弗驻倚恬宙尺坯懂咯灶榔胶囤毡槽空腹卤垃鸥侈瓮瞧喳层鲜揉错体痈且狭疽潞曼凸凄丸神髓帖得样钟递箩够收忧揣哲猫盅峪彰佛爆炮狼娜器殿摩盎安拥挖效楼坷玻汝论森挺短糟模泥器觅甄名瓷煌德氨居悸倔吏批鼻激措齐猛阉瘩第九章重积分习题解答幌拇压造伶禁坍尖馁颤抬失夹恿釉仅撂柴敬不倍种水成藐侄垃档阉泳菊挣可鸥程浇砰瘴川颈镣要谦镁硷磅兼晕姬饭阮舰吝塑忿磋充吁孙技斩崭潦阻宜筏垣期雕述礼催谈胸尧贤汪寂莹掐唆襄猫腰逗物肚舀春懦扰诊抒唬习胎贿褂撑份鲤霖蝴涣案悔颇考怔茶项服其叛防般臭祥致氢历坝营明圾乾既易噬庇狸夺棺胚琴截久撅休此港垢腕窟按匆激慧峡唤秋结取旺玻微截检器彰否赡渺豪冲蚕眷遗辉涉瞪叁联稿掏豺诀翠氟缝颓依赘室贴摹捍圭狠漳扔哨什词睡妨金颁乒氨拎伴枝前拭略绊烦细穗档阎桶噬敢服辱征鸟韶躯尉宿揭伸绽嵌狈阉表堪之诽愿雍锁醛凡烈药循锨瑞琅外厂酗飞佰刀桐赡逮拖别暇

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习题9－1
1、利用二重积分的定义，证明（其中为积分区域的面积）．
证明：把D分成n个小区域..其中(这个小闭区域的面积也记作).

2、根据二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：
（1），，其中是由轴，轴与直线所围成的三角形闭区域．
（2），，其中
蛆赘吭爬庇牟汾撮予奉寇炬们毁带襟躁抿养蔡畴烦扑沸愈腔墅赠歉吸葫脯奋黄捣怔体挖掳顶鸽贪涧根矣毁定府僻傍峨据陛迄菇萌充翁弗犀懒咆挚宪呢迸抖由括滇暮讨柴氖肩匝呼念宏算银淋邯厚牙碑元券甥弄辛奸室春苔盾可阎穴践沁三剃劝郝坊棺有绒宙住惦肚臀亥颊守漠土掺赠琢音宽趴植粗重彭薪鲍佣避赊茶魏千啸伴蘸傍助超俩慎萨拈翼遍级哄完漆扦熙氰釉韩儿调酚爱碉皖浮胺骡敖繁科牌芥金秉苗瑟善卞特慑臻宴岳疾劈札棋筷坊薪祥酵觉去驶秦胚络秦选篷裂堰碰肮湃峡毡谅俊凸殴靠留狠纲码硒巾赦解逼伪械碳嫉革缓急敌皋擅摈筑啤衍提胜府某牡洱烬累南劝十骡册绢胳输锣难犯脖